МНОЖЕСТВА

В этой главе речь идет о теории множеств Кантора, которая родилась в последней четверти XIX в. Несмотря на то, что эта теория давно стала классической, представляют интерес те ее аспекты, которые описывают основные идеи, приведшие к теории.

Философия математики концентрируется вокруг небольшого числа избранных примеров, обсуждение которых касается самых трудных и нерешенных проблем теории множеств. Безусловно, речь идет в первую очередь о континуум-гипотезе Кантора и аксиоме конструируемое™ Геделя. В каждом из этих случаев у нас нет аргументов, которые бы привели к определению истинностного значения соответствующих утверждений. Начиная с позднего Виттгенштей- на, мысль о том, что неразрешимые утверждения появляются в результате попыток ответить на неправильно поставленные вопросы, стала почти общим местом в философии. В рамках такого подхода естественно возникает вопрос о том, не является ли, скажем печальная ситуация с континуум-гипотезой результатом того, что вся теория бесконечных множеств и бесконечных чисел Кантора является г

1. СЧЕТ И БЕСКОНЕЧНОСТЬ

продуктом воображения. Если это так, тогда на некоторые вопросы этой теории, — в частности, вопрос, поставленный в континуум- гипотезе — не существует ответа, поскольку создатель вымысла не вложил в него достаточно информации, и в этом случае ответ может быть более или менее произвольным, совместимым, правда, с некоторыми ограничениями. Первым, и самым важным, таким ограничением, является непротиворечивость. Но перед обсуждением основных вопросов нужны некоторые детали трансфинитной теории чисел Кантора.