5. Практическая непротиворечивость математической теории

Будем называть математическую теорию зрелой или практически непротиворечивой, если она имеет неразрушимый фрагмент, достаточный для оправдания полной системы аксиом, а следовательно, и для обоснования всего множества ее утверждений. Зрелость теории в этом смысле не тождественна ее аксиоматическому представлению. Становление признанной аксиоматики представляет собой длительный процесс, зависящий от многих факторов, вследствие чего между начальным этапом становления теории, на котором она только оформляет свои принципы, и последним этапом, на котором она получает адекватное аксиоматическое представление, имеется длительный этап ее существования, когда она, уже имея достаточную систему истинных утверждений, еще не имеет полного логического оформления на основе признанной системы аксиом. В течение всего этого периода мы имеем здесь дело с обычной математикой, которая исходит из истинных принципов, но которая не нацелена на прояснение этих принципов и их специальное исследование.

Это состояние теории можно назвать состоянием существенной непротиворечивости, поскольку такого рода зрелая теория, не будучи гарантирована от противоречий в своих производных определениях, тем не менее является гарантированной от переворотов, устраняющих достигнутые результаты, принадлежащие к центру теории.

В логическом отношении это состояние теории может быть определено через различение глубоких и поверхностных противоречий. Будем называть математическое противоречие глубоким, если оно способно привести к отказу от аксиом или некоторых других признанных утверждений математической теории, и назовем его внешним или поверхностным, если оно. устраняется корректировкой некоторого производного понятия, не затрагивая, признанных утверждений теории. Зрелая содержательная математическая теория является существенно непротиворечивой в том смысле, что она может содержать в себе только внешние противоречия.

Нетрудно видеть, что развитие любой математической теории неизбежно приводит ее к состоянию существенной непротиворечивости, задолго до ее аксиоматизации и формализации. Сомнения по поводу того, была ли геометрия строгой до Гильберта, конечно, неуместны12. Математики, доказывающие геометрические теоремы во времена Евклида, мыслили совершенно строго, ибо вместо истинных аксиом они ссылались на безусловно истинные теоремы, без признания которых никакая аксиоматика невозможна. Теория вероятности достигла очень высокого уровня развития, прежде чем Колмогорову удалось указать для нее адекватную систему аксиом.

Системное понимание математической теории, таким образом, обосновывает как абсолютную непротиворечивость аксиоматизированной теории, так и практическую непротиворечивость обычной доакси- оматической теории. Это последнее обстоятельство не менее важно, чем первое, ибо оно позволяет нам понять надежность математики в ее приложениях и истоки неколебимой веры в математику как строгую науку, несмотря на наличие парадоксов и отсутствие ясных методов их устранения. Подавляющее число противоречий, которые когда- либо появлялись в математике, были поверхностными в том смысле, что они не приводили к устранению каких-либо теорем или принципов теории. Системный анализ позволяет понять причины этого факта и принципиальное его значение для понимания непротиворечивости математического мышления в целом.

Философия математики начала XX века явно преувеличивала опасность парадоксов, видя в них угрозу самому существованию математики. Гильберт, как известно, рассматривал парадоксы как методологическую катастрофу, подрывающую доверие к науке. Где же искать истину, спрашивал он, если сама математика дает осечку?13 Причина такой реакции заключалась, несомненно, в отсутствии системного видения теории, в недостаточном понимании того факта, что устойчивость математической теории создается не аксиомами, а формированием ее центра, которое делает все противоречия периферийными и несущественными. Хотя обычное содержательное рассуждение не гарантировано от появления противоречий, эти противоречия не несут никакой опасности для основ теории и должны пониматься лишь как момент становления ее новых понятий.

Математическая теория в процессе своего развития получает абсолютное обоснование в том смысле, что утверждения, принадлежащие к ее центру, не могут быть пересмотрены на основе ее дальнейшего развития. Это относится к любой достаточно зрелой математической теории, независимо от степени ее аксиоматизации. В отличие от эмпирической теории контрпримеры в содержательной математической теории не затрагивают ее оснований и содержания, относящегося к ее центру. В своей критике математической строгости Лакатос упускает это существенное различие между двумя типами знания, приписывая математическим парадоксам силу эмпирических контрпримеров, которой они в действительности не обладают.