Финитное обоснование математики

Как отмечалось, финитный подход требует ограничить математическую мысль объектами, данными в непосредственном созерцании еще до всякого мышления, и такими операциями с этими объектами и способами рассуждения, которые не требуют привлечения абстрактных понятий, включая допущения о завершенных бесконечных последовательностях.

Рассмотрим на примере арифметики, какие объекты (знаки) являются для нее исходными, какие финитные высказывания об этих объектах допустимы и какие методы конструирования и рассуждения приемлемы.

Исходный объект арифметики — цифра 1. Она символизирует число, называемое единицей. Операция порождения — приписыва- ниє этой цифры справа от данного объекта. Применение данной операции к 1 порождает ряд натуральных чисел:

1, И (Два), Ш (три), ... .

Эти объекты элементарны, наглядны и конечны. Их сравнение друг с другом позволяет устанавливать между ними базисные отношения равенства или неравенства.

Если цифры а и Ь графически равны, то равны и символизируемые ими числа. Если цифра а совпадает с частью цифры b, то а меньше b; если цифра b совпадает с частью цифры а, то Ъ меньше а. Для всякой пары элементарных объектов арифметики истинно одно из следующих суждений: а = h, а> Ь, а <Ъ.

С помощью указанных суждений определяются все арифметические операции. Например, операция сложения вводится следующим образом. Если цифра b совпадает с частью цифры а, то остаток с также есть цифра такая, что выполняется равенство а = b + с. Буквально операция сложения цифр b и с означает процедуру приписывания b цифры 1, с которой начинается с, столько раз, сколько раз 1 входит в с.

Операции вычитания, умножения, деления определяются аналогично. Ассоциативный, коммутативный и дистрибутивный законы вместе с принципом индукции основываются как следствия данных операций.

Финитный метод построения арифметики допускает и рекурсивные определения. Например, функция п\ =р(п) =1х2хЗх...хи, называемая факториалом, определяется равенствами:

/>(!) = !; />(л + 1)-/>(л)х(и + 1).

Функцией с указанной точки зрения понимается наглядное предписание, на основании которой заданной цифре сопоставляется некоторая новая цифра. Приведенные равенства, определяющие факториал, называют рекурсией. Рекурсивное определение показывает, каким образом, начиная с некоторого значения р(п) и не используя ничего, кроме сложения и умножения, можно вычислить р(п) для любой данной цифры п.

Финитные высказывания могут объединяться логическими союзами («и», «или», «если ..., то», «если и только если», «либо ..., либо») в сложные высказывания. Кроме того, к ним может применяться операция отрицания и в формулировки теорем могут входить кванторы существования и общности. Последние операции, на первый взгляд, вступают в противоречие с финитной установкой, так как требуют выхода за пределы конечного. Например, высказывание Гильберта «существует простое число между п + 1 и и! + 1», пце п есть простое число, большее 2, требует для доказательства своей истинности бесконечной области объектов. Это высказывание эквивалентно высказыванию «либо и+1, либо и+ 2, либо п + 3, либо ... либо п\ + 1 есть простое число». При прямом истолковании оно явно не финитно. Возникает следующая проблема. Когда слова «все» и «существуют», вводящие кванторы общности и существования соответственно, вставляются в финитные рассуждения, то «логические законы, которыми люди... всегда пользовались и о которых учил уже Аристотель, несправедливы в конечном. Мы бы могли найти выход в том, чтобы установить логические законы, справедливые в области конечных высказываний; но это не принесло бы нам никакой пользы, так как мы ведь не хотим отказаться от пользования простыми законами аристотелевой логики, и никто, говори он даже ангельским языком, не удержит людей от того, чтобы отрицать любые суждения, образовывать частичные суждения и применять закон исключенного третьего. Как же нам теперь быть?»107.

Для решения данной проблемы Гильберт дополняет свой метод обоснования математики идеальными элементами. Как алгебра требует введения мнимых (идеальных) величин, чтобы сохранить всеобщность своих законов, так и при финитном обосновании «к конечным высказываниям мы должны присоединить идеальные высказывания для того, чтобы удержать формально простые законы обычной аристотелевой логики»108.

Под идеальными элементами Гильберт понимает математические и логические формулы, т. е. схемы высказываний, которые не имеют прямой содержательной интерпретации и на место которых могут подставляться любые удовлетворяющие им конкретные арифметические (конечные) высказывания. Сравнение алгебры с арифметикой поможет понять смысл сказанного. Вместо того чтобы доказывать бесконечное число частных теорем вида «1 + 1 = 2», «2 + 2 = 4», «3 + 3 = 6», ..., достаточно знающему алгебру доказать общую формулу, т. е. ввести идеальный элемент, «а + а = 2а», которая обосновывает истинность всех арифметических суждений указанного вида.

Расширение финитной математики за счет добавления идеальных элементов означает, выражаясь современным языком, ее полную формализацию, построение логического исчисления, позволяющего вместе с математическими аксиомами чисто формально доказывать математические теоремы.

Создание теории идеальных элементов имело одну единственную цель. С ее помощью Гильберт намеревался ввести контроль над актуальной бесконечностью и тем самым обосновать применение логических законов классической логики, распространить финитный подход на бесконечную область объектов. «Если мы этот взгляд обобщим, то математика сведется к совокупности формул, во-первых, таких, которым соответствуют содержательные сообщения конечных высказываний, т. е., по существу, числовых равенств или неравенств, и во-вторых, других формул, которые сами по себе никакого значения не имеют и которые являются идеальными образами нашей теории»109.

Согласно Гильберту, идеальные элементы не имеют самостоятельного значения, и их значение определяется правилами употребления.

К идеальным элементам, как логическим инструментам формализации, предъявляется чрезвычайно важное требование: они не должны противоречит!* содержательной части математической теории, к которой они присоединяются. «Существует одно условие, правда, только одно, но зато абсолютно необходимое, с которым связано применение метода идеальных элементов; этим условием является доказательство непротиворечивости; расширение, осуществляемое прибавлением идеалов, допустимо только при условии, что из-за этого в старой, узкой области никаких противоречий не возникает, т. е. при условии, что соотношения, которые получатся для старых образов после исключения идеальных, всегда в старой области имели место»153.

Сказанного достаточно, чтобы понять характер финитного построения не только арифметики, но и других разделов математики. Финитная математика в целом, согласно Гильберту, — это формализованная математика, т. е. машина, порождающая свои объекты исключительно формальными методами. Главное преимущество формализации состоит в том, что она позволяет свести доказательство непротиворечивости арифметики (как и любой другой математической теории) к доказательству непротиворечивости ее аксиом, т. е. к обоснованию, что вывод из данных аксиом обладает свойством непротиворечивости. Укажем основную идею.

Для формализации математической системы необходимо: 1.

Задать алфавит исходных знаков. 2.

Определить, какие последовательности знаков являются формулой. 3.

Отобрать формулы, которые будут выполнять функции логических и математических аксиом. 4.

В качестве правил вывода использовать следующие два. Правило отделения (ПО): из формулой (X~r> Y) следует формула Y. Правило подстановки (ПП): вместо любой переменной для высказываний в формуле можно подставить любую формулу всюду, где эта переменная входит в данную формулу. 5.

Определить правила построения доказательства (вывода).

Предполагается, что если предъявлена произвольная строчка знаков, входящих в алфавит формальной системы, то в конечное число шагов можно решить, является ли она формулой, и если да, то является ли она аксиомой. Аналогичным образом предполагается, что относительно произвольной последовательности формул можно в конечное число шагов решить, является ли она доказательством. Формула считается доказуемой, если можно построить ее вывод из приведенных аксиом с помощью правил ПО и ПП. Вывод представляет конечную последовательность формул, каждая из которых либо аксиома, либо следствие предшествующих формул, полученное с помощью правил следования.

Согласно Гильберту, для формализации элементарной арифметики натуральных чисел (в которой выполняется только операция сложения) и доказательства ее непротиворечивости достаточно следующих аксиом.

Аксиомы логики высказываний А

А2. (В z> Q =э ((А з В) із (А з Q) А3. (Az>(B8i -пВ)) з -А Ад. -1-іА э А

Трансфинитные аксиомы (добавление посылки), (исключение высказывания), (закон противоречия), (закон двойного отрицания). А5. (х) (АХ з> Аа) (заключение от общего к частному).

А*, -ч (х)Ах z> (Ех)~\Аа (если свойство А неверно для всех х, то

существует противоречащий пример).

Ay. -і (?х)Лх (x)—Aa (если не существует примера выполнимости свойства Ау то оно ложно для всех х).

А8. Ах zd А(ехА) (логическая є-аксиома).

В аксиоме А8 выражение ехА обозначает вещь, для шторой высказывание Аа истинно. Более точно, є — функция выбора, сопоставляющий каждому х, обладающему свойством А, некоторый элемент из класса вещей, если вещь, удовлетворяющая этому свойству, уже существует. Если высказывание А выполняется для одной и только одной вещи, то JEXA есть та самая вещь, для которой данное высказывание справедливо.

Связь s-аксиомы с кванторами существования и общности объясняют следующие два определения:

DF \ .(ЕХ)АХ = А(ЕХА).

DF 2. (х) Ах = —і (Ех) -Л(х) = А(ЕХ (-Л», так как ->(?х) —Ах = —іЛ(єх-Л).

Согласно Гильберту, достоинство s-аксиомы состоит в том, что из нее выводимы трансфинитные аксиомы А5-А7 и, значит, данная аксиома представляет общий символ всех идеальных элементов формализованной математики. Это означает, что «формализм, который получается из элементарного исчисления со свободными переменными в результате применения к нему е-формулы... полностью включает в себя все исчисление предикатов в целом»110. Кроме того, є-аксиома «содержит... ядро так называемой аксиомы произвольного выбора»111.

С помощью данной аксиомы Гильберта доказывает, что кванторы и выражения с е-оператором всегда могут быть исключены из вывода формулы, не содержащей кванторов, из других бескванторных формул. Для Гильберта это имеет особое значение, потому что выражает суть его финитного подхода: введение идеальных элементов, т. е. высказываний о бесконечном (высказываний с кванторами существования и общности), оправданно тогда и только тогда, когда они всегда могут быть удалены из доказательства. Это озна- чает, что всякое доказательство, включающее суждения об актуальной бесконечности, может быть редуцировано к доказательству, включающему суждения только о конечных множествах элементов.

Роль е-аксиомы особенно важна для Гильберта в доказательстве непротиворечивости. Если S — математическая система, чьи формулы не содержат кванторов, б-оператора и разрешимы, тогда S непротиворечива в строгом смысле: каждая выводимая в ней формула истинна.