<<
>>

5. Идея системного анализа непротиворечивости

В классических исследованиях по основаниям математики система аксиом характеризуется рядом свойств, наиболее важными из которых являются непротиворечивость, независимость и полнота.
Это логические характеристики, определяемые в логических терминах и рассматриваемые в рамках строгой метаматематики. Понятие завершенной аксиоматики, которое мы вводим здесь, является методологическим, поскольку оно предполагает констатацию качеств, невыразимых в логических понятиях. Полнота арифметики в методологическом смысле, конечно, не может быть обоснована логически. Таковы все свойства завершенной аксиоматики, о которых идет здесь речь: они общезначимы и фиксируемы математическим сообществом, но вместе с тем они невыразимы в определениях, приемлемых для логических методов обоснования математики. Генетическое обоснование математики, таким образом, требует некоторого особого уровня анализа теории, который мы будем называть эпитеоретическим ее рассмотрением.

Мы можем определить эпитеорию как систему высказываний о теории, которые не относятся к метатеории в ее строгом понимании, но, с другой стороны, отличаются от общего философского анализа своей относительной строгостью и направленностью на анализ структуры и логики развития теории. Наряду с логическими фактами, вытекающими из строгого анализа аксиоматических систем, мы будем использовать здесь также и чисто метафизические допущения, какими являются, к примеру, предположение о стабильности системы математических фактов или утверждение о минимальности завершенной аксиоматики. Наши рассуждения будут включать в себя и телеологические предпосылки, поскольку мы рассматриваем здесь математическую теорию как эволюционирующую систему, нацеленную на решение внешних задач.

Цель обоснования математической теории состоит в обосновании ее непротиворечивости. Наша основная гипотеза будет состоять в том, что непротиворечивость является сущностным свойством завершенной аксиоматики.

Если мы можем понимать завершенность аксиоматики как ее предельную фактуальную истинность, то становится неизбежным предположение о непротиворечивости как сущностном свойстве завершенной аксиоматики. Если это так, то проблему обоснования математической теории мы можем понять как эпистемологическую проблему, относящуюся к логике ее становления. Она становится проблемой эпитеории, включающей в себя как логические, так и методологические доводы.

Здесь возникает, конечно, вопрос о строгости. Разнообразие и внелогический характер используемых средств, как кажется, полностью исключает обосновательное значение эпитеории, ее претензии на полную доказательность. Положение здесь, однако, не является столь однозначным. Многие из приведенных выше доводов, в действительности, претендуют на доказательность и категоричность. Мы говорим здесь не о возможности стабильной аксиоматики, но о ее неизбежности, о ее абсолютной, а не вероятной истинности, и эта категоричность, в действительности, имеет объективные основания. Мы, таким образом, должны обосновать возможность строгих выводов на уровне эпитеоретического рассмотрения.

Понятие непротиворечивости системы аксиом отличается от рассмотренных методологических понятий тем, что оно выразимо в языке логики, и строго логический анализ представляется единственно соответствующим его статусу. Однако есть основания думать, что мы имеем здесь дело с некоторой односторонностью взгляда. В понятии непротиворечивости теории скрыта, говоря языком Канта, неустранимая амфиболия: с одной стороны, это сугубо логическое понятие, характеризующее структуру теории, а с другой стороны, это понятие телеологическое, характеризующее направление ее совершенствования, вытекающее из сущности теоретического знания вообще. В этом последнем плане непротиворечивость является регулятивным требованием и должна обсуждаться в рамках системного и эволюционного анализа теории. Замысел системного обоснования состоит в том, чтобы подойти к пониманию непротиворечивости в рамках системных понятий, связать непротиворечивость аксиоматики с ее завершенностью и идеальной фактологической истинностью. Принципиальная ограниченность логических подходов к обоснованию математики проистекает из того, они сориентированы только на структурное, узко логическое определение этого понятия.

<< | >>
Источник: Перминов В .Я. . Философия и основания математики - М.: Прогресс- Традиция. — 320с.. 2001

Еще по теме 5. Идея системного анализа непротиворечивости:

  1. Центральные положения системного анализа
  2. 2. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ПОЛИТИКИ
  3. От системного анализа к мировой динамике
  4. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ЭКОЛОГИИ. ПОНЯТИЕ НООСФЕРЫ
  5. Базовые категории системного анализа общества. Решающие события в формировании современной теории систем
  6. И. В. Блауберг Из истории системных исследований в СССР: попытка ситуационного анализа
  7. 1. Понятие общества. Системный подход к анализу общества
  8. Непротиворечивость содержательной теории
  9. Истина и непротиворечивость
  10. Непротиворечивость логистических систем