Формализм. Математика как создание формально непротиворечивых конструкций

Надо согласиться, что состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте; в математике — этом образце достоверности и истинности — образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет; приводят к нелепостям.

Д. Гильберт. О бесконечном

Формализм как особая программа обоснования математики связан с иной исторической традицией мысли, чем логицизм и интуиционизм (конструктивизм). Лейбниц искал источник самоочевидности математических утверждений в логических отношениях между суждениями и понятиями. Кант видел такой источник в априорных формах чувственного созерцания. Если Лейбниц по праву считается основоположником логицизма, то Кант волею судьбы стал основоположником сразу двух направлений в обосновании математики — интуиционизма (конструктивизма) и формализма, Кант считал, что хотя математические теоремы и следуют из аксиом согласно законам логики, сами они не являются принципами логики или результатом их практического применения. Математические суждения основаны на априорных формах чувственного созерцания — пространстве и времени, благодаря которым мы способны воспринимать расположение и границы объектов, последо- вательности событий. Математика есть наука о конструируемых объектах восприятия и мышления.

Гильберт принял общее направление обоснования математики Канта. Математика, по его представлению, не может быть основана только на логике. До всяких логических выводов в нашем созерцании уже должны присутствовать конкретные внелогические объекты. Чтобы логические выводы были надежными, число этих объектов должно быть конечно, они должны быть обозримыми во всех своих частях и представимы в нашем созерцании. Их существование, различие и следование друг за другом должны быть интуитивно очевидными настолько, что всякое сведение их к чему-то еще более простому становится излишним.

Как Кант, а затем и Брауэр, Гильберт считает, что если математика будет ограничена описанием логических связей объектов указанного вида, тогда никакие парадоксы в ней будут невозможны. Причина этого — отсутствие допущения актуальной бесконечности в рассуждениях об объектах данного типа. Но Гильберт, в отличие от Брауэра, не считал, что его подход к проблеме обоснования математики несовместим с трансфинитной математикой Кантора. Наоборот, он полагал, что канторовская теория трансфинитных множеств полностью реконструируема в терминах его финитной математики. Примирение конечной и трансфинитной математик, доказательство непротиворечивости всей системы можно назвать главной отличительной чертой гильберговского подхода.