Аксиома множества-степени

Если а есть множество, тогда имеется множество Р(а), множество-степень от а, чьи элементы — это все подмножества множества а

\/х Эу Vz [ z є у Vw (we z => w є *)].

В некотором смысле эта аксиома «выбивается» из ряда предыдущих аксиом, которые предназначены ограничить размер получаемых множеств, дабы избежать парадоксов.

Именно это соображение, с нашей точки зрения, было положено в основу классификации аксиом Френкелем и Бар-Хиллелом на «конструктивные аксиомы общей теории множеств», куда входит аксиома степени-множества, и «ограничения», куда входят аксиома бесконечности, аксиома за- мещения, аксиома фундирования. Более поздние авторы предпочитают другой порядок аксиом (например, М. Тайлер), что более естественно, потому что аксиома множества-степени, утверждающая существование, для любого множества а, множества Р(а), которое есть множество всех подмножеств а, не налагает никаких ограничений в отношении того, что множества должны быть сконструированы или определены. Нет ничего такого, что говорило бы, что членами Р(а) были те, которые могут быть определены посредством выражений, выписанных в языке Цермело — Френкеля. Поэтому, хотя существование Р(а) утверждается аксиомой, его точное членство не определено этими аксиомами.

В некотором смысле возникновение теории множеств вообще обязано этой аксиоме, или точнее, идее, лежащей в основе этой аксиомы. Установление Кантором важного результата о том, что для любого множества (конечного или бесконечного) кардинальное число Р(а) должно быть больше кардинального числа а, привело его к мысли, что возможно расширение понятия числа на бесконечные совокупности. Важность аксиомы видна уже из того, что без нее было бы невозможно доказать существование любого несчетного множества, и отсюда, ординальных чисел, которые не принадлежат второму числовому классу. С включением аксиомы множества степени становится возможным доказать существование класса чисел второго порядка как множества, в то время как без аксиомы возможно только доказать существование всех членов этого класса.

<< | >>

↑

Источник: Целищев В.В.. Философия математики. 4.1.— Новосибирск: Наука,. —212 с.. 2002

Еще по теме Аксиома множества-степени: