Аксиома выбора

Если а есть множество, все элементы которого не пустые множества, ни одно из которых не имеет общих элементов друг с другом, тогда имеется множество с, которое имеет точно один общий элемент с каждым элементом a

Vx[\/y(ye x=»-i(y = 0))& V7 Vz(ye x & ze x(y=z) =» =>-1 (3w {we у & we z))) =>3aVj(y6x=^3z(ze и & &ze у & Vw (we u&wey=>w = z)))]. Аксиома выбора имеет отличный от других аксиом статус.

Она является наиболее спорной аксиомой теории множеств, и при доказательстве теорем теории множеств указывается, получен ли этот результат с помощью этой аксиомы или нет. Не очень ясен и статус аксиомы; сам Цермело считал ее логическим принципом, и этой точки зрения придерживаются и многие современные исследователи (например Я. Хинтикка)106. Частичное оправдание этой точки зрения состоит в том, что многие находят аксиому выбора интуитивно правдоподобной. Проблема состоит в том, что эта невинная, с первого взгляда, аксиома имеет неожиданные и очень сильные следствия, и многие их этих следствий считаются противоречащими интуиции. По этой причине, многие математики полагают, что следует избегать, если это возможно, использования этой аксиомы. В связи с этим говорят об «ограниченной теории множеств» без аксиомы выбора, в противоположность «стандартной теории множеств», которая содержит эту аксиому. Правда, К. Гедель показал, что если ограниченная теория непротиворечива, тогда непротиворечива и стандартная теория. Таким образом, аксиома выбора становится не более опасной, чем другие аксиомы.

В контексте аксиоматической теории множеств Цермело — Френкеля аксиома оказывается эквивалентной утверждению, что для данного множества а имеется отношение R, которое является впол- не-упорядочением для а.

Это известный результат Э. Цермело, известный под названием теоремы о вполне-упорядочении. С помощью аксиомы выбора возможно доказать, что каждое множество может быть вполне-упорядочено, а также доказать, что любые два множества Л и В можно сравнить в отношении их кардинального числа.

Генетически аксиома выбора в значительной степени «ответственна» за возникновение всей программы аксиоматизации теории множеств. Действительно, стремление к аксиоматизации было вызвано «законом мышления», как назвал Кантор следующее утверждение: «Всегда возможно любое вполне-определенное множество представить в форме вполне-упорядоченного множества... Этот (закон мысли) является фундаментальным, богатым по следствиям, и поразительным в своей значимости»107.

Математики не согласились с этим утверждением Кантора, и сам он вынужден был позднее, в 1895 г., признать их правоту, согласившись с тем, что это утверждение должно быть теоремой. Именно при попытках доказать эту теорему возникла, уже усилиями Э. Цермело, аксиома выбора.

Чрезвычайно интересным разделом современной теории множеств является поиск новых аксиом, расширяющих универсум тео- рии множеств. В частности, речь идет.об аксиомах, утверждающих существование больших кардинальных чисел, которые все ближе и ближе к Абсолюту — Q. Это так называемые недостижимые кардинальные числа, гипернедостижимые, гипергипернедостижимые, числа Мало и т.д. На природе этих аксиом мы останавливаться не можем, потому что их принятие связано с тонкими проблемами теории множеств108.

<< | >>

↑

Источник: Целищев В.В.. Философия математики. 4.1.— Новосибирск: Наука,. —212 с.. 2002

Еще по теме Аксиома выбора: