4. Непротиворечивость содержательно аксиоматизированной теории

Становление неразрушимого центра теории неизбежно приводит к выявлению стабильной аксиоматики, которая признается адекватной содержанию теории и становится, в конечном итоге, наиболее строгим ее определением.

Здесь важным для нас является то обстоятельство, что любая аксиоматика определяется конечным числом теорем, образующих определяющий фрагмент теории. Расширение надежного центра теории, захватывая ее определяющий фрагмент, придает аксиоматике окончательный характер, независимый от дальнейшего развития теории. Хотя хорошо аксиоматизированная теория продолжает свое развитие, обогащая себя новыми идеями, она развивается уже в системе координат, установленных на основе конечного фрагмента теории, который не допускает изменений в системе своих внутренних связей, а следовательно, и в составе системы аксиом.

Факт непротиворечивости системы аксиом сам по себе недостаточен для заключения о непротиворечивости аксиоматизированной теории в целом, поскольку в содержательной теории остается открытым вопрос о корректности определений, фактически используемых при ее аксиоматическом представлении. Намеченное здесь понимание генезиса определений позволяет устранить сомнения в этом отношении. Становящийся центр теории фиксирует не только систему аксиом, но и систему допустимых определений. Небольшое рассуждение показывает, что факт принадлежности определения центру теории оправдывает не только это конкретное определение, но и его общую схему, обосновывая, таким образом, всю систему связанных с ней производных определений.

В развитии математической теории, таким образом, имеет место конечная детерминация аксиом и определений, необходимых для систематического аксиоматического построения теории в целом. Установившаяся система аксиом не может бойти в противоречие с центральными положениями теории, поскольку она находится с ними в отношении идеальной фактуальной истинности, она не может войти в противоречие и с утверждениями, выходящими за пределы определяющего фрагмента, поскольку эти утверждения являются суждениями об объектах, введенных на основе правил, определяющих строение неразрушимого центра теории. Непротиворечивость аксиоматизированной теории устанавливается, таким образом, в конечном поле проверяемых вариаций, на основе согласования конечного множества центральных теорем теории о дедуктивно определяющей их системой аксиом. Как мы выяснили выше, процесс этого согласования конечен во времени и всегда доводится до состояния полной завершенности.

Общая логика исторического самообоснования математической теории выглядит следующим образом: на основе некоторого первичного, достаточно развитого фрагмента теории мы устанавливаем ее логические координаты, состоящие из системы аксиом и правил введения новых объектов (определений), которые совместимы С ИСХОДНЫМ фрагментом теории как фактуально истинные. При достаточном развитии центрального ядра теории эти координаты устанавливаются однозначным и не подлежащим корректировке образом. Тем самым выделяется аксиоматизированный фрагмент теории, состоящий из бесконечного числа утверждений, который следует считать абсолютно обоснованным, ибо его развертывание в рамках принятых аксиом и правил введения объектов в принципе не может привести к противоречию, разрушающему принципы теории.

Важно отметить, что утверждение непротиворечивости системы аксиом ни в какой мере не опирается здесь на понятие их онтологической истинности и какой-либо внешней истинности вообще. Если при онтологическом обосновании мы выводим непротиворечивость аксиоматики из онтологической истинности и аподиктической очевидности аксиом, то здесь мы мыслим в соответствии со схемой: конечная определимость математических объектов —? расширение неразрушимого центра —? фактуальная истинность системы аксиом —? непротиворечивость аксиоматизированной теории. Основой этого рассуждения является представление о неизбежном становлении неразрушимого центра теории, который определяет ее законченную аксиоматику, а также и корректность ее внутренних определений.

Теоретики эмпирицизма справедливо указывали на тот факт, что сфера.самоочевидности в математике ограничена и что аксиомы сложных математических теорий генетически столь же вторичны в отношении их содержания, как и принципы физики. Это обстоятельство, конечно, важно: оно показывает, что евклидианская схема не характеризует логики развития математической теории. Они, однако, заблуждаются, пытаясь вывести из этого факта возможность корректировки установленных аксиом и релятивность основания математических теорий вообще. Единство схемы становления математических и физических принципов не означает тождественности их статуса. Математические аксиомы устанавливаются на основе конечного фрагмента теории и они устанавливаются как окончательные, определяемые только неразрушимым фрагментом теории. Математические теории переживают период становления основ, но они не переживают революций, изменяющих эти основы.

Анализ логики становления аксиом приводит нас к более ясному пониманию несостоятельности идеи глубоко скрытых противоречий в признанной математической теории. Анализ логики становления аксиом показывает, что противоречия в объектах за пределами определяющего фрагмента безразличны для аксиоматики и для аксиоматизированной теории в целом. Схема логического следования Хитмкки, согласно которой аксиоматика может содержать противоречия, выявляемые только в удаленных следствиях теории, является конструкцией, полезной для логики, но не имеющей отношения к реальным математическим теориям. С системной точки зрения стабильная аксиоматика определяется конечным фрагментом теории и при условии своей фактуальной истинности она не может быть поколеблена какими-либо связями за его пределами.

Сказанное означает, что развитие любой математической теории эквифинально в смысле неизбежности установления ее твердых и неколебимых основ. Понимание этого обстоятельства устраняет всякий релятивизм в понимании математического знания, привнесенный поверхностными эмпирическими аналогиями.