Аксиома пары

Если а и Ь множества, тогда существует множество {а} с единственным элементом а, а также существует множество {а, Ь}, единственными элементами которого являются а и b

(V*) (Vj) (3 z) (Vve) (we z«w = xv w~y)-

До сих пор мы имели в качестве существующего только одно множество, которое не имеет членов.

Несмотря на ясность этой аксиомы, в ней прослеживается интуитивная идея ограничения размера, а также упомянутая выше идея итеративного множества. Идея ограничения размера множества обсуждается многими математиками и философами как одна из веду- щих идей теории множеств. Действительно, Кантор говорит о двух видах трансфинитных сущностей, один из которых является предметом математической теории бесконечности, а второй — абсолютной бесконечностью, постижение которой просто невозможно. Между тем понятие абсолютной бесконечности формулируется довольно точно: это совокупность всех ординальных чисел, которая не может быть представлена в виде «одной вещи», поскольку это приводило бы к парадоксу. Таким образом, математическая теория бесконечности не должна иметь дело со слишком «большими» совокупностями типа совокупности всех ординальных чисел. Значит, задача аксиоматической теории множеств состоит в том, чтобы не позволить образования этих «слишком больших» совокупностей (которые не называются множествами, потому что этот термин зарезервирован как раз для не слишком больших совокупностей).

Дело в том, что процесс порождения, скажем, ординальных чисел не может быть завершен, хотя такая завершенность была бы крайне желательна для того, чтобы совокупность порожденных множеств не была слишком большой. Любая совокупность, превосходящая некоторый такой предел, не будет собственно множеством. Поскольку множества определяются некоторым свойством, отказ от слишком больших множеств есть ограничение на применимость свойства к объектам. Так, можно предположить, что любое свойство имеет объем, если и только если, невозможно установить одно- однозначное соответствие между ординальными числами и вещами с этим свойством. Это будет эффективным ограничением размера множеств. Однако это ограничение имеет большой недостаток, поскольку предполагает существование ординальных чисел. Но откуда мы знаем, насколько далеко должны простираться ряды ординалов? Как заметил Рассел, вполне возможно, что уже множество натуральных чисел со окажется на этом пути «недопустимым»93. Поэтому, говорит он, требуются дальнейшие аксиомы до того, как можно будет сказать, когда ряд становится недопустимо большим.

Если размер множества не может быть критерием того, является ли это множество слишком большим или достаточно малым, тогда существование некоторой совокупности объектов должно быть гарантировано независимо от соображений о размере множества.

Коль скоро критериев размера нет, нужно проявлять осторожность, которая и выражена аксиомой пары. Действительно, множество {а, Ъ} имеет весьма скромный размер. Это фактически первый осторожный шаг на пути реализации программы ограничения размера множеств, каким бы тривиальным он ни казался.