3. «Продвинутые» аксиомы

Аксиома фундирования

Если a — непустое множество, тогда имеется элемент Ъ множества а такой, что не имеется множеств, которые принадлежат обоим множествам а и b

(Vx) [-,(* = Л) =>(Эу)(уе x&(Vz)(ze *=>-, (zey))].

Основная идея этой аксиомы относится к ограничению способа образования множеств из других множеств. Число операций по образованию множеств не должно быть бесконечным, во избежание создания слишком больших множеств. Система Цермело — Френкеля использует только конечное число итераций при собирании вместе всех продуктов конечных итераций. При этом аксиома не позволяет образовать множество, принадлежащее самому себе. В техническом отношении содержание аксиомы таково: она утверждает, что в любом множестве имеются элементы, минимальные при отношении членства. То есть даже когда мы имеем бесконечное множество S, S не может содержать бесконечной последовательности Х= {х.: і є N & -і (х. = Л)} членов таких, что ... є х2 є xl є хіу Потому что X было бы множеством, который имеет элемент, общий с каждым из его элементов, поскольку для каждого х., jt принадлежит х. и X. Даже множества типа со, для которых Ое 1 є 2 є 3 є ..., содержат в качестве членов множества, получающихся в результате конечного числа приложений операции х и {х} к Л.

Как видно, кроме ограничения размера множеств, есть более прямые пути избегания парадоксов, в частности парадокса Рассела. Приведенная аксиома исключает членство множества в самом себе, а также петли типа А є В и В є А. Однако такая прямота в значительной степени является иллюзией, потому что основные результаты теории множеств можно доказать и без этой аксиомы. Аксиомы представляют собой простой перечень теоретических утверждений, которые позволяют вывести все важнейшие результаты неформальной теории множеств, и при этом избежать парадоксов. Кроме блокировки парадокса Рассела эта аксиома интересна в другом отношении.

Но именно последнее утверждение вызывает у многих исследователей сомнения в истинности аксиомы фундирования, поскольку остается открытым вопрос о том, являются ли все множества «вполне-обоснованными». Принимать или не принимать в качестве «законных» множеств не вполне-обоснованные множества, вопрос сложный. Если мы хотим получить максимальную общность в трактовке понятия множества, мы не должны исключать не вполне-обоснованные множества, но так как в математической практике такие множества не встречаются, их можно назвать «монстрами» или «патологиями».

В любом случае, недавно П. Эжель предложил такую теорию множеств, в которой аксиома фундирования не справедлива103. Утверждается, что в применении к некоторым проблемам такая теория (AFA — Anti-Foundation Axiom) работает гораздо лучше, чем система Цермело — Френкеля. Однако в рамках этой теории множеств не удается получить правдоподобные интуитивные модели. Так что аксиома фундирования, будучи менее ясной, чем предыдущие аксиомы, все-таки принадлежит к «классическому» набору аксиом.