Аксиома выделения

Если a есть множество, и F(x) есть некоторое правильно построенное выражение в языке Цермело — Френкеля с единственной свободной переменной, тогда существует множество Ь, чьи элементы являются элементами а, для которых F(a) истинно

(VJC) (3J0 (VZ) [zeyoze;с & F(z)].

Согласно наивной точке зрения на процесс образования множеств, каждое из них определяется некоторым свойством, и само множество представляет объем этого свойства. Несмотря на «наивность», это действительно единственно возможное представление о понятии множеств, если бы не было парадоксов, да и понятие свойства было более четким. Согласно определению Кантора, «Множество есть Множественность, которая мыслится как Единое», и единство ему придает предполагаемое свойство. Аксиома стремится ограничить размер множества указанием на уже существующее множество.

Эта аксиома, по замечанию Френкеля и Бар-Хиллела, является наиболее характерной чертой системы Цермело. Именно эта аксиома делает радикальный отход от точки зрения, согласно которой каждому условию F(x) соответствует некоторое множество s такое, что (Vx) (х є s = F{x)). Известно, что эта точка зрения ведет к парадок- сам, и Цермело предложил применять операцию образования множеств предметов, обладающих некоторым свойством, к уже имеющимся множествам. Аксиома выделения призвана ограничить предположение Кантора о том, что всегда можно собрать вместе в одну совокупность все вещи, удовлетворяющие данному осмысленному описанию (предположение, известное под именем неограниченной аксиомы свертывания). Аксиомой выделения создаются лишь такие подмножества множества, чье существование гарантировано другими аксиомами. Таким образом, избегаются парадоксы Кантора и Бурали-Форти, поскольку невозможно образовать множество, скажем, всех кардинальных чисел, исходя из определения свойства быть кардинальным числом, и возможно образование лишь тех множеств, которые уже содержатся в некотором множестве.

Хотя аксиома выделения играет важную роль в ограничении размера множеств и блокировании ряда парадоксов, она не дает того, что требуется математике. Если функция рассматривается как операция порождения множеств (отображение одного множества в другое), тогда аксиома требует, чтобы область значений функции была подмножеством области определения функции. Но во многих случаях это просто неверно. Это обстоятельство позволяет оценить роль аксиомы более точно. П. Мэдди полагает, что Цермело, в стремлении сохранить все, что можно, от наивной (неограниченной) аксиомы свертывания (определения множества через свойство), применил «правило правой руки»: один шаг до несчастья. Для того чтобы избежать противоречия в некотором принципе, нужно ослабить принцип так, чтобы блокировать противоречие104. Цермело делает два ослабления неограниченной аксиомы свертывания: множество не может задаваться независимо, а всегда должно быть выделено как подмножество уже заданного множества. Кроме того, свойство, по которому множество выделяется, должно быть определенным. Понятие определенности является одним из наиболее дискуссионных понятий в философии математики и ее основаниях. В данном случае можно, следуя Сколему, полагать, что определенность означает формулу первого порядка, единственным нелогическим символом которой является «Є ».

Следует отметить, что на самом деле мы имеем здесь дело не с аксиомой, а с аксиомной схемой, поскольку она не может быть выражена на языке первого порядка.