5. Обоснование непротиворечивости на основе факта

В качестве примера мы можем указать на связь аксиоматики евклидовой планиметрии с теоремой Пифагора. Особенность теоремы Пифагора состоит в том, что ее строгое доказательство требует использования всех планиметрических аксиом евклидовой геометрии. Все эти аксиомы как бы стягиваются в факте, выраженном в теореме Пифагора. Другая замечательная особенность теоремы Пифагора состоит в том, что она может быть обоснована в своей истинности вне аксиоматического развертывания теории, на основе аподиктически очевидных геометрических построений, которые не могут быть поставлены под сомнение. Но если это так, то теорема Пифагора должна быть признана в качестве факта, абсолютно оправдывающего систему аксиом планиметрии, ибо ни одна из этих аксиом не может быть устранена или скорректирована без отказа от этой теоремы. Систему аксиом планиметрии мы можем рассматривать в этом случае как аналитическое развертывание аподиктически очевидной истины, заключенной в теореме Пифагора. Из логической симметрии системы аксиом и аподиктически очевидного факта в данном случае с несомненностью вытекает как завершенность, так и абсолютная непротиворечивость системы аксиом планиметрии.

Другой пример того же рода мы видим в теории множеств. Мы имеем здесь лемму Жордана, которая в двумерном случае сводится к утверждению, что замкнутая линия L, не имеющая самопересечений, делит плоскость на две части, обладающие тем свойством, что никакие две точки, принадлежащие к разным частям не могут быть соединены линией, не пересекающей линию L. Очевидно, что эта лемма фиксирует аподиктически очевидную истину, которая не может быть устранена из состава геометрических истин, а с другой стороны, мы устанавливаем, что ее доказательство в теоретико-множественных понятиях предполагает использование всех аксиом теории множеств, в том числе и аксиомы выбора. Мы снова фиксируем прямую связь системы аксиом с некоторым аподиктически очевидным фактом, которая доказывает как завершенность, так и абсолютную непротиворечивость системы аксиом.

Здесь следует заметить, что этот вывод не может быть поставлен под сомнение указанием на возможную неадекватность языка теории множеств или на содержащиеся в нем некорректности.

Логика вывода аксиоматики из факта в некотором смысле применима и к аксиоматике арифметики. Трудность состоит здесь в том, что в арифметике мы имеем дело не с одной аподиктически очевидной истиной, а с бесконечным количеством истин, выраженных в конкретных арифметических высказываниях. Однако это кажущееся затруднение. Кант справедливо указывал на то обстоятельство, что нам важна не очевидность отдельных фактов, а очевидность схемы, порождающей эти факты. Нам не дана с очевидностью фигура тысячеугольника, но нам дана с очевидностью схема его получения, которая и служит основанием наших достоверных заключений о свойствах тысячеугольника7. Все многообразие частных арифметических суждений является, в действительности, продуктом схемы порождения натурального ряда, которая является самоочевидной для нашего сознания и которая однозначным образом определяет систему аксиом арифметики. В этом смысле система арифметических аксиом также может мыслится как основанная на одном факте и абсолютно детерминированная им.

Примеры обоснования аксиоматики на основе аподиктически отдельного самоочевидного факта являются сугубо частными в том смысле, что они не открывают никакого общего подхода к обоснованию математических теорий. Они, однако, важны в том отношении, что проясняют природу математических аксиом, их радикальное отличие от принципов эмпирических теорий.