Математические аксиомы

но самому себе).

Аю. a~bi> (.Аа z> Ab) (равные натуральные числа об

ладают равными свойствами).

Ац.а'*0 (ни одно натуральное число,

непосредственно следующее за натуральным числом а, не равно 0).

А12.

Список приведенных аксиом не противоречив, если из него не выводима формула вида (А & -іЛ), где переменная А может обозначать любое, в том числе и арифметическое, высказывание. Допустим, формула (A А) следует из данных аксиом. Какое свойство приобретают в этом случае аксиомы? Ответ дает следующее рассуждение, в котором к аксиомам присоединяется в качестве допущения конъюнкция (А & —<А). 1. (следствие закона противоречия). 2. (А & ~пА) (допущение). 3. (А & ~лА) гз А (теорема логики). 4. А (из 2 и 3 по правилу ПО). 5. (Л & -Л) э (теорема логики). 6. -Л (из 2 и 5 по правилу ПО). 7. (из 1 и 4 по правилу ПО). 8. В (из 6 и 7 по правилу ПО).

Формула В носит произвольный характер. Следовательно, она может обозначать все, что угодно. Например, В может быть неравенством 0*0. Поэтому если некоторая система аксиом противоречива, то это означает, что из нее следует любая формула (следует все, что угодно). Обратное суждение не менее интересно. Если существует формула, не выводимая из данной системы аксиом, то эта система непротиворечива. Ценность обратного суждения в том, что оно указывает общее направление доказательства непротиворечивости. Для этого необходимо сначала указать характеристическое свойство, удовлетворяющее следующим двум условиям. Такое свойство: (1)

должно быть присуще всем аксиомам без исключения и всем выводимым из них формулам, получающим статус теорем; (2)

должна существовать хотя бы одна правильно построенная формула, которая этим свойством не обладает, т. е. не является теоремой.

Свойство «быть тавтологией (логически истинной формулой)» удовлетворяет указанным требованиям. Все аксиомы Гильберта и выводимые их них формулы (теоремы) — тавтологии. Это следует из того, что отрицание каждой из них порождает логическую и математическую ложь. Но такая правильно построенная формула, как (A d В), не выводима из аксиом, т. е. не является теоремой элементарной арифметики. В самом деле, ее отрицание не порождает логической лжи. Пусть А = «данное число простое», В = «данное число делится на 3». Тогда формула (А з В) читается «если данное число простое, то оно делится на 3». Отрицанием этого суждения будет высказывание (А & В), которое читается «данное число простое и не делится на 3». Если бы суждение (А & -В) было логической ложью, то имело бы место противоречие и Ас -Л не могли бы быть одновременно истинны или ложны. Однако рассматриваемое отрицание не образует противоречия: высказывания А и —В могут быть одновременно как истинными, так и ложными.

Наличие хотя бы одной формулы, не выводимой из рассматриваемых аксиом, достаточно для утверждения, что арифметика непротиворечива. Доказательство непротиворечивости элементарной арифметики в целом соответствует логической схеме доказательства, называемой в логике modus tollens:

Если арифметика противоречива, то в ней доказуема (выводима) произвольная формула.

Существуют формулы, которые недоказуемы с помощью данных аксиом. Значит, арифметика непротиворечива.

бочному убеждению благодаря тому, что он не отличал друг от друга эти два совершенно различных индукционных метода... Авторитет Пуанкаре в значительной мере односторонне повлиял на юное поколение»112.

Логицистскую программу обоснования математики Рассела и Уайтхеда Гильберт обвинил в том, что она включает аксиомы бесконечности и редукции. Но эти аксиомы представляют «в полном смысле слова гипотезы, содержательно не обоснованные доказательством их непротиворечивости, гипотезы, всеобщая справедливость которых под сомнением и в которых моя теория, во всяком случае, не нуждается» .

Отвечая на критику Брауэра, что теоремы о чистом существовании ничего не стоят, если не содержат способа построения доказываемого объекта, и что математика вырождается в игру с символами, Гильберт указывает, что доказательство так называемого чистого существования представляет на самом деле важное математическое обобщение многих частных случаев. Одно это обстоятельство опровергает утверждение Брауэра о бесполезности теорем о существовании. «Ценность чистого доказательства существования в том именно и состоит, что благодаря ему исключаются отдельные построения и многие разнообразные построения объединяются одной основной идеей, вследствие чего четко выступает только то, что существенно для доказательства: смысл доказательства существования состоит в сокращении и экономии мысли. Чистые теоремы о существовании служили в действительности важнейшими вехами исторического развития нашей науки. Но подобные соображения не влияют на верующих интуиционистов»113. Продолжая отвечать Брауэру, Гильберт отвергает все его обвинения против закона исключенного третьего. Этот закон, указывает Гильберт, «никогда не приводил ни к малейшей ошибке», он «ни в малейшей мере не повинен в появлении известных парадоксов теории множеств... доказательства существования, использующие закон исключенного третьего, имеют большей частью особую прелесть благодаря своей краткости и изяществу»114.

Некоторое время казалось, что программа финитного обоснования математики Гильберта должна вот-вот получить триумфальное завершение. Однако в начале 30-х гг. XX в. были открыты такие ограничения, которые поставили под сомнение ее осуществление в полном объеме.