Аксиома множества-суммы (аксиома объединения)

(\/х) (Зу) (Vz) [z є у о (3 w) (w є а & w є w)].

Аксиома утверждает существование множеств, содержащих любое число элементов.

и{{0, {0}}, {{0, {0}}}} = {0, {0}, {0, {0}}}.

Повторение операции объединения дает большие множества, но опять-таки конечное их число. Этим самым достигается все та же политика получения «небольших» множеств из «небольших» множеств, а именно, совокупность, представляющая объедииение«не- больших» множеств, сама должна быть «небольшой». Другими словами, объединение небольших совокупностей небольших совокупностей должно быть небольшим.

Но даже в такой «безобидной» аксиоме нас могут подстерегать опасности. Дело в том, что объединение множества а может иметь больше членов, чем само а, что может привести к созданию слишком больших множеств. Но большая часть математиков полагает, что эта аксиома не выведет множества за разумные пределы. Высказанные опасения не являются очень уж актуальными по той причине, что обе аксиомы — пары и объединения — выражают идеологию итеративной концепции множества, которая гарантирует разумные размеры множеств. Действительно, пусть имеются множества А и В, которые сформированы на некоторой стадии а. Тогда объединение А и В можно будет сделать на стадии а + 1, что и гарантирует аксиома пары. Для множества Л, которое формируется на стадии а, его члены формируются на более ранней стадии, так что объединение членов А — иА — формируется на стадии а. Именно это устанавливает аксиома объединения.

Аксиома пары и аксиома множества-суммы, как видно, не дают достаточно больших множеств. Даже если допустить существование бесконечных счетных множеств, эти аксиомы не дадут нам континуума. Поэтому необходима более «сильная» аксиома, и уже Кантор использовал для получения достаточно больших множеств операцию возведения в степень. Полученные таким образом множества оправдываются аксиомой множества-степени. Но до того нам нужно рассмотреть аксиому бесконечности, которая гарантирует существование бесконечных множеств.