Аксиома экстенсиональности

Если два множества имеют одни и те же элементы, они тождественны.

VJC У у VZ [(Z Є х О z є 7) => х = у].

Эта аксиома как будто не требует комментариев в силу очевидности.

Простота и ясность аксиомы экстенсиональности подводит к мысли, эта аксиома выражает столь фундаментальное свойство множества, что попросту является частью определения концепции множества. Это ощущение превосходно выразил Дж. Булос. Он полагает, что аксиома экстенсиональности имеет специальный эпистемологический статус, которого не имеют остальные аксиомы. Если кто-то скажет, что существуют различные множества с одними и теми же членами, он убедит нас в том, что использует понятия отличным от нашего образом. Это впечатление будет гораздо большим, чем при отрицании кем-либо другой аксиомы. Поэтому возникает искушение назвать эту аксиому «аналитической», поскольку ее значение определяется значением входящих в нее понятий90. С аналитическим понятием связано много дискуссий, и одно из утверждений, разделяемых многими исследователями, гласит, что аналитические утверждения пусты, т.е. не несут никакой информации. Это будет противоречить реалистическому пониманию математических истин как информативных утверждений о математической реальности.

Однако нет ничего противоречивого в интенсиональной концепции множества. Тогда аксиома экстенсиональности не будет ана- литической. Действительно, в системе Principia Mathematica в качестве базисных сущностей выступают пропозициональные функции, являющиеся интенсиональными концепциями. Но дальнейший анализ этой системы показал, что гораздо проще работать с экстенсиональными сущностями. Дело в том, что одному экстенсиональному множеству соответствует много интенсиональных множеств, и если в основание математики кладутся интенсиональные множества, требуется, во избежание произвола, объяснение, почему выбрано то или иное интенсиональное множество. Ясно, что экстенсиональные множества в этом отношении проще. На такой трактовке настаивают Френкель, Бар-Хиллел и Леви91. Таким образом, можно считать, что основным соображением в пользу принятия аксиомы экстенсиональности являются соображения простоты теории. В терминологии П. Мэдди это обстоятельство является внешним по отношению к понятию множества, в то время как аналитичность рассматривалась бы как обстоятельство внутреннее.