6. Рациональность и аксиомы

Интерес представляет природа этих теоретических ограничений. Для того чтобы избежать произвола в указании или приписывании значений терминам, мы должны принять что-то вроде конвенции об употреблении терминов, т.е. принять определенного рода решения. Другим источником теоретических ограничений может быть наш опыт обращения с эмпирическим материалом и теоретическими схемами в определенной области науки. С точки зрения Патнэма теоретические ограничения подобного рода не могут дать полной системы аксиом теории множеств (полная система аксиом теории множеств была бы нерекурсивной и трудно представить себе, как можно было бы сконструировать такую теорию в рамках человеческих возможностей). Но невозможность полной системы аксиом означает наличие ненамеренных интерпретаций.

Наличие ненамеренных интерпретаций может означать две вещи — неопределенность в указании на объекты, а также неопределенность истинностных значений утверждений теории. До сих пор обсуждалась первая возможность, а теперь мы переходим к обсуждению второй: «Если я прав, тогда относительность теоретико-мно- жественных понятий распространяется на относительность истинностных значений утверждения V = L (то же для аксиомы выбора и континуум-гипотезы)»150.

Для понимания ситуации следует рассмотреть пример из теории множеств. Речь идет об аксиоме конструируемое™ Геделя «V = L». Современная теория множеств гласит, что V = L независима от системы аксиом Цермело — Френкеля плюс аксиома выбора (ZFC), т.е. что ZFC +V=L и ZFC +V*L непротиворечивы. Отсюда если намеренная модель теории множеств фиксируется только ак- сиомами ZFC и имеется на самом деле такая модель, тогда имеется намеренная модель, в которой V = L истинна, и такая намеренная модель, в которой V = L ложна. Утверждение « V = L» независимое от остальных аксиом утверждение, и поэтому может рассматриваться как результат теоретических ограничений, в частности, как результат постулирования. Гедель предположил, или постулировал, что оно истинно. В отношении постулируемых утверждений (можно рассматривать как постулаты значения в смысле Карнапа) всегда возникает вопрос о том, как эти постулируемые предложения соотносятся с реальностью. Другими словами, истинно ли это предложение в реальности?

Сам Гедель в конце концов принял точку зрения, согласно которой это утверждение в реальности ложно, исходя из своей интуиции. Патнэм замечает, что хотя эту интуицию Геделя разделяют многие математики, имеет ли она смысл? (Надо заметить, что система, состоящая из утверждения о ложности «V = L» плюс теория множеств, непротиворечива, если непротиворечива сама теория множеств.) Какой смысл можно придать утверждению, что это утверждение ложно, кроме как апелляции к интуиции?

Имеет смысл утверждать, что ложность « V=L» «в реальности» может означать, что модель, в которой « V = L» справедливо, не будет намеренной моделью. Если, как уже было сказано, намеренная модель получается за счет теоретических ограничений, а « V = L» удовлетворяет таким ограничениям, тогда нам придется признать, что « УФ L» не следует из теоретических ограничений. Это означает, что истинностное значение утверждения «У = L» подвержено относительности, о которой говорит Сколем. Это же относится к таким утверждениям, как аксиома выбора и континуум-гипотеза.

Относительность подобного рода поднимает серьезнейшие вопросы, поскольку трудно понять, как такие утверждения, как аксиома выбора или континуум-гипотеза не имеют определенного истинностного значения. Они сформулированы с учетом всех требований рациональности, и если все-таки принять позицию относительности в отношении подобных утверждений, тень сомнения упадет и на само понятие рациональности. Это будет означать, что на некотором этапе развития математики мы можем сформулировать с первого взгляда рациональные утверждения, которые таковыми не окажутся при более тщательном анализе.

Вопрос можно переформулировать следующим образом. Если мы не знаем истинностного значения, скажем, аксиомы выбора, и оно не может быть решено путем установления конвенции на этот счет (которые есть часть теоретических ограничений), то принятие аксиомы поднимает вопрос о рациональности. Патнэм приводит следующий пример. Пусть некоторая внеземная цивилизация имеет такую математику, в которой аксиома выбора отвергается. С точки зрения земной математики, принимающей эту аксиому, внеземляне, очевидно, делают ошибку, и очевидно, их математика иррациональна. Этого слишком сильного заключения можно избежать, если не считать, что аксиома выбора не является частью нашей рациональности. Но если она таковой вряд ли является, тогда придется все- таки признать относительность теоретико-множественных понятий в духе Сколема. Это означает, что не существует одной выделенной рационально приемлемой теории множеств, и в этом смысле принятие любого решения относительно истинностного значения аксиомы выбора или континуум-гипотезы есть акт иррациональный.

Обсуждаемые примеры неопределенности указания относятся к теории множеств. Но эта дисциплина претендует на описание вне- чувственной реальности, и поэтому может возникнуть вопрос, в какой степени мы должны считать, что семантика теории множеств должна быть идентичной семантике физической теории. Другими словами, должны ли мы считать, что семантика абстрактных объектов должна быть семантикой в смысле Тарского? Действительно, использование сингулярных терминов в теории означает, что абстрактные объекты указываются этими терминами, и квантифика- ция над ними приводит к знаменитому критерию Куайна «быть значит быть значением переменной». Но какой смысл имеет указание на абстрактные объекты, если они лишены пространственно-временной локализации? Если у нас есть сомнения в идентичности семантик для физических объектов и абстрактных объектов, то можно предположить, что неопределенность, описанная Патнэмом, является аномалией семантики абстрактных объектов.

Однако Патнэм аргументирует, что апелляция к эмпирическим объектам не устраняет этой неопределенности. В частности, физическая наука не фиксирует единственной «намеренной интерпретации» для словаря теории множеств, и не ограничивает таких интерпретаций для того, чтобы устранить неопределенность истинностных значений теоретико-множественных предложений.

Т. Бейс дает четкое объяснение того, каким образом Патнэм ухитряется связать физическую теорию с теорией множеств151. Начина- ется этот аргумент є описания теоретической возможности такого взаимодействия. Предположим, что мы имеем машину, делающую измерения каждые три секунды. Она дает тогда результаты в виде О и 1, и предположим, что машина ухитряется работать бесконечный период времени и дает бесконечную последовательность измерений. Теоретически последовательность 0 и 1 могла бы «кодировать» неконструктивное множество, т.е. множество, которое живет в V, но не в L. В этом случае может показаться, что сама природа ухитряется фальсифицировать гипотезу V = L. Но для обоснования воздействия физической науки на интерпретацию теории множеств требуются более точные аргументы.

Эти аргументы включают доказательство очень важной для целей всей программы Патнэма теоремы152. Эта теорема (у Патнэма она фигурирует как Теорема 1) гласит: ZFC плюс V = L имеет (й-модель, которая содержит любое счетное множество действительных чисел.

Далее, утверждает Патнэм, пусть ОР будет счетной совокупностью действительных чисел, которая кодирует все измерения, которые человек когда-либо может сделать. По теореме 1, имеется модель ZFC плюс V-L, которая содержит ОР. Так как эта модель удовлетворяет ZFC, она должна быть «намеренной моделью», и поскольку она удовлетворяет V = L и ОР, она учитывает проблему измерения, которая обсуждалась выше.

Поскольку единственные ограничения на интерпретацию теоретико-множественного словаря приходят из формальной структуры наших научных теорий (включая явные аксиомы теории множеств) и из физических измерений, существует такая интерпретация, в которой V = L оказывается истинной. Но Патнэм предполагает, что имеется некоторая интерпретация теории множеств, — опять- таки, интерпретация, совместимая с остальными нашими научными теориями и со всеми физическими измерениями, которые мы могли бы сделать, — в которой V = L окажется ложной.

Таким образом, мы имеем два следующих утверждения: (1)

Ничего другого, кроме теоретических и операциональных ограничений не может фиксировать «намеренной интерпретации» языка теории множеств. (2)

Не существует «намеренной интерпретации» языка теории множеств.

Наконец, поскольку различные, равно «намеренные» интерпретации теории множеств расходятся в отношении истинностного значения предложений типа V = L, для таких предложений просто не существует определенных истинностных значений. По словам Пат- нэма, «они просто истинны в одних моделях и ложны в других».

Такова в целом структура аргумента Патнэма. Цель ее состоит в демонстрации, что теоретико-множественный язык семантически неопределенен. Для достижения этой цели мы сперва замечаем, что аксиомы теории не определяют единственной интерпретации теоретико-множественного языка.

Бейс показал, что теорема 1 является ошибочной153. Мы не входим здесь в детали этой аргументации, но укажем, что на самом деле Патнэм имеет в виду не систему ZFC, а более мощную систему аксиом. Действительно, рассмотрим просто форму теоремы 1. Для любого счетного множества действительных чисел X имеется со-модель М такая, что М семантически дает ZF+V= L и Хе М. Так как любая модель ZF+V=L есть также модель ZFC, теорема 1 влечет, что существует модель ZFC. И так как это, в свою очередь, влечет, что ZFC непротиворечива, теорема 1 влечет также непротиворечивость ZFC. Однако по второй теореме Геделя о неполноте непротиворечивость ZFC не может быть доказана внутри самой ZFC. Поэтому теорема 1 не может быть доказана внутри теории множеств, с которой он работает. Так что аргумент Патнэма, основанный на теореме 1, не проходит.

Далее Бейс замечает, что доказательство Патнэма можно было бы восстановить, если принять существование недостижимых кардинальных чисел. Но такая теория множеств выходит за пределы общепринятой аксиоматической теории множеств. И если такая сильная система позволяет доказать теорему 1, которая, в свою очередь, свидетельствует в пользу неопределенности семантики, тогда это будет скорее аргументом против такой системы, чем аргументом в ее пользу.

Столь сильные отклонения в программе Патнэма сводят на нет его усилия. Действительно, Патнэм стремится к получению модели ZFC + V- L, которая удовлетворяет всем теоретическим и операциональным ограничениям. Теорема 1 и призвана дать такую модель. Но коль скоро теорема 1 доказывается в рамках более сильной аксиоматической системы (с недостижимыми кардинальными числами), мы можем рассматривать ситуацию как поиски Патнэмом модели, которая удовлетворяет ZF + V = L плюс некоторое дополнение (по крайней мере, аксиома о существовании недостижимых кардинальных чисел), но как раз такой модели Патнэм не имеет.

Такая ситуация демонстрирует различие в позициях между Патнэмом с его тезисом о неопределенности семантики и его противниками, отвергающими этот тезис. В самом деле, последние вряд ли примут более сильную теорию, чем стандартная теория множеств. Но даже философы принимают эту более сильную теорию, тогда «теоретические ограничения» этих философов отличаются от тех ограничений, которые имел в виду Патнэм при доказательстве своей теоремы 1.

Приведенная аргументация демонстрирует тезис о том, что мы имеем дело с еще более сильной версией «посылки принцессы Маргарет» — дело не только в том, что надо еще убедить философов в выводах, как будто следующих из технических результатов. Сами математические результаты оказываются ошибочными, а ведь на основе этого результата строится целая эпистемологическая программа. На кону стоит не только программа обоснования «внутреннего реализма», но и сама возможность апелляции к техническим результатам при конструировании философских обобщений. Поэтому имеет смысл вернуться к анализу соотношения основных философских и математических тезисов Патнэма.

В обосновании неопределенности указания терминами научной теории обсуждение теоретических и операционных ограничений имеет первостепенную важность. Что собственно включает понятие «теоретических» ограничений? По Патнэму, ограничения на наше видение мира могут вноситься математикой, естественными науками и философией, и мы считаем, что теоретические ограничения не фиксируют единственной намеренной интерпретации. Но может быть, есть какие-то другие средства такой фиксации? Но здесь Патнэм твердо заявляет в своем тезисе (2), что ничего, кроме теоретических и операциональных ограничений не может фиксировать намеренной интерпретации, а этого они как раз и не делают. Следует более четко подчеркнуть место понятий теоретических и операциональных ограничений в теоретико-модельном аргументе. Философская цель Патнэма состоит в опровержении так называемого метафизического реализма, т.е. представления о независимой от сознания реальности. Опровержение проходит по схеме доказательства от противного154.

Доказательство начинается с простых философских посылок:

Посылка 1. Мир состоит из объектов, существующих независимо от сознания.

Посылка 2. Наши утверждения о мире выражают позицию реализма о независимой от сознания реальности.

Далее, в ход идут «математические аргументы» с использованием теоремы Левенгейма — Сколема, в частности, появляются как раз те самые теоретические и операциональные ограничения.

Посылка 3. Одних лишь теоретических и операциональных ограничений недостаточно для фиксации определенного отношения указания между терминами нашего языка и независимой от сознания реальности.

Посылка 4. Нет ничего другого во вселенной, что (в добавление к теоретическим и операциональным ограничениям) могло бы фиксировать отношение указания к независимой от сознания реальности.

Заключение. Наши утверждения семантически неопределенны, т.е. есть ситуация неопределенности указания.

Поскольку заключение абсурдно, следует отвергнуть философские посылки 1 и 2.

Однако, что же все-таки такое теоретические и операциональные ограничения? Ведь можно предположить, что их введение представляет собой ad hoc маневр Патнэма для обоснования своего тезиса «сколемизация всего», поскольку описание их очень расплывчато, и под него можно подставить практически все что угодно. И действительно, как замечает Бейс, каждая кажущаяся интерпретация оказывается, при тщательном рассмотрении, специальным случаем «теоретических и операциональных ограничений». Больше того, привлечение рассмотрений, которые могли бы угрожать привилегированному положению теоретических и операциональных ограничений, парируется Патнэмом с помощью аргумента, который обрел название «еще одна теория». Так, многие рассматривают причинную теорию указания (ПТУ) в качестве контрпримера теоретико- модельному аргументу Патнэма, потому что причинная теория не допускает неопределенности указания. Аргумент «еще одной теории» состоит тогда в следующем155:

Причинная теория указания должна быть совместима с теорией Т, к которой применим теоретико-модельный аргумент, или даже быть частью этой теории. В любом случае, если к теории Т будет добавлена ПТУ, тогда получается «еще одна теория» Т и ПТУ, к которой опять-таки применим теоретико-модельный аргумент. Именно этим приемом достигается необходимая гибкость в понимании теоретических и операциональных ограничений, ответственных за неопределенность указания. Но всегда ли добавление дает «просто еще одну теорию», которая также не фиксирует указания терминов?

Бейс отмечает, что в этом отношении аргумент «просто еще одна теория» упрощает ситуацию. На самом деле следует различить описание особенностей модели, которое делает ее «намеренной интерпретацией», и просто добавление новых предложений к выполняемой модели, для того чтобы считать это намеренной интерпретацией. Одно дело, когда при некоторых теоретических ограничениях, в частности, при определенной системе аксиом меняется семантика, результатом чего может быть ограничение класса структур, считаемых моделями. Другое дело, когда к старой системе добавляются новые аксиомы, которые требуют интерпретации. Когда Патнэм говорит о «просто еще одной теории», подверженной неопределенности, он имеет в виду добавление новых аксиом. Между тем выделение намеренных интерпретаций, т.е. фиксация указания, делается путем описания, например, при наложения требования о транзитивности моделей (тогда все нетранзитивные структуры не будут намеренными).

Конечно, Патнэм не будет считать введение ограничения транзитивности некоторым описанием уже существующей ситуации.

С точки зрения реализма действительно существуют намеренные модели, и разговор о транзитивности только описывает уже существующую ситуацию. Между тем вопрос как раз и состоит в том, чтобы решить, кто прав — реалист или «внутренний реалист», и поэтому ограничение транзитивности есть только предположение и не больше.

Таким образом, с точки зрения Патнэма недопустимо использовать семантически неопределенный язык для описания намеренных интерпретаций. Но собственно говоря, почему этого нельзя делать? По Патнэму, реалист не может предположить истинным утверждение о существовании свойства транзитивности моделей, потому что этот самый вопрос стоит на кону. Бейс полагает, что тут с видным логиком Патнэмом сыграла злую шутку та самг(я логика, а именно, логика условных утверждений. Вопрос состоит в том, можем ли мы принять одновременно теорию моделей Патнэма и семантическую определенность математического языка, потому что постановка проблемы имеет форму:

Теория моделей Патнэма => Семантическая неопределенность

или

Теория моделей Патнэма => -іСемантическая определенность

В этом смысле нет ничего странного в позиции реалиста, предполагающего правильность как теории моделей Патнэма, так и семантическую определенность языка, для дальнейшего исследования, не ведет ли это предположение к противоречию. Так что вполне допустимо изменение семантики, в результате которого новая теория не подпадает под неопределенность.