5. Релятивизм: Сколем vs Цермело

Релятивист может настаивать на том, что переменные логики первого порядка являются неинтерпретированными и могут существовать как стандартные, так и нестандартные интерпретации. В этом смысле возникает вопрос, что имеется в виду под «натуральными числами», если допустимы нестандартные интерпретации. Естественный ответ состоял бы в том, что на самом деле переменные первого порядка должны интерпретироваться интуитивно, а для более точной трактовки натуральных чисел пригодна аксиоматика Пеано в языке второго порядка, самым важным положением которой является аксиома индукции

(РО & Vx (Рх Psx)) -> Ух Рх.

С точки зрения релятивиста это ничего не дает, поскольку эту аксиому второго порядка можно рассматривать как аксиомную схему первого порядка и поэтому для такой аксиоматики можно дать разные модели с отличной друг от друга кардинальностью одних и тех же множеств. Попытка выделить из этого набора моделей «минимальную», которая бы отвечала намеренной интерпретации, проблематична. Единственный способ избежать такой проблематичности состоит в апелляции к тому факту, что указание на натуральные числа ясно и недвусмысленно и что все структуры арифметики изоморфны. Но вряд ли понятия «все свойства» или «все подмножества» удовлетворяют критерию ясности.

Таким образом, логика второго порядка не избегает релятивистских обвинений в неясности своих концепций. Но ответ на такого рода обвинения представляет собой задачу более общего плана, поскольку речь идет о релятивизме в отношении уже объектного язы-

Г

ГЛАВА 5. ЯЗЫК И ЛОГИКА

ка. В историческом отношении любопытна полемика Сколема с Цермело в отношении возможностей аксиоматического представ- ' ления теории множеств29. Аксиоматизация Цермело была формализацией второго порядка, в то время как Сколем пришел к выводу о том, что роль формализации может выполнить только логика первого порядка, но со всеми вытекающими из этой стратегии неприятностями типа релятивизма в понимании концепции множества.

Среди аксиом Цермело, по замечанию Френкеля и Бар-Хилле- ла, наиболее характерной является аксиома выделения

(Aussonderungs). Именно этой аксиомой совершается радикальный отход от точки зрения, согласно которой каждому условию F(x) со

ответствует некоторое множество s, такое что х (х є s = F(x)). Изве- Ч| стно, что эта точка зрения ведет к парадоксам, и Цермело предло- ^ жил применять операцию образования множеств предметов, обладающих некоторым свойством, к уже имеющимся множествам. Цермело делает два ослабления неограниченной аксиомы свертывания: множество не может задаваться независимо, а всегда должно быть выделено как подмножество уже заданного множества; кроме того, свойство, по которому множество выделяется, должно быть определенным. Понятие определенности является одним из наиболее дискутируемых понятий в философии математики и ее основаниях. В данном случае можно, следуя Скол ему, полагать, что определенность означает формулу первого порядка. Более точно, эта аксиома у Цер- * мело имеет вид: «Всякий раз, когда пропозициональная функция Р(х) определена для всех элементов множества М, М обладает подмно- - жеством, содержащим те элементы, которые в точности являются .,v элементами х из М, для которых Р(х) истинно».

При этом Цермело полагал пропозициональную функцию Р(х) определенной для области d, при условии, что для каждого элемен- та х из d, «фундаментальные отношения на области, посредством аксиом и универсально принятых законов логики, определяют без произвола, справедливо или нет Р(х)»'. Сколем, как уже было указано, сформулировал отделение как схему, как пример для каждой формулы языка первого порядка. Именно это легло в основу канонического представления.

Поскольку Сколем критиковал понятие определенности, Цермело предпочел дать ему аксиоматическую трактовку, результатом которой явилось определение в языке второго порядка: если P(g) 28

Ibid. — P. 36—37. 29

Skolem Т. Some Remarks on Axiomatized Set Theory, 1922 // Heijenoort J., van. From Frege to Godel. — Harvard: University Press, 1967. — P. 290—301.

196

определенна для каждой пропозициональной функции g, тогда определенны будут Vf(P(J)) и Э/(Р(/)).

Шапиро полагает, что спор Цермело и Сколема в конечном счете упирается в два разных понимания того, как в математику вводятся новые сущности189. Один способ — это постулирование сущностей, которые составляют некоторую реальность. Аксиоматика и формализация при описании этих сущностей призваны описать уже существующие объекты, и поэтому какие-то другие интерпретации аксиоматики и формализации считаются несущественными. Второй способ состоит в задании аксиом, и сущности, удовлетворяющие этим аксиомам, существуют. В этом случае вопрос заключается в том, какого рода аксиоматика и формализация используются. Если это аксиомы первого порядка, то тогда невозможно протестовать против нестандартных моделей и, естественно, невозможно выделить какую-то предпочтительную модель. Такое неявное задание сущностей приводит к неизоморфности моделей и некатегоричности теории. Если это аксиомы второго порядка, то тогда получается порочный круг, поскольку объекты «определяются» с помощью тех же самых объектов. Таким образом, различие между логикой первого порядка и логикой второго порядка упирается в различное понимание конструирования математических объектов. Одна из версий антиреализма связывает напрямую конструирование математического объекта со значением математического термина, который призван указывать на соответствующий объект. С другой стороны, математическая практика может быть отождествлена с употреблением математического термина. Согласно идеям позднего Виттгенштейна, значение термина не может превзойти его употребления. Известная реконструкция Крипке скептического аргумента Виттгенштейна сводится к тому, что предыдущее употребление выражения не может рационально ограничить его интерпретации до единственной. Схожий скептический аргумент излагается Патнэмом в его концепции внутреннего реализма190. Если Витттенштейн (и его интерпретаторы) правы, тогда значение не содержит чего-то большего по сравнению с тем, что можно получить просто в результате рационального размышления по поводу употребления выражения. И никакое число данных по поводу употребления выражения, и никакая, включая аксиоматическую, характеристика этого употребления не могут рационально ограничить число интерпретаций выражения до единственной.

Скептические аргументы в отношении значения были направлены против платонистских тенденций в теории значения, потому что противоположностью идее Виттгенштейна было бы признание того, что значение превосходит употребление. Но в этом случае значение не будет доступно рациональному критерию, который значим при употреблении выражения, а это, в свою очередь, предполагает, что значение должно быть доступно каким-то прямым образом. Современная эпистемология не признает подобного рода прямого доступа к значению, поскольку при таком доступе оно остается чисто субъективным и личным.

Как скептический вызов сколемовского толка, так и платонист- ский аргумент представляются неудовлетворительными. Однако нелегко найти контраргументы в случае скептического вызова. Во- первых, у разных критиков классической теории значения имеются существенные различия в аргументации, и трудно найти общие контраргументы. Во-вторых, не ясно, в какой степени скептические аргументы, являющиеся обобщением математических результатов, являются значимыми для более общего случая языка.

Однако аргументация, связанная теорией значения и теорией указания, выводит нас за пределы сравнения логики первого порядка и логики второго порядка. На самом деле, представляет интерес, в какой степени предпочтение той или иной логики мотивируется чисто математическими интересами и в какой степени это предпочтение может иметь философские мотивы.

Прежде всего следует отметить, что абстрактная постановка проблемы о том, какая логика лучше, бессмысленна с точки зрения проблемно-ориентированного подхода к основаниям математики. Надо задать вопрос о цели применения той или иной логики. Больше того, видимо, не существует единственной правильной практи- ки такого применения. Мы имеем в зависимости от поставленной задачи неопределенное число неэквивалентных моделей неформальной математической практики.

Можно предположить, что в основе предпочтения логики первого порядка лежит цель изучения понятия дедуктивной системы. Понятие доказательства является в этом случае важнейшим, тем более что теоретико-модельное отношение следования не схватывает понятия «доказательства» или даже «доказуемый». Тут надо четко выявить те цели и задачи, которые ставятся при исследовании математической практики. Понятие классического следования, которое подразумевается очевидным многими философами, сталкивается с трудностями.