2. Математическая компонента

Вычислительные средства, хотя они и необходимы, не являются физическими теориями. Они даже не представляют собой независимые математические формализмы. Любой метод расчета (например, диагонализация матриц) есть часть математической теории, которая может (но не обязательно) быть частью формализма физической теории. Сами по себе математические теории Теория: электромагнитная теория Максвелла для свободного пространства

Формальные понятия, включенные скрыто или явно в физическую гипотезу, дифференцируемое многообразие, векторные и псевдовекторные функции на этом многообразии, частные производные, векторное произведение.

Основные (неопределяемые) физические понятия, включаемые в гипотезу: физическое пространство, время, ?, В, с.

Определяемые физические понятия: vX^. dB/dt.

Операциональные определения: нет.

Гипотеза; закон Фарадея для электромагнитной индукции в его дифференциальной версии

dB/dt.

Вспомогательное предположение: ? и В уменьшаются с расстоянием по крайней мере как 1/л

Семантическое предположение: Е представляет напряженность электрического поля, В—магнитную индукцию, а с—скорость света в вакууме.

Данные; нет. нейтральны по отношению к каким-либо гипотезам о реальном мире. Рассмотрим теорию канонических преобразований, которую когда-то считали ядром квантовой механики. Как в своей классической, так и в квантовой форме она не представляет самостоятельной физической теории, отображающей некоторый аспект мира. Это математический метод для решения уравнений движения (Гамильтона, Шредингера и Tv ?.) и для соотнесения друг с другом решений, получаемых в различных пред* ставленнях. В целом задача данной теории состоит в упрощении формулирования проблемы, а следовательно, в упрощении ее решения, сохраняя в то же время уравнения движения и определенные инварианты. Данная теория может найти применение безотносительно к физическому содержанию уравнений.

Таким же образом в ряде областей может найти применение теория возмущений, для чего необходимо наличие определенного уравнения, к которому могут быть применены теории возмущений. То есть эти теории не несут никакого физического значения, они служат полезными математическими средствами для достижения цели, которая представляет собой приблизительное решение определенного уравнения, возможно имеющего какое-то физическое значение. Одному или двум членам разложения в ряд, согласно теории возмущений, может быть приписано физическое содержание, бесконечно многим членам ряда невозможно дать какую-либо интерпретацию. Значение такой нейтральности методов теории возмущений можно также увидеть при анализе понятия порядка некоторого эффекта. Вопрос: Что означает это выражение, говорит ли оно нам что-нибудь относительно природы? Отвег: Ничего — о природе и только кое-что — о вычислительной технике. Так, эффект четвертого порядка объясняют теоретической моделью, включающей разложение в ряд теории.возмущений вплоть до четвертой степени, то есть пренебрегая всеми более высокими степенями (даже если ряд расходится). Тот же эффект может быть объяснен различными теориями, приписывающими 'ему иной порядок, или вовсе не приписывающими никакого порядка, поскольку удается найти точное решение. Это верно для разложения любого ряда и каждого разложение любого вектора на его компоненты. В то время как функция в целом может иметь физическое зна- ченне, метод разложения является чисто математическим и может быть изменен в любое время.

Физическое содержание, если таковое имеется, следует усматривать в некоторых понятиях и утверждениях теории, а не в частных представлениях (representations) свойств и законов. Например, одна и та же траектория в обычном пространстве может быть записана в любой системе координат. Каждое преобразование координат приводит к новому представлению, не изменяя его физического содержания. Так что единственными разумными ограничениями, налагаемыми на изменения представлений, вызываемые преобразованиями координат, являются следующие: (а) преобразованные переменные должны иметь то же самое значение, что и исходные (например, координаты положения в пространстве, подвергнутые преобразованиям Лоренца, должны оставаться координатами положения, а не временными координатами); (б) преобразованные переменные должны подчиняться тому же самому утверждению о законе, что и исходные. То, что имеет силу для систем координат, справедливо и для систем единиц. Если представление физического свойства с помощью некоторой функции включает выбор единиц, то они являются конвенциональными и, следовательно, изменение в единицах не имеет никакого физического значения.

Отсутствие физического содержания у некоторых компонент физической теории гораздо менее неожиданно, чем возможность приписывания физического значения другим компонентам. Конечно, для нас становится привычной идея о том, что математика лишена физического содержания. Сначала нас учат тому, что непрерывная функция может определяться независимо от времени, позднее нас учат, что геометрия является неопределенной, если на нее не накладывают семантических предположений- Некоторых все еще нужно учить, что арифметика и теория вероятностей одинаково нейтральны, и если, хотят найти им применение, их следует дополнить семантическими предположениями. Но вообще говоря, мы должны ясно понять, что математика является автономной дисциплиной, несмотря на то, что многие математические идеи были мотивированы научным исследованием в целом.

Физическое понятие отличается от лежащего в его основании математического понятия в двух отношениях: (а) каждое физическое понятие имеет отношение к некоторой физической системе (системам) и (б) каждое физическое понятие входит по крайней мере в один физический закон. Напротив, чисто математические понятия не имеют никаких внематематических референтов и не подчиняются никаким внематематическим законам. Возьмем, например, отношение «тяжелее чем, или столь же тяжелое», или Н. С формальной точки зрения Н представляет собой не что иное, как некоторое отношение по* рядка на некотором множестве неопределенных элементов В, то есть И с: ВХ В и И^ множеству отношений порядка. Н становится некоторым физическим понятием, когда (а) В интерпретируется как множество тел, и (б) предполагается, что Н связано с то есть имеет силу для любых двух тел.

Пример с весовой функцией даже более поучителен, так как существует бесконечное множество путей представления физического свойства веса (или любого другого физического свойства), а именно посредством системы единиц. Вес тела 6 є В в гравитационном поле geG

1 М. Bunge, Method, Model and Matter, D. Reidel PubL Co. Dordrecht, 1972. M. Bunge (ed.), Exact Philosophy: Problems, Methods, Goals. D. Reidel Pub). Co. Dordrecht, 1972. относительно (физической) системы отсчета к є /С, исчисляемый в единицах и е uw, представляет собой некоторое неотрицательное число w, то есть W(b, g, к, и)*= Вес в общем случае есть сама функция ХР, а не какое- либо из ее значений. И эта функция отображает множество В X О X К X ІЛг всех четверок (6, Л, и) с b є В, gi=G, к є /С, иє ІЛ*г (множеством весовых единиц) на множество R+ или множество неотрицательных чисел:

W:BXGXKXVw-+R+.

Кроме того (и здесь вступает в силу закон), W таково, что W(bfg, kt и) т%, где т есть масса, а X ускорение тела Ь. (Наше предполагаемое ограничение модели тела как нерелятивистской частицы несущественно в данной ситуации.) Любая иная величина обладает подобной структурой. Это некоторая функция от топологического произведения по крайней мере двух множителей, одним из которых является множество физических систем определенного вида, а другим — множество единиц.

Очень часто одним из множеств физических систем, встречающихся в области какой-либо величины, является множество систем отсчета некоторого вида, относительно которых, например, сохраняют свою справедливость законы движения Ньютона. Такие системы иногда называют «наблюдателями» в соответствии с, так сказать, наблюдателецентристской философией, а именно с операционализмом. Очевидно, однако, что наблюдатели не вездесущи и не бессловесны, как системы отсчета; во всяком случае, их изучение не относится к физике. В итоге физическое значение вливается в формализм через основные физические величины, представляющие свойства физических систем и подчиняющиеся физическим законам.

Предшествующий анализ дисквалифицирует нумерологию как серьезный подход к физической теории. Нумерология может быть определена как жонглирование безразмерными константами (чистыми числами) с намерением получить значимые отношения. Так как нумерология имеет дело с безразмерными константами, ей довольно трудно приписать какое-либо физическое содержание. Поскольку эта игра чисел может быть введена в компьютер вне всякой связи с какими-либо утверждениями о законах, постольку нумерология лишь случайно может привести к физическим законам. Тривиальность подобного вывода показывает следующая теорема.

Теорема. Дано п неотрицательных чисел а\, а2, .... От»; существует бесконечно много кратных п не равных нулю вещественных чисел (положительных или отридатель- ных) bit &2, ...» &П, таких, что

/Л /Л //«-1 _ пЬП

ах • аг ... в = ап .

V !Г

(Доказательство: сперва возьмем логарифмы и рассмотрим случай при п = 2. Затем применим математическую индукцию.) Раз найдены данные я-кратные показатели степени, то легко апроксимировать каждый из них простой дробью. Таким образом будет получено «поразительное» соотношение. Процедуру затем можно будет повторить с иным выбором показателей степеней, и так до бесконечности. Успехи в нахождении подобных числовых комбинаций зависят от наших способностей и ресурсов. При этом не требуется знания законов физики. Конечно, нумерология как некоторое случайное и слабо- эвристичное средство имеет определенную ценность. Манипуляции с числами могут случайно привести к интуитивному озарению и даже проблеску правильной теории. Но главное заключается в том, что нумерология не является теорией и не содержит никаких физических законов. Это следует особо подчеркнуть потому, что всякий раз, когда скапливается некоторое множество необработанных данных (как в случае физики элементарных частиц и современной космологии), появляется склонность к попытке жонглировать ими, а не к поискам более глу* боких гипотез, соответствующих этим данным.

На этом мы закончим разговор о роли математики в физике. Перейдем теперь к другому концу спектра, а именно к данным.