Аксиома замещения

Если а есть множество и F (х, у) есть вполне определенное множество в языке Цермело — Френкеля, которое ассоциирует с каждым элементом х множества а единственный элемент х*, тогда имеется множество а*, чьи элементы есть как раз те множества х*, которые ассоциируются формулой F (х, j>) с элементами а:

Vx \Уу [у є х => 3z (F(y, z) & Vw(F(y, w) w = z))] => =» Vv VM [u Є v <=> 3t {t є x & F{t, и))]].

Всякая новая аксиома предназначена для того, чтобы позволить существование тех чисел, которые появляются в неформальной теории множеств. До сих пор приведенные аксиомы (кроме обсуждаемой нами сейчас аксиомы замещения) гарантируют существование таких ординальных чисел, как ft) + 1, со + 2 и т.д., но не любого множества, к которому они принадлежат. Другими словами, нет гарантии существования ординальных чисел за пределами со + п для конечного п. Аксиома замещения позволяет определить функцию /(и) = со + п над со, так что гарантируется существование Множества значений функции. Объединение этого множества с со тогда дает представление со + со, и всех ординальных чисел второго числового класса. Аксиома замещения является более сильной аксиомой, чем аксиома выделения, поскольку с ее помощью можно развить общую теорию ординальных чисел. Вместе с тем в этой аксиоме присутствует ограничение, имеющее место в аксиоме выделения, а именно, множество образуется из области значений функции, определенной над уже заданным множеством.

Как и в случае остальных «непростых» аксиом, аксиома замещения принимается не только ради построения более мощных множеств.

Дж. фон Нейман показал, что эта аксиома нужна для установления фундаментальных результатов теории множеств, например, для доказательства утверждения Кантора, что «каждое множе- ство может быть поставлено в одно-однозначное соответствие с некоторым ординалом». Кроме того, с помощью этой аксиомы Нейман доказал фундаментальный принцип Трансфинитной Рекурсии. Относительно недавно Мартин доказал теорему, которая демонстрирует центральную роль аксиомы замещения в теории множеств действительных чисел (а именно, свойство регулярности некоторых определимых множеств действительных чисел). Эта ситуация демонстрирует общую тенденцию в принятии аксиом теории множеств; по выражению Булоса, «причины для принятия аксиомы замещения весьма просты: она имеет желаемые следствия, и не имеет нежелательных». Это типично внешнее оправдание введения аксиомы, поскольку ее полезность не мотивируется исключительно соображениями собственно теории множеств.

Гораздо большие множества могут быть образованы с помощью аксиомы множества-степени. Действительно, как утверждает Коэн, одной из причин принятия аксиомы бесконечности является ощущение того, что процесс добавления одного множества за другим не исчерпывает весь универсум. Но аксиомы бесконечности есть наиболее простой, специальный, способ порождения больших кардинальных чисел. А вот с помощью аксиомы множества-степени, новым и более мощным принципом, получается континуум105.

<< | >>

↑

Источник: Целищев В.В.. Философия математики. 4.1.— Новосибирск: Наука,. —212 с.. 2002

Еще по теме Аксиома замещения: