6. Сфера абсолютной надежности

Традиционная парадигма обоснования математики выдвигает на первый план структурное (формальное) представление математической теории как единственно соответствующее точной постановке проблемы обоснования и доказательного ее решения. Эта парадигме, определена философией начала XX века, которая приписывала надежность только формальному обоснованию. В настоящее время мы постепенно осознаем то обстоятельство, что формальная теория пторич- на по отношению к содержательной, поскольку она может принимать только те факты, которые обоснованы с содержательной точки зрения. Формализация теории не вносит в теорию никакой дополнительной истинности и никакой дополнительной надежности и достаточно очевидно, что непротиворечивость формализованного представления во всех случаях, в которых она фактически имеет место, есть лишь следствие гармонизации теории на содержательном уровне.

Целью обосновательных рассуждений, в конце концов, является обоснование надежности содержательных математических теорий. Несомненно, что там, где достигается строгое логическое (метатеоре- тическое) обоснование непротиворечивости формализованного исчисления, оно может считаться полным обоснованием соответствующей содержательной теории, гарантирующим отсутствие противоречий в ее основных утверждениях. Логика обоснования заключается здесь в переходе от непротиворечивости формальной модели к непротиворечивости содержательного аксиоматического представления теории. Суть системного подхода состоит в том, что он нацелен непосредственно на обоснование непротиворечивости содержательных аксиоматических систем. Мы выводим здесь факт непротиворечивости теорий из анализа логики их развития и стремимся сформулировать признаки ее логической надежности без обращения к свойствам формализованной модели теории.

Если приведенные соображения верны, то нужно признать, что все основные теории современной математики вне зависимости от возможностей их логического анализа являются существенно непротиворечивыми и абсолютно непротиворечивыми в рамках их систематического аксиоматического представления. Это относится в данном случае не только к центральным теориям математики, таким, как ариф- метика, геометрия и алгебра, но и к таким теориям, как теория вероятностей, топология и теория множеств, в ее признанных аксиоматических представлениях.

Выше были приведены аргументы за непротиворечивость теории множеств, опирающиеся на онтологическую значимость ее основных аксиом. Системный анализ дает нам более убедительный подход к решению этой проблемы, опирающийся на факт стабильности ее аксиом. Теория множеств (это относится по крайней мере к наиболее употребительным и практически используемым ее представлениям) является, с системной точки зрения, не менее надежной, чем всякая другая теория современной математики, имеющая признанную аксиоматику.

Вся история развития теории множеств связана с сомнениями в ее корректности. В начале XX века, после того как Цермело представил первый вариант аксиоматического представления теории множеств (1908), Пуанкаре писал: «Автор думал избежать наиболее существенных парадоксов, запретив себе всякие спекуляции за пределами полностью замкнутого Menge; он думал избежать парадокса Ришара, не ставя никаких вопросов, кроме дефинитных, что по тому смыслу, который он вкладывает в это выражение, исключает всякое рассмотрение объектов, которые могут быть определены конечным числом слов. Но если он хорошо запер свою овчарню, то я не убежден, что он не запер туда и волка»14. Та же мысль звучит и в высказывании Г. Вейля, которое было сделано через четыре десятилетия: «...У нас нет гарантий непротиворечивости Z, — пишет Вейль, — за исключением того эмпирического факта, что до сих пор из нее не выведено никаких противоречий»15. Утверждения того же типа мы находим и в современных книгах по математической логике. Общий смысл их состоит в том, что хотя в рамках признанных аксиоматик теории множеств не выведено никаких противоречий, у нас нет полной гарантии, что это не произойдет в будущем.

В рамках логической парадигмы, сориентированной на финитное обоснование непротиворечивости, все эти высказывания являются несомненно верными. У нас нет строгого логического обоснования теории множеств, а следовательно, нет и полной гарантии непоявления новых противоречий в ее рамках. Приведенные высказывания фиксируют один и тот же логический факт и в этом смысле являются одинаково истинными. С системной точки зрения, которая включает в рассмотрение фактор времени и механизмы самообоснования, мы должны по-новому посмотреть на эти утверждения и разделить их по степени оправданности. Высказывание Пуанкаре является несомненно обоснованным, поскольку оно было сделано в момент первоначального оформления теории множеств, когда вероятность появления новых парадоксов была очень большой. Высказывание Вейля имело с этой точки зрения меньше оснований, поскольку к сороковым годам XX века система аксиоматика теории множеств уже в достаточной степени продемонстрировала свою полноту и корректность. Современные высказывания о возможном появлении новых противоречий в аксиоматической теории множеств, будучи допустимыми в контексте логического обоснования, представляются методологически неоправданными, ибо они не учитывают факта стабильности основных аксиоматик теории множеств, который исключает появление в ней каких-либо новых типов противоречий. Теория множеств удовлетворяет всем признакам непротиворечивости содержательной математической теории и с системной точки зрения может быть поставлена под сомнение в этом отношении не больше, чем арифметика или элементарная геометрия.

С этой точки зрения являются необоснованными попытки наложения ограничений на внутренние определения теории множеств с целью увеличения логической надежности ее выводов. Такого рода проекты намечались в начале XX века Лебегом, Борелем, Лузиным и другими математиками. Лузин полагал, что наряду с эффективными понятиями теория множеств содержит в себе понятия, не имеющие реального наполнения и не оправданные теорией, несмотря на их приемлемость в чисто логическом отношении. «Современное состояние теории множеств убедительно доказывает, — писал Лузин, — насколько важно установить точное разграничение между математическими сущностями, которые рассматриваются как существующие, и другими, реальность которых лишь кажущаяся»16. Исходя из этой установки, Лузин отрицал законность использования в теоретико-множественных доказательствах некоторых типов проективных множеств.

С этой точки зрения должна быть отклонена интуиционистская критика теории множеств, которая исходит их факта неконструктивности и неопределенности понятия множества17. Наши аргументы против этой критики основаны в данном случае не на реабилитации закона исключенного третьего, а на представлении о системности теории множеств, которая своим длительным существованием в качестве практически непротиворечивой системы оправдывает одновременно и общее понятие множества и заключенную в ней систему логических принципов.

Системное рассмотрение исключает возможность критики математической теории на зрелой стадии ее существования, направленной на опровержение или корректировку ее исходных принципов. Примером такого рода несомненно ошибочной критики является появившаяся недавно целая серия выступлений, нацеленная на опровержение канторовской теоремы о мощности множества всех подмножеств и связанной с ним канторовской диагональной процедуры. Авторы ставят своей задачей показать, что при доказательстве этой теоремы Кантор допустил логическую некорректность, использовав только одну (внутреннюю) интерпретацию логического отрицания и оставив в стороне другую (внешнюю) его интерпретацию, позволяющую прийти к иному выводу18. Не нужно вдаваться в разбор логических аргументов, чтобы понять несовместимость этого вывода с логикой системной детерминации математических понятий. Понятие несчетного множества нельзя устранить из теории множеств уже потому, что оно там существует и эффективно функционирует в течение длительного времени. Если понятие входит в центр теории и утверждается в этом центре в качестве действующего и необходимого для доказательства теорем, то этот факт является абсолютным обоснованием его логической корректности. Если бы доказательство указанной теоремы Кантора по каким-то причинам не было бы возможным вообще, а понятие несчетного множества было введено посредством аксиомы, то факт сосуществования всего комплекса понятий теории множеств в течение длительного времени уже доказывал бы безусловную корректность этого понятия и непротиворечивость теории множеств в целом. При оценке логической надежности математических теорий мы должны мыслить в соответствии с принципом Гегеля, согласно которому все действительное разумно. Теория, существующая длительное время и связанная со всеми теориями современной математики, не может содержать в себе существенных противоречий и не имеет шансов быть опровергнутой в своих исходных понятиях и принципах19.

Можно сравнить проблему обоснования математики с проблемой построения максимально устойчивой кирпичной башни. Первая стратегия могла бы состоять здесь в том, чтобы установить идеально горизонтальное основание башни и возводить ее слой за слоем, внимательно следя за геометрической формой каждого кирпича и за идеальной равномерностью слоя цементного раствора, скрепляющего эти слои. Это трудная стратегия, но, в принципе, она может обеспечить вертикальность башни до достаточно приличной ее высоты. Другая, более реальная стратегия состоит в том, чтобы заботясь насколько это возможно о горизонтальности фундамента и о форме кирпичей, одновременно корректировать процесс сооружения посредством наблюдения со стороны. Работа математиков начала XX века по обоснованию математических теорий очень сильно совпадает с первой стратегией: они были заняты преимущественно обсуждением аксиом и определений, они хотели найти идеальные формы, которые будучи положены в основание теории безусловно обеспечили бы ее логическое совершенство. Суть системного анализа состоит в том, чтобы обратить внимание на необходимость внешних критериев. Признавая важность логического анализа правил введения новых понятий, мы должны понимать, что наша основная борьба с парадоксами состоит не в усилении системы этих предохраняющих правил (эта система скорее всего бесконечна), а в выявлении сферы математического мышления, заведомо свободного от парадоксов на основе внешних (качественных) признаков, демонстрирующих системную зрелость теории.

Мы должны согласиться со скептиками в том, что противоречия неустранимы из содержательных математических теорий и что не существует никакого набора логических предосторожностей, гарантирующих непротиворечивость математических рассуждений. Анализ логики развития математической теории, однако, позволяет нам настаивать на существенной непротиворечивости всякой достаточно зрелой математической теории и на абсолютной непротиворечивости всей системы выводов, охватываемых стабильными аксиоматиками. Это последнее обстоятельство позволяет считать, что положение о строгости математики и о возможности ее абсолютного обоснования сохраняют смысл, несмотря на отсутствие логических критериев непротиворечивости для большинства математических теорий.

Основной недостаток философии математики XX века состоял в том, что при рассмотрении проблемы обоснования она не вышла за рамки логических представлений и заключения, достигнутые в этой узкой сфере, возвела в окончательное решение проблемы. Вместо того, чтобы понять естественную ограниченность логического анализа и посмотреть на те обстоятельства, которые остаются за его пределами, философы в своем большинстве занялись методологической интерпретацией логических теорем, превратив их в некоторую релятивистскую метафизику, отрицающую достоверность и надежность математического мышления. Между тем сам тот факт, что все противоречия, до сих пор появившиеся в математике, были чисто внешними и никогда не ниспровергали признанных теорий, говорит о наличии внутренних механизмов гармонизации математического мышления, не описываемых в рамках логики. Ясно, что проблема обоснования математики не может быть решена без учета этих механизмов.

Системный взгляд на развитие математики приводит нас к философии математики, которая восстанавливает понимание математики как строгой науки. Методологическая иррациональность математики, состоящая в отсутствии алгоритмов устранения парадоксов и универсальных методов логического обоснования математических теорий, не противоречит с этой точки зрения идее абсолютной надежности признанных математических теорий. Ограниченность логических подходов к обоснованию математики рассматривается с этой точки зрения как только неадекватность этих подходов, но не как свидетельство ненадежности или неопределенности математического мышления.