<<
>>

1. Завершенность математических понятий

В развитии математики, как и всякой другой науки, идет постоянный процесс совершенствования и логического обоснования понятий. Понятия постепенно приобретают соответствующую им общность, определенность смысла и освобождаются от дефектов логического порядка, которые могут состоять в их самопротиворечивости или в несогласии с принципами теории.

Важнейшей особенностью математического понятия, которая отличает его от понятия эмпирического, является то, что в своей эволюции оно неизбежно достигает предела совершенства, который можно назвать стадией полной логической корректности.

Анализ методологии и реальной истории математики позволяет утверждать, что развитие математической теории, будучи направленным на решение конкретных задач, неизбежно приводит к необходимой корректировке любого значимого для нее понятия и, в конечном итоге, к полному освобождению его от содержащихся в нем логических дефектов. Мы будем говорить о принципиальной завершенности математического понятия, подразумевая под этим то обстоятельство, что математическая практика неизбежно и в конечное время доводит каждое математическое понятие до стадии полной логической корректности.

Под логической корректностью понятия надо понимать здесь две вещи, а именно, отсутствие самопротиворечивости, т. е. противоречащих требований в самом его определении, и отсутствие несогласованности заложенных в нем требований с аксиомами теории. Мы не предполагаем здесь завершенности понятия в каком-либо ином смысле, к примеру, в смысле общности. Общее понятие площади не может быть дано в понятиях элементарной геометрии и в этом смысле это понятие не достигает здесь завершенности, хотя применительно к площадям простых фигур, оно используется с полной определенностью. Мы не связываем также с корректностью понятия никаких требований типа конструктивности или предикативности, ибо и неконструктивные, и непредикативные определения, в принципе, могут обладать полной корректностью в указанном смысле.

Наш общий тезис сводится к тому, что естественный процесс совершенствования математической теории в конечное время приводит к устранению всех противоречий, связанных с ее значимыми понятиями.

Этот тезис аналогичен тезису о завершенности доказательства и о завершенности системы аксиом и вскрывает, таким образом, один из аспектов внутренней стабилизации математического знания.

Общая методология науки всегда указывала на системный характер теоретических понятий. «Отдельное понятие, — писал Э. Кассирер, — никогда не может быть измерено и проверено само по себе; подтверждение оно получает всегда лишь как член целого теоретического комплекса»8. Применительно к математическому знанию мы можем существенно усилить это утверждение. Мы должны настаивать здесь на полном обосновании понятия через его принадлежность к системе.

Мы можем подойти к обоснованию этого положения на основе намеченной выше схемы формирования завершенной аксиоматики. Каждое определение, вновь введенное в математическую теорию, представляет собой утверждение о существовании и является, в действительности, добавлением новой аксиомы к уже существующему множеству аксиом. Вводя новое определение, если его законность не доказана с точки зрения аксиоматики, мы стоим перед лицом оправдания некоторой расширенной аксиоматики, т. е. оправдания новой аксиомы как непротиворечивой. Мы выяснили, что такое оправдание совершается в течение исторически ограниченного отрезка времени: определение либо отбрасывается как несоответствующее теории, либо входит в теорию в качестве органического элемента ее структуры. Практическая (функциональная) ассимиляция понятия, включение его в значимые утверждения теории может пониматься и как полное обоснование его корректности в смысле невозможности связанных с ним противоречий. Как и в случае с доказательством, мы имеем все основания считать, что каждое понятие на протяжении некоторого неопределенного, но конечного времени приобретает полную корректность в рамках своей теории.

Завершенность математического понятия может быть обоснована также исходя из его конечной определимости. Математическое понятие, доказавшее свою эффективность, имеет неустранимое, логически оправданное содержание и не может иметь бесконечного количества дефектов.

Но это значит, что необходимо конечное число познавательных контекстов, конечное число задач, решаемых с использованием этого понятия, для того, чтобы выявить эти дефекты и подойти к его адекватному определению в рамках данной теории.

Назовем общим (глобальным) обоснованием понятия его введение в теорию на основе признанных аксиом. Будем называть понятие локально обоснованным, если оно принято только на основе своей эффективности. Достаточно ясно, что в развитии математической теории локальное обоснование предшествует глобальному и само по себе может быть достаточным в смысле строгости. Понятия арифметики, евклидовой геометрии, теории вероятностей и т. п., разумеется, были строгими и до аксиоматизации этих теорий. Мы имеем основания утверждать, что возможно абсолютное логическое обоснование понятия исключительно на основе его использования. Такого рода локальное и абсолютное обоснование реализуется через взаимодействие данного понятия со смежными понятиями в процессе решения конкретных задач и не зависит от уровня логической систематизации теории в целом.

В качестве примера, иллюстрирующего движение понятия к полной корректности своих внутренних определений, можно рассмотреть развитие понятия дисЬференциала в XVIII веке. Первоначальное его понимание, как уже сказано выше (это относится как к трактовке Лейбница, так и к трактовке Ньютона), было мало приемлемым с точки зрения строгости. Не было, во-первых, однозначного решения вопроса о том, следует ли понимать эту величину большей нуля или равной нулю. Лейбниц склонялся к первому пониманию, в то время как Эйлер и некоторые другие математики развивали представление о дифференциале как о величине, равной нулю. Длительное время дифференциал отождествлялся с приращением функции, что привносило неясность и заведомую нестрогость в операции с этой величиной. Не было адекватного определения предела и непрерывности, что закрывало путь к полному теоретическому обоснованию понятия дифференциала и алгоритмов дифференциального исчисления вообще. Однако решение новых теоретических проблем и прикладных задач вело постепенно, но неизбежно к устранению всех этих неясностей. Лангранж провел строгое различение приращения функции и дифференциала как главного приращения. Даламбер, следуя Ньютону и Эйлеру, сделал ясным для математиков то обстоятельство, что при вычислении дифференциала мы имеем дело просто с предельным переходом и с отношением функций, которое может стремиться к любому числу при исчезающе малых приращениях этих функций. Стало ясно, что для строгого понимания дифференциала и алгоритма его вычисления следует уточнить интуитивное понятие предела и обосновать корректные правила обращения с этим понятием. Даламбер уже написал основные концептуальные равенства типа lim(a + b) = lima + lim6, но само понятие предела оставалось неопределенным, понимаемым на уровне интуитивной ясности. Коши завершил это прояснение основных понятий анализа посредством формальной экспликации понятия предела, которое давало возможность доказывать его существование и в тех случаях, в которых это не подтверждалось непосредственной интуицией. Мы можем сказать, что через полтора века после своего появления понятие дифференциала приобрело, наконец, строгое определение, не поддающееся какой-либо дальнейшей корректировке, изменяющей его смысл.

Важно отметить, что эволюция понятия дифференциала и других понятий анализа, которая продолжалась в течение всего XVIII века, не была результатом философских размышлений о сущности математической строгости. Хотя такого рода размышления имели место и были несомненно полезными для прояснения возможных путей выхода из трудностей (здесь мы можем указать на доводы Лейбница, на критику Дж. Беркли, на «Рассуждения» Л. Карно и многие другие методологические подходы), можно с полной определенностью утверждать, что главным фактором, определившим совершенствование понятий анализа, была математическая практика, применение общих принципов к решению конкретных задач. Известно сколь важную роль для прояснения понятия непрерывности сыграла задача о колеблющейся струне9.

Оформленная к середине XIX века теория, которую мы называем сегодня математическим анализом, является безусловно законченной в своей внутренней структуре. Эта теория является строгой в том смысле, что она не подвержена изменению или корректировке своих понятий через возможное введение в будущем каких-либо новых представлений о строгости или через включение ее в некоторый новый более широкий контекст рассмотрения. Это не значит, что Коши и Вейер- штрасс указали абсолютный фундамент анализа, не требующий углубления. Очевидно, что это не так, и последующее развитие событий показало это с полной ясностью. Но несомненно и то, что анализ как математическая теория приобрел законченные очертания и что любое его будущее обоснование должно считаться с его логической структурой как с чем-то безусловно данным и не допускающим перестройки.

<< | >>
Источник: Перминов В .Я. . Философия и основания математики - М.: Прогресс- Традиция. — 320с.. 2001

Еще по теме 1. Завершенность математических понятий:

  1. Понятие завершенной аксиоматики
  2. 2. Математическая компонента
  3. 3. Конечность математических доказательств
  4. 2. Абсолютная критериальность математического сообщества
  5. 6. О достоверности математических доказател ьств
  6. 8. Математическая лингвистика
  7. 5. Реальность математических объектов
  8. Математическая программа
  9. Непротиворечивость завершенной аксиоматики
  10. 4.1. Математически возвышенное
  11. 4. Системность математической теории
  12. 1. Основные характеристики математического доказательства
  13. Математическое воспитание
  14. 18. Математическое открытие
  15. 3. Свойства завершенной аксиоматики
  16. 2. Основные типы математической очевидности