<<
>>

Формализм. Математика как создание формально непротиворечивых конструкций

Надо согласиться, что состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте; в математике — этом образце достоверности и истинности — образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет; приводят к нелепостям.

Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?

Д. Гильберт. О бесконечном

Формализм как особая программа обоснования математики связан с иной исторической традицией мысли, чем логицизм и интуиционизм (конструктивизм). Лейбниц искал источник самоочевидности математических утверждений в логических отношениях между суждениями и понятиями. Кант видел такой источник в априорных формах чувственного созерцания. Если Лейбниц по праву считается основоположником логицизма, то Кант волею судьбы стал основоположником сразу двух направлений в обосновании математики — интуиционизма (конструктивизма) и формализма, Кант считал, что хотя математические теоремы и следуют из аксиом согласно законам логики, сами они не являются принципами логики или результатом их практического применения. Математические суждения основаны на априорных формах чувственного созерцания — пространстве и времени, благодаря которым мы способны воспринимать расположение и границы объектов, последо- вательности событий. Математика есть наука о конструируемых объектах восприятия и мышления.

Гильберт принял общее направление обоснования математики Канта. Математика, по его представлению, не может быть основана только на логике. До всяких логических выводов в нашем созерцании уже должны присутствовать конкретные внелогические объекты. Чтобы логические выводы были надежными, число этих объектов должно быть конечно, они должны быть обозримыми во всех своих частях и представимы в нашем созерцании. Их существование, различие и следование друг за другом должны быть интуитивно очевидными настолько, что всякое сведение их к чему-то еще более простому становится излишним.

Как Кант, а затем и Брауэр, Гильберт считает, что если математика будет ограничена описанием логических связей объектов указанного вида, тогда никакие парадоксы в ней будут невозможны. Причина этого — отсутствие допущения актуальной бесконечности в рассуждениях об объектах данного типа. Но Гильберт, в отличие от Брауэра, не считал, что его подход к проблеме обоснования математики несовместим с трансфинитной математикой Кантора. Наоборот, он полагал, что канторовская теория трансфинитных множеств полностью реконструируема в терминах его финитной математики. Примирение конечной и трансфинитной математик, доказательство непротиворечивости всей системы можно назвать главной отличительной чертой гильберговского подхода.

<< | >>
Источник: Светлов Виктор Александрович . Философия математики. Основные программы обоснования математики XX столетия: Учебное пособие. — М.: КомКнига. — 208 с.. 2006

Еще по теме Формализм. Математика как создание формально непротиворечивых конструкций:

  1. Программа формализма: математика как конструирование формальных систем
  2. Программа конструктивизма: математика как создание потенциально доказуемых конструкций
  3. Интуиционизм и конструктивизм. Математика как создание интутивно и алгорифмически очевидных конструкций
  4. Логицизм. Математика как создание логически очевидных конструкций
  5. Идеальный тип как логическая конструкция
  6. 45. Право как явление цивилизации и культуры. Свобода, справедливость и формальное равенство как основание права.
  7. Математика как язык науки
  8. Лу Бо. Русские экспрессивные синтаксические конструкции как коммуникативные единицы, 2015
  9. 4. Платонизм как философия работающего математика
  10. 14.2. Недостатки формализма РТИ1 и пути их преодоления
  11. § 1. Формализм этики Канта
  12. Глава 12. Роль формализма в развитии науки
  13. Непротиворечивость логистических систем
  14. Непротиворечивость содержательной теории