9. Аксиомы

Аксиомы должны выполнять в таком случае три »ункции: формальную, или математическую, семантичс- кую и собственно физическую функции. Иными сло- ами, каждая хорошо построенная физическая система ксиом будет содержать постулаты трех (и только трех) и ДОБ. (1)

Формальные (математические) предположения (или для краткости FA)~например, «Р есть вероятностная мера на множестве S2 всех упорядоченных пар элементов множества 5>. (2)

Семантические (смысловые) предположения (или SA\ — например, «если упорядоченная пара элементов ($, s') принадлежит множеству S2, где 5 есть пространство состояний системы, то P((s, s')) обозначает (представляет) степень предрасположенности си-

стемы к переходу из состояния S в состояние S'.

(3) Физические предположения, Гили РА)— напри- мер,

Из этих трех групп аксиом третья, образованная из физических предпосылок, составляет ядро любой физической теории.

В самом деле, если формальные аксиомы касаются формы основных понятий, а семантические аксиомы принимают на себя заботу об их значении, то физические аксиомы говорят о самих физических системах, которые в конечном счете и являются raison d'etre (смыслом существования) физической теории. В свою очередь, бесспорно, наиболее важными среди физичерких аксиом являются те, которые ориентированы на репрезентацию объективных физических законов. Остальные физические предположения, в частности уравнения связей и значения граничных условий, хотя логически и независимые от утверждений формулирующих законы, все же будут по отношению к ним вспомогательными. Они представляют собой просто дополнительные ограничения, налагаемые на различные переменные и функции, взаимосвязанные утверждениями, выражающими законы. Любая система аксиом, которая не содержит по крайней мере одного утверждения относительно закона, не может быть квалифицирована как физическая теория.

Какие физические предположения должны постулироваться в теории? Ясно, что все те, и только те формулы, которые не могут быть доказаны в рамках данной теории и относительно которых предполагается (или по крайней мере надеются), что они в некотором приближении будут верными. Уравнение движения или уравнение поля не будут постулировать, если их можно вывести из некоторого более сильного предположения (например, вариационного принципа), в особенности если более сильная ..аксиома содержит также и новые добавочные следствия, например уравнения сохранения. Излишне говорить, что под «выведением» или «доказательство^» мы подразумеваем чисто концептуальную операцию—умозаключение,— посредством которой искомый вывод следует из множества предпосылок на основании правил вывода логических и математических теорий, лежащих в основании данной теории.

В частности, не имеет смысла в рамках, скажем, тео- >ии кварков «доказывать», что кварки существуют. Длч годобного «доказательства» вполне достаточно показать, іто существует нечто вне нас и такое, что, по всей види- лости, удовлетворяет некоторым предположениям тео- >ни кварков. Этот процесс верификации, связанный \ рассматриваемой теорией, опирается также на ряд других теорий, хотя к ним он прямо и не относится. Да- іее, после того как подобная эмпирическая проверка уже іроизведена, некоторые теоремы теории могут указать іа возможное существование неизвестных до сих пор ЇВОЙСТВ референтов теории. Иначе говоря, в рамках тео- >ии могут быть доказаны или опровергнуты только тео- >емы. Все, что может быть доказано или сделано правдоподобным относительно физической теории, приходит із вне: либо из эксперимента, либо из метатеории дан- юй теории —как в случае доказательства непротиворе-

[ИВОСТИ.

Резюме здесь простое: если мы хотим многое доказать, мы должны сформулировать сильные предпосылки (подробнее об этом см. гл. 8, § 3). Это не означает, что ш должны верить во все принимаемые нами предпосылки или хотя бы в одну из них. Единственное, что ?ребуется, — так это строго придерживаться логических следствий из сформулированных предпосылок. Если бы жазалось, что какое-нибудь из этих следствий вступает і конфликт с принимаемыми идеями (фактическими данными или теориями), то мы, без сомнения, отказались 5ы от некоторых аксиом — а именно от тех, которые приводят к ошибочным следствиям. Этому правилу на практике, однако, не всегда следуют. Мы ча- :то поступаем непоследовательно, штопая теорию на фовне теорем (например, вводя в последний момент осязание) вместо корректирования самих постулатов.

В частности, весьма сильные экзистенциальные пред- юсы л кн нужны хотя бы для того, чтобы убедиться, что )ни противоречат наблюдениям.

1 От freakon — вычурный, капризный. — Прим. ред,

тивном случае, если множество фриконов с самого начала рассматривается как пустое, то теория будет бессодержательно истинной, ибо, исходя из несуществующего, нельзя с уверенностью что-либо предсказать. Точнее говоря, самая рервая аксиома нашей теории, «фриконов» должна будет читаться примерно так: «(а)/7^Ф, (Ь) каждое / в F представляет фрикон». Коль скоро мы получили проверяемые следствия из таких сильных аксиом, мы можем надеяться проверить их с помощью эксперимента. Если в эксперименте фриконы (или, скорее, свидетельства их существования) не удастся обнаружить или не удастся подтвердить, что они обладают свойствами, которые приписывает им теория, последнюю стоит отбросить.

Однако предположение о физическом существовании хотя и необходимо, но недостаточно. Оно не может быть проверено, если вещи, существование которой предполагается, не дано гипотетического описания. То есть нам следует сформулировать точные предположения относительно свойств, строения и поведения референтов нашей теории. Такце гипотезы и будут собственно физическими предположениями. Если они достаточно общие и подтверждаются удовлетворительно, то они будут именоваться законами, или, лучше, утверждениями о законах, ибо сами физические законы предполагаются объективной структурой тех формул, с помощью которых мы пытаемся эти законы фиксировать. Так, в случае наших фриконов мы можем, например, постулировать, что чем их больше, тем более Q-тыми они становятся, где Q есть новое свойство, возникающее вместе с фриконами. Однако эта физическая гипотеза оказывается слишком неопределенной: и не только потому, что она содержит неясное новое свойство Q, но также и потому, что оно выражается на обычном языке. Мы должны ограничивать себя ясно определенными гипотезами, в противном случае мы не смогли бы сказать ничего определенного и были бы не в состоянии выдвинуть какие-либо определенные свидетельства за или протйв нашей гипотезы. Предположим, что из бесконечного числа математических формул, не противоречащих данному высказыванию на обычном языке, мы выбираем в качестве РА\ следующее: для каждого f в ?:dQ/dN ?? aNt где а некоторое положительное действи- ?ельное число.

С формальной точки зрения здесь все безукоризненно. Однако семантически это утверждение неопределенно и, :ледовательно, эмпирически непроверяемо хотя бы По- ому, что существует много величин, рост которых про- юрционален их общей численности. Поэтому мы должны вязать новое свойство Q с каким-либо уже достаточно ;орошо известным физическим свойством. Только в та- ;ом случае мы будем в состоянии установить свойство } или даже опознать фрикон. В общем плане: изолированные гипотезы непроверяемы.

Допустим теперь, что теория фриконов как-то свя- ана с теорией электромагнитного излучения. Предпо- (ожим, например, для конкретности, что; фриконы порождаются фотонами. Простая математическая форму- іировка этого предположения в терминах плотности 'Нергии поля р является следующей:

РА%\ dN/dp — b, где Ь положительное действительное

ІНСЛО.

Мы можем теперь доказать несколько теорем и поросить экспериментатора проверить их. Но это воз- южно лишь потому, что мы интуитивно предполагаем: а) некоторые очевидные математические свойства на- лих основных функций (например, дифференцируе- іость) и (6) вполне определенный физический смысл аждого символа наших аксиом. Как уже говорилось, сновная черта аксиоматики заключается именно в ом, что она не оставляет места для интуитивных пред- осылок, то есть вне аксиом ничего не предполагается. Следовательно, наши первоначальные допущения сле- ует дополнить двумя дальнейшими группами аксиом, дна из которых представляет собой математические, .ругая — семантические предпосылки. В следующем па- аграфе мы проведем анализ этих аксиом, но прежде делаем несколько общих выводов.

Первый вывод: в аксиоматиках, как и в обычной сизни, если мы хотим что-то выиграть, следует риско- ать. Иными словами, не нужно страшиться сильных ксиом, если они доступны проверке и обещают объяс- ить нечто такое, что мы раньше не понимали. Далее, физических аксиомах нет ничего священного в непри- основенного. Это всего лишь предпосылки, которые про- веряются своими следствиями и своей совместимостью с общепринятыми идеями. Но и успешное прохождение всех испытаний не гарантирует вечности аксиом, точно так же как успех в жизни не приносит с собой бессмертия.