1. Общее понимание проблемы обоснования

Естественный путь достижения прогресса в этом направлении состоит в том, чтобы свести вопрос о непротиворечивости сложных теорий к непротиворечивости теорий, более простых и непроблематичных в этом отношении.

Относительные доказательства неизбежно приводят к выделению теорий, относительное обоснование которых не является возможным. Для математики XX века — это две теории, а именно арифметика и теория множеств. Хотя принципы арифметики выразимы в понятиях теории множеств, мы имеем здесь, в действительности, существенно различные и, в определенном смысле, взаимодополняющие математические теории. Многие соображения показывают, что теоретико- множественное понимание числа мало соответствует прояснению этого понятия. Мы обеднили бы понимание математики и саму проблему обоснования, если бы стали рассматривать арифметику как только некоторую подструктуру теории множеств.

Особое место в обосновании современной математики занимает арифметика действительных чисел, являющаяся основой математического анализа. Теория действительных чисел может быть понята как занимающая некоторое среднее положение между арифметикой и теорией множеств, ибо с одной стороны, она опирается на алгебраические положения, имеющие несомненно финитную и дискретную природу, а с другой, — на идею непрерывности, отражающую континуальный характер множества действительных чисел. П. Бернайс в свое время выдвинул критерий приемлемости программы обоснования математики, согласно которому судьба каждой такой программы зависит от того, в какой мере она справляется с задачей обоснования математического анализа3. С этой точки зрения обоснование теории действительных чисел является более значимой задачей, чем обоснование арифметики или теории множеств.

Все эти три теории, имеющие первостепенное значение для понимания основ современной математики, хорошо исследованы в своих предпосылках, доведены до полной содержательной ясности и стабильности своих принципов.

Современное обсуждение проблемы обоснования математики идет преимущественно в рамках специальных логических исследований и прибегает к методологическим и философским соображениям в самых крайних случаях, к примеру, для обоснования той установки, что финитное доказательство является более надежным, чем доказательство, опирающееся на свойства бесконечных множеств. Изложенные выше представления об онтологической основе математики позволяют нам более внимательно взглянуть на эту сторону дела и превратить эти эпизодически используемые доводы в систематическое средство обоснования математики.

Мы выяснили, что исходные математические теории обладают естественной (онтологической) интерпретацией, которую нельзя смешивать с какой-либо вторичной эмпирической интерпретацией. Утверждения, которые Евклид предпосылает своей геометрии, — это не аксиомы и не приближение к аксиомам, а описание онтологии геометрии, не имеющее никакого отношения к системе аксиом в ее современном лингвистическом понимании. Доказательства Евклида базируются на естественной онтологии, и они точны, поскольку они соответствуют этой онтологии. Позднейшее развитие геометрии отодвинуло онтологию в сторону, сделав опорой математического мышления формальную связь суждений. Проблема обоснования математики требует возвращения к этой первичной инстанции математической достоверности.

Наша проблема состоит, таким образом, в том, чтобы посмотреть на современные проблемы обоснования математики с точки зрения естественной онтологии математического мышления. Это, конечно, также частная точка зрения, но, как это будет показано, она позволяет прояснить и устранить затруднения, непреодолимые для чисто логического подхода. В основу нового подхода будет положено понятие онтологической истинности, устанавливающее связь исходных математических принципов с категориальной структурой мышления.