5. Логицистское обоснование непротиворечивости теории множеств

Первоначальный (сильный) тезис логицизма состоял в том, что вся математика сводится к общезначимым суждениям логики.

В общем плане эта ситуация может быть описана на основе понятия логицистской системы аксиом. Будем называть систему аксиом логицистской, если она имеет вид L + АМ% где L — это утверждения, редуцируемые к логике, a AM состоит из утверждений, допускающих обоснование в качестве онтологически истинных. Так как все аксиомы этой системы являются либо логическими, либо онтологическими истинами, то в соответствии с принципом онтологической совместности эта система должна быть принята в качестве абсолютно непротиворечивой, несмотря на ее несводимость к логике. Гносеологический анализ позволяет утверждать абсолютную надежность математических теорий, основанных на логицистских аксиоматиках.

Очевидно, что арифметика удовлетворяет требованиям логицистской системы. Анализ показывает, что для обоснования своей истинности аксиоматика арифметики кроме логики требует лишь допущения аксиомы бесконечности, которая представляет собой онтологически истинное суждение. Отсюда непосредственно вытекает вывод о непротиворечивости этой аксиоматики. Мы не сводим здесь арифметику к логике, как это предполагалось первоначальной программой логицизма, но используем логицистский анализ для доказательства ее онтологической истинности, а следовательно, и непротиворечивости.

Рассмотрим систему аксиом Т, выражающую теоретико-типовое задание теории множеств, которая состоит из трех следующих аксиом:

Т1. Аксиома объемности. Два класса являются тождественными, если они имеют одни и те же элементы.

Т2. Аксиома выделения. Для всякого предложения, определяющего объект типа г, существует соответствующий ему класс типа г + 1.

ТЗ. Аксиома бесконечности. Существует множество, которое нельзя перенумеровать посредством любого конечного отрезка натурального ряда.

Если мы можем допустить, что аксиомы 1-я и 2-я являются логическими или хотя бы аналитическими истинами, предопределенными сферой логической истинности, то система аксиом в целом должна быть признана в качестве абсолютно совместной на основе принципа совместности логических и онтологических истин.

Есть основания думать, что эта система действительно может быть отнесена к классу логицистских, а следовательно, и к классу абсолютно обоснованных систем. Здесь следует принять во внимание, что Рассел и Уайтхед исходят из логического определения понятия множества, а именно из его понимания как области значений пропозициональной функции. При таком определении множества истин- ность аксиомы объемности непосредственно проистекает из логического определения тождества порождающих формул. Аксиома выделения утверждает, что для любого множества А и свойства В, такого, что для любого х, содержащегося в А, В(х) либо истинно, либо ложно, существует множество В(х), состоящее в точности из тех элементов, для которых В истинно. Из истинности закона исключенного третьего следует возможность строгого разделения множества А на элементы, удовлетворяющие признаку В и не удовлетворяющие ему при достаточной корректности выделяющего признака, т. е.

Несомненно правы критики логицизма, которые указывают, что исходная база теории множеств, связанная с понятием логической функции недостаточна для ассимиляции содержательной теории множеств в полном объеме. Но нужно признать, что в рамках теории типов достигается экспликация понятия множества, превращающая аксиому объемности и аксиому выделения в тождественно истинные логические утверждения. Отсюда следует, что система Т, взятая в целом, удовлетворяет свойствам логицистской системы и должна быть признана, в соответствии с нашими критериями, в качестве абсолютно непротиворечивой.

Теоретико-типовая аксиоматика теории множеств являются более слабой в сравнении с такими аксиоматическими системами как Z, ZF и NBG. Тем не менее она включает в себя все основное содержание теории множеств и является вполне достаточной для обоснования анализа и всех основных теорий современной математики, за исключением указанных более сильных теорий27. Возможность прямого оправдания истинности и непротиворечивости аксиоматик типа Т открывает, несомненно, более широкий подход к обоснованию математики, чем подходы, предложенные традиционными программами обоснования.

Строгое обоснование логицистского характера системы Т или аналогичной системы требует уточнения смысла логической истинности, а также, по-видимому, более современного обоснования тезиса умеренного логицизма. Против логицистской программы выдвигались не только методологические, но и собственно математические возражения, относящиеся к качеству редукции. Пуанкаре, Гильберт и Вейль указывали на невозможность выявления логического основания математики без использования арифметических понятий. К. Гёдель от- мечал незавершенность ряда доказательств в «Principia Mathematica», важных с точки зрения обоснования редукции. По мнению Куайна, Рассел и Уайтхед с самого начала поместили в класс логических истин положения, имеющие внелогический характер и требующие особого обоснования. Френкель и Бар-Хиллел высказывают мнение, что относительная успешность редукции, осуществленной в «Principia Mathematica», оказалась возможной лишь за счет незаконного смешения операций с классами и операций с множествами28. Эта критика ставит под сомнение истинность умеренного тезиса, а следовательно, в какой-то мере, и намеченный здесь замысел обоснования непротиворечивости теории множеств на основе выявления логицистской системы аксиом. Ясно, что реальное логицистское обоснование некоторой теории имеет смысл лишь при условии, что все ее аксиомы, кроме онтологически истинных, могут быть представлены в качестве логически общезначимых29.

Наша задача состоит здесь не в обосновании системы Т или какой- либо другой системы аксиом, а в обосновании того положения, что экзистенциальные аксиомы, которые традиционно рассматривались в качестве основного препятствия к обоснованию арифметики и теории множеств, в действительности, не являются таким препятствием, а напротив, открывают новые возможности обоснования этих теорий за счет выхода в сферу онтологической истинности. Эти аксиомы выводят математическую теорию за пределы логики, но они .оставляют ее в пределах онтологической истинности, которая, будучи установленной для всего множества аксиом, достаточна для заключения об абсолютной непротиворечивости этих аксиом и теории в целом. Речь здесь, разумеется, уже не о логицистском обосновании теории, а об использовании логицистской редукции для обоснования непротиворечивости некоторого типа теорий.

Мы идем здесь к заключению о непротиворечивости системы аксиом из их содержательного анализа. Старая идея обоснования непротиворечивости на основе истинности, лежащая в основе логицистской программы, таким образом, сохраняет свое значение, несмотря на отказ от исходных целей этой программы.