Аксиома бесконечности

(Ел;) [Лє х& (Vj) (у є х => (3z) (zex& (Vw) (w є z о «we/)vw = j/))].

Аксиома бесконечности утверждает существование по крайней мере одного бесконечного множества, из которого могут быть порождены остальные бесконечные множества.

{0, {0}, {0, {0}}}, {0, {0}, {0, {0}}}, ... .

0 12 3

Аксиома бесконечности не вызывает сейчас особых волнений среди математиков. Например, М. Тайлс говорит, что изложенные выше пять аксиом «не представляют особых проблем», а вот осталь- ные аксиомы менее ясны94. Другая точка зрения высказана в классическом обзоре А. Френкеля и И. Бар-Хиллела «Основания теории множеств»95. Они говорят о той части теории множеств, которая выводится из аксиомы экстенсиональности, аксиомы пары, аксиомы множества-суммы, аксиомы множества-степени, аксиомы выделения, как об общей теории множеств. Аксиома бесконечности у них занимает особое место. При таком положении дел имеет смысл обратиться к философским соображениям Б. Рассела96. Как видно, из формулировки аксиомы, «аксиома бесконечности заверяет нас (истинным или ложным образом), что имеются классы, имеющие п членов, и, таким образом, позволяет нам утверждать, что п не равно п + 1. Без этой аксиомы мы остаемся с возможностью того, что оба числа п и п + 1 могут оказаться нуль-классом.

Давайте проиллюстрируем эту возможность на таком примере97: предположим, что в мире есть только 9 индивидов. Тогда индуктивные кардинальные числа от 0 до 9 будут такими, как мы и ожидаем, но 10 (определенное как 9+1) будет нуль-классом. Нужно вспомнить, что п + 1 есть совокупность всех тех классов, которые имеют термин х такой, что когда х отнят, остается класс п терминов. Применяя это определение, мы видим, что в предполагаемом нами случае 9 + 1 есть класс, не состоящий из классов, то есть нуль-класс. То же самое будет истинным о 9 + 2, и вообще о 9 + п, если п не есть 0. Таким образом, 10 и все последующие индуктивные числа будут тождественны, так как все они будут нуль-классом. В таком случае индуктивные кардинальные числа не образуют прогрессии, и не будет истинным утверждение о том, что два класса не могут иметь один и тот же последующий элемент, потому что 9 и 10 в качестве последующего элемента будут иметь нуль-класс. И вот для предотвращения таких арифметических катастроф и требуется аксиома бесконечности»98.

Как отмечает далее Рассел, для того чтобы достигнуть любого заданного индуктивного кардинального числа, нам не требуется ак- сиомы бесконечности. Она требуется, когда мы имеем дело с целым рядом индуктивных кардинальных чисел, а класс всех индуктивных кардинальных чисел требуется для установления существования Х0.

Аксиома бесконечности предоставляет нам прекрасный случай убедиться в том, что аксиомы действительно являются аксиомами, а не доказуемыми утверждениями, и вместе с тем показать, что приобретение аксиомами своего статуса упирается в весьма сложные материи философского толка. Опять прибегнем к обсуждению этого вопроса Расселом. Если образовать полное множество индивидов, классов, классов классов и т.д., тогда взятые все вместе они образуют множество

п + 2" + 2 в степени 2"...

которое есть N . Таким образом, беря все виды объектов вместе и не ограничивая себя объектами какого-либо одного из типов, мы определенно получим бесконечный класс, и в этом случае аксиома бесконечности нам не нужна. Рассел замечает, что «есть тут ощущение какого-то фокуса: это напоминает фокусника, вытаскивающего из шляпы предметы. Человек, который носил шляпу, полностью уверен в том, что там не было кроликов, но он не в силах объяснить, откуда они там появились. Так и наш читатель, если у него есть здравое чувство реальности, будет убежден, что невозможно произвести бесконечную совокупность из конечной совокупности, хотя он, вполне возможно, не сможет найти изъянов в аргументации... И когда вышеприведенный аргумент подвергается проверке, он оказывается, с моей точки зрения, ошибочным»99. Рассел приписывает ошибку смешением типов, апеллируя при этом к своей теории типов. Нам нет нужды углубляться в саму теорию типов, которая в некотором смысле представляет собой конкурента аксиоматической теории множеств в разрешении теоретико-множественных парадоксов. Мы просто показали, что аксиома бесконечности является аксиомой уже потому, что попытки доказать ее приводят к фундаментальным трудностям. Причем трудности эти отнюдь не только математического или логического толка. Например, аксиома бесконечности говорит о множествах (классах в терминологии Рассела), множествах множеств и т.д. Но применима ли она к «подлинным индивидам» (природа которых нами здесь не уточняется, за исклю- чением того, что они не представимы как множества)? Этот вопрос упирается в множество «метафизических» представлений о том, что такое «индивид» или «вещь». Рассел говорит, что «если она [аксиома] истинна о них [вещах или индивидах], то она истинна о классах, из них состоящих, о классах классов и т.д. Подобным же образом, если она ложна о них, она ложна о всей иерархии их. Поэтому вполне естественно провозгласить аксиому бесконечности о них, нежели о некоторой стадии в иерархии. Но что касается вопроса о том, является ли аксиома истинной или ложной, у нас до сих пор нет метода обнаружения этого»100.

Аксиома бесконечности мотивируется, конечно же, идеями Кантора, которые М. Халет назвал «канторовским финитизмом»: «Множества трактуются как простые объекты, независимо от того, являются ли они конечными или бесконечными. Определения Кантора и Дедекинда действительных чисел приводят к рассмотрению бесконечных совокупностей как единых объектов, то есть как индивидов. Несмотря на то, что действительные числа с точки зрения их определений являются чрезвычайно сложными конструкциями, после их введения в теорию мы можем рассматривать их как простые объекты — забудьте про сложность. Кантор распространил эту доктрину на все совокупности, которые являются предметом математического рассмотрения. Все эти совокупности считаются едиными объектами»101.

Таким образом, аксиома бесконечности представляет собой выражение радикальной идеи Кантора о бесконечных совокупностях, идеи, которая была и остается столь же необычной, сколько и полезной. Прибегая к терминологии Мэдди, неясно, к каким соображениям отнести эту аксиому в нынешнее время — к внутренним или внешним. Ее очевидная полезность, продекламированная во всю мощь Гильбертом, относится к внешним соображениям. Однако коль скоро идеи Кантора стали непременной частью современной математики, это говорит скорее о внутреннем характере.