Аксиома пустого множества

Сама аксиома пустого множества формулируется так:

Существует пустое множество 0, которое не содержит элементов

Аксиома утверждает, что существует множество, не содержащее элементов. И эта аксиома утверждает существование множества, из которого конструируются все остальные множества. Таким образом, это практически единственное по-настоящему экзистенциальное утверждение среди аксиом. Если постулируется существование пустого множества, тогда получаются и все остальные множества, и, важно отметить, получаются только множества и никакие другие объекты. Принятие этой аксиомы означает, что весь универсум множеств творится из ничего. Это обстоятельство вызывает массу трудностей в восприятии природы математики, не в последнюю очередь и эпистемологические трудности.

Эта трудность превосходно ощущалась как Цермело, так и Расселом. Цермело называл пустое множество «фиктивным», поскольку под множеством все-таки должно подразумеваться нечто такое, что имеет члены (т.е. множество чего-то). Рассел в одной из своих работ сравнил конструирование множеств из пустого множества с действием фокусника, вытаскивающего кроликов из шляпы. Но он отдавал себе отчет о различии между философскими затруднениями и технической полезностью. «Для символического логика, который ощущает полезность пустого множества, [запрет на пустое множество] выглядит реакционным шагом. Но я в данном случае обсуждаю не то, что должно делаться в логических исчислениях, где практика использования пустого множества представляется мне наилучшей, а философскую истину относительно этого понятия»92. На это Расселу можно было бы возразить, что в математике есть много примеров подобного рода «фиктивных» объектов типа точек на бесконечности в геометрии и т.д. Именно такой точки зрения придерживался К. Гедель. Опять-таки, мы имеем дело с «внешним» критерием принятия математических объектов в качестве существующих. Отметим также, что с точки зрения математиков, по поводу пустого множества философы зачастую впадают в излишнюю метафизику, хотя при обсуждении этой концепции без философии не обойтись. Иллюстрацией этого затруднения служит следующий пассаж из книги Р. Рукера Бесконечность и ум:

«Универсум теории множеств графически представим в виде конуса, понимание которого связано с многими философскими концепциями. В вершине конуса точка, которая представляет пустое множество.

Это несколько метафизическое объяснение может быть совмещено с более прозаическим математическим соображением. В целях получения удовлетворительной символической системы, описывающей множества, желательно принять (быть может, в виде конвенции), что пересечение двух множеств, которые не имеют общих элементов, должно быть определено. Таких конвенций в математике весьма много (например, результат возведения в степень 0 некоторого целого числа есть I), и здесь важно, чтобы такого рода расширения по конвенции не противоречили остальной части символической системы. В данном случае пустое множество постулируется как результат такой операции, и после этого постулируется, что множества имеют элементы, которые кроме членов содержат и пустое множество.

Есть еще одно, возможно более фундаментальное обоснование концепции пустого множества. Как отмечает П. Мэдди", согласно итеративной концепции множеств, множества образуются серией шагов, начиная с вещей, которые не являются множествами, и на каждой стадии образуются все возможные множества вещей из предыдущей стадии. Таким образом, первая стадия требует пустого множества. Итеративная концепция множества влечет массу следствий более общего толка, чем вопрос о пустом множестве, но если она принимается, тогда понятие пустого множества является частью значения концепции множества вообще, и не требует специального обоснования.

Следует сказать несколько слов о фундаментальной концепции теории множеств, а именно, об итеративной концепции множества. Часто она называется математическим, или комбинаторным понятием совокупности. Объяснение последнего терміта состоит в том, что на каждой стадии множество образуется путем комбинации вещей, которые доступны на этой стадии. Итеративная концепция множества противопоставляется логической концепции, по которой множество определяется свойством; эту концепцию использовали Фреге и Рассел (у которого множество определяется пропозициональной функцией).