5. Теория множеств и реальность

Апелляция к параллелям между теорией множеств и неевклидовой геометрией для прояснения соотношения теории множеств и реальности вряд ли может быть оправданной. Дело в том, что не- евлидовая геометрия имеет важные физические приложения, в то время как теория множеств может в одном случае рассматриваться как «идеальные элементы» в смысле Гильберта, и в другом случае, как теория о мире внечувственных объектов математики.

Все зависит от философских установок. Для реалиста (или лучше сказать платониста) доказательство неразрешимости континуум-гипотезы не является поводом для глубоких философских спекуляций формалистского толка: «доказательство неразрешимости континуум-гипотезы Кантора из принятых аксиом теории множеств (в противоположность, например, доказательству трансцендентности числа пи) никоим образом не является решением проблемы. ...теоретико-множественные концепции и теоремы описывают вполне-определенную реальность, в которой догадка Кантора должна быть либо истинной, либо ложной. Отсюда следует, что неразрешимость континуум-гипотезы в рамках системы аксиом означает, что эти аксиомы не содержат полного описания этой реальности. Такая вера никоим образом не является химерической...»117

Кроме онтологической веры в существование реальности, описываемой теорией множеств, важны еще и эпистемологические соображения, которые не позволяют развить аналогию между неевклидовой геометрией и неканторовской теорией множеств до такой степени, при которой эта аналогия приобретает по-настоящему философский интерес. В этом смысле опять-таки чрезвычайно важно мнение самого Геделя: «Высказывались мнения, что если континуум-гипотеза Кантора окажется неразрешимой в рамках принятых аксиом теории множеств, вопрос о ее истинности теряет смысл точно так же, как для математиков бессмыслен вопрос об истинности пятого постулата Евклида после доказательства непротиворечивости неевклидовой геометрии. Я хочу подчеркнуть, что ситуация в теории множеств весьма отлична от ситуации в геометрии, как с математической, так и эпистемологической точек зрения. .. .существует поразительная асимметрия, с точки зрения математики, между системой, в которой утверждается (аксиома о существовании недостижимых чисел), и системой, в которой она отрицается (та же асимметрия также встречается в более низких уровнях теории множеств, где непротиворечивость соответствующих аксиом менее подвержена сомнениям скептиков...

Что касается эпистемологической ситуации, то тут следует сказать, что доказательство неразрешимости приводит к потере значимости вопроса об истинности аксиомы только в том случае, если система аксиом интерпретируется как гипотетико-дедуктивная система. Другими словами, если значения примитивных терминов остаются неопределенными.

В геометрии, например, вопрос о том, является ли пятый постулат Евклида истинным, сохраняет свое значение только в том случае, если примитивные термины имеют определенный смысл, а именно, с указанием на поведение твердых тел, лучей света и т.д. Подобная ситуация имеет место и в теории множеств, и различие состоит лишь в том, что в геометрии значения берутся из физики, а не из математической интуиции, и поэтому вопрос выпадает за рамки математики. С другой стороны, объекты трансфинитной теории множеств... не принадлежат к физическому миру и даже их косвенная связь с физическим опытом весьма слаба (главным образом, благодаря тому факту, что теоретико-множественные концепции играют лишь малую роль в современной физике)»118. К формализму философов математики подталкивает сама природа аксиоматизации. Аксиоматика теории множеств позволяет «рассосать» фундаментальную философскую проблему относительно природы математики. В аксиоматической теории множеств противоположность платонистской и конструктивистской позиций практически невидима. Если математика, как полагает платонист, мыслится как открытие уже существующего универсума множеств, тогда аксиомы прямо утверждают существование множества, удовлет- воряющего определенным условиям. Если же математика, как полагает концептуалист, является человеческим изобретением, тогда аксиомы утверждают способ порождения из одних заданных множеств других множеств. Математика в этом смысле представляет собой структуру, в которой непротиворечиво демонстрируется существование множества. Другими словами, аксиомы позволяют так ограничить понятие множества, чтобы избежать парадоксов, независимо от взгляда на природу математики.

Приведенный выше список аксиом стандартной теории множеств не является каким-то каноническим. Возможны другие перечни и другие аксиомы. Например, есть список аксиом, именуемый аксиомами теории множеств Цермело — Френкеля — Сколе- ма, включающий следующие аксиомы: 1.

Аксиома экстенсиональности. 2.

Аксиома пустого множества. 3.

Аксиома неупорядоченных пар. 4.

Аксиома множества-суммы. 5.

Аксиома бесконечности. 6.

Аксиома замещения. 7.

Аксиома множества-степени. 8.

Аксиома выбора. 9.

Аксиома регулярности119.

Наконец, имеет смысл привести исходный перечень аксиом, который появился в работе Э. Цермело120. 1.

Аксиома экстенсиональности. 2.

Аксиома элементарных множеств: пустое множество, единичное множество, множество пары. 3.

Аксиома свертывания (Aussonderung). 4.

Аксиома множества-степени. 5.

Аксиома объединение множеств. 6.

Аксиома выбора. 7.

Аксиома бесконечности.

<< | >>

↑

Источник: Целищев В.В.. Философия математики. 4.1.— Новосибирск: Наука,. —212 с.. 2002

Еще по теме 5. Теория множеств и реальность: