4. Праксеологическое оправдание аксиомы выбора

Обычная критика аксиомы выбора состоит в указании на неконструктивный характер процедуры выбора, который она допускает, и на приложимость этой процедуры к произвольной совокупности множеств.

Особенностью аксиомы выбора является ее очевидность, непосредственная данность сознанию в качестве бесспорной истины. К. Гедедоь допускал, что самоочевидность этой аксиомы может быть использована для непосредственного обоснования ее истинности. Его мысль шла в том направлении, что эта аксиома является аналитической при некотором более широком понимании аналитичности, чем тривиальная тавтологичность22. Праксеологический анализ, однако, показывает, что здесь мы имеем дело с синтетическим положением, которое может быть оправдано на основе понятия онтологической истинности.

Мы выяснили, что математика использует понятие истины в особом смысле, радикально отличном от того смысла, в котором это понятие используется в опытных науках и даже в логике. Математическое утверждение следует считать непосредственно истинным, если оно соответствует универсальной предметной онтологии. Нетрудно видеть, что аксиома выбора полностью соответствует понятию онтологически истинного суждения. Первая часть этой аксиомы, а именно постулат о возможности выбора элемента из любого множества, утверждает не что иное, как дискретный и аддитивный характер рассматриваемых множеств, что выражает собой наиболее существенный аспект предметной онтологии. Не все мыслимые множества обладают указанным качеством. Выделяя отдельную мысль из совокупности мыслей, содержащихся в нашем сознании, мы никогда не можем быть уверены, что выделили только одну мысль, а также и в том, что выделили целую мысль, не оставив ее части или эквивалента среди оставшихся мыслей. Известное канторовское определение множества как всякой мыслимой совокупности слишком широко, ибо оно включает и расплывчатые множества, не удовлетворяющие требованиям идеальной предметности23. Аксиома выбора, таким образом, является не каким-то неопределенным расширением математики, как это обычно представляется в ее интуиционистской критике, а совершенно напротив — радикальным сужением класса множеств, допустимых к рассмотрению: она ориентирует на «правильные» множества, которые в достаточной степени дискретны и в которых не возникает проблем с отождествлением и различением элементов. Аксиома выбора привязывает теорию множеств к наиболее простому, дискретному или арифметическому пониманию множества, и, таким образом, она никак не,может рассматриваться в качестве дополнительного источника противоречий или некорректности доказательств.

Второй содержательный момент аксиомы выбора связан с идеей бесконечности: вправе ли мы, исходя из возможности выбора элемента из множества в каждом отдельном случае, заключать о возможности такого выбора для произвольной совокупности множеств? Затруднение состоит здесь, очевидно, в понимании сферы примене- ния схемы полной индукции, возможности применения ее к бесконечной совокупности множеств. При правильном понимании специфики математических суждений критика аксиомы выбора в этом пункте также должна быть отклонена. Переход от реализуемости выбора в каждом отдельном случае к одновременной реализуемости в бесконечном случае является проблемой, если речь идет о некоторой фактической реализуемости.

Корректность аксиомы выбора в последнем из ее аспектов не нуждается в обосновании: она непосредственно вытекает из аксиомы подмножеств, которая признает существующими все подмножества данного множества.

Обычная критика аксиомы выбора с точки зрения конструктивности неприемлема прежде всего в силу неприемлемости самого требования конструктивности в качестве универсального критерия строгости. Эта критика некорректна и в том отношении, что она не усматривает ограничивающего характера аксиомы выбора. Мы должны обратить особое внимание на тот момент, что аксиома выбора сводит понятие множества к объектам идеальной предметности. Можно сказать, что именно аксиома выбора вносит в теорию множеств конструктивность, приближая общее понятие множества к хорошо определенным дискретным арифметическим множествам. Аксиома выбора связывает теорию множеств с первичными онтологическими идеализаци- ями, которые являются предельно надежным фундаментом математического мышления.

Аксиома выбора в отличие от аксиомы бесконечности непроблематична для современной теории множеств, ибо доказана ее совместность с системой аксиом ZF, и, следовательно, — непротиворечивость системы ZFC при условии непротиворечивости ZF. Онтологическое обоснование, однако, важно для прояснения вопроса о реальном статусе теории множеств. Если мы вправе рассматривать аксиому бесконечности и аксиому выбора в качестве онтологически истинных суждений, то система аксиом ZFC получает привилегированное положение среди аксиоматических систем теории множеств, подобное положению евклидовой геометрии среди существующих и возможных геометрических систем. Мы вправе в этом случае говорить о ZFC как о реальной теории множеств, соответствующей онтологическому основанию понятия множества. Желая, к примеру, доказать гипотезу континуума, неразрешимую в ZFC, мы можем перестроить аксиоматику, заменив аксиому выбора аксиомой детерминированности. Мы можем получить в этом случае в каких-то отношениях более эффективную систему, но это будет все-таки искусственная система, отступающая от онтологического основания математического знания.

В «Principia Mathematica» Уайтхед и Рассел высказывают мнение, что невыводимость аксиомы выбора из принципов логики делает очень сомнительной значительную часть теории трансфинитных ординалов. С праксеологической точки зрения этот вывод не может быть принят. Аксиома выбора представляет собой часть онтологически истинной математики и, таким образом, предельно надежную основу математической теории, построенной на онтологически истинных аксиомах. В методологическом плане это означает, что аксиома, несмотря на свою внелогическую природу, не может быть источником ненадежности для логицистской теории множеств.