4. Диалектика философского спора

Релятивист полагает, что внутри системы Цермело — Френкеля не может быть определено 1—1 соответствие между Z0 и PZQ, и в то же время такое соответствие может быть определено вне сис- темы, но уже такими методами, для которых формализация системы Цермело — Френкеля не является адекватной. Однако, если неформализуемость отображения Z0 в PZ0 в рамках системы Цермело — Френкеля есть результат ограниченности формализации, тогда нужно дать веские аргументы в пользу того, что такое отображение должно быть доказуемо на содержательном уровне. Но такая попытка была бы в высшей степени странной: ведь теорема Кантора как раз и доказана на содержательном уровне, и в ней показана невозможность обсуждаемого отображения. Противоречие устраняется, как видно, при более тщательном анализе двух понятий — области интерпретации и области квантификации. Поэтому Бенацерраф делает вывод, что невыразимость концепции множества в рамках теории первого порядка зависит от этих двух понятий139.

Понятие интерпретации, при всей своей естественности, несет в себе множество тонких моментов. Рассмотрим, например, попытку характеристики чисел с помощью неинтерпретированных аксиом. Известно, что для каждого натурального числа п может быть выписан набор аксиом первого порядка, которые выполнимы в области D, если и только если, D имеет в точности п членов. Однако с помощью неинтерпретированных аксиом нельзя выразить различия между «счетным» и «несчетным». Понятное в содержательной теории, в аксиоматизированной теории подобное различие не проходит, так как хотя можно выписать аксиомы первого порядка, которые выполнимы, но невыполнимы в любой конечной области, нельзя выписать множества аксиом первого порядка, которые выполнимы в несчетной области, но не выполнимы в любой счетной области. Таким образом, не вводя интерпретации аксиом, мы не можем выразить содержательное различие огромной важности. Мораль может быть и более жесткой: выразительные возможности синтаксиса первопорядковой теории слишком скудны для такого различия.

Коль скоро понятие несчетности не является выразимым на уровне логики первого порядка, можно прибегнуть к логике второго порядка, заимствуя из нее самые скромные (минимальные) средства. Типичным вариантом такого подхода будет введение специального предиката второго порядка, скажем, U(x), характеризующего несчетность. Можно представить себе такую ситуацию, при которой в некоторой теории первого порядка U(x) будет теоремой аксиоматической теории. Но хотя содержательно этот предикат выражает несчетность, это значение не «схватывается» на формальном уровне. Па- радоксальность начинается с того момента, когда мы признаем, что теория с U(x) допускает, согласно теореме Левенгейма — Сколема, счетные модели. Как это может случиться? Счетная модель, гарантируемая теоремой Левенгейма — Сколема, состоит из множеств; в то же время у нас имеется «суботношение» принадлежности «є » на некоторой стандартной модели, которая предполагается в качестве исходной при содержательном анализе. При таком анализе мы можем говорить о несчетном множестве, которое может быть перенумеровано некоторой функцией в одной системе, а в другой системе, которая содержит предикат несчетности U(x), эта функция не может быть определена. Другими словами, эта функция находится вне области действия кванторов с предикатом U(x).

Таким образом, вырисовывается фундаментальное различие между теми, кто допускает несчетные множества, которых естественно можно назвать «канторианцами», и теми, кто выражает сомнения по поводу их существования, кого, столь же естественно, можно назвать «сколемитами». Как видно, различие это упирается в соотношение содержательной теории и возможностей ее формализации, цель которой состоит в том, чтобы «схватить» содержание неформальных понятий. Проблема состоит в том, насколько ей это удается в принципе. На уровне содержательных теорий существование несчетных множеств допускается заранее. Но формализация обладает некоторого рода автономией, и если будет решено, что формализация первого порядка достаточна, тогда все, что выходит за ее пределы, все, что не «схватывается» ею, не существует. Именно такова позиция «сколемитов». Они считают, что «бремя доказательства» существования несчетных множеств лежит на «канторианцах».

Коль скоро спор между «сколемитами» и «канторианцами» есть спор о соотношении содержательного и формализованного, вполне возможен спор о том, как получается убеждение в существовании несчетного множества в свете теоремы Левенгейма — Сколема. Спор идет в терминах объяснительных схем, которую предлагает противоположная сторона для объяснения поведения другой.

Начинаем с того, как сколемит объясняет, почему его противник канторианец не может перенумеровать свое «несчетное» множество. (Так это представлено в работе Бенацеррафа140). Канторианец начинает с того, что делает упор на том, что предикат несчетности U(x) есть теорема, и если этот предикат истинен для некоторого множества я, тогда это множество существует. Сколемит парирует этот аргумент тем, что несчетность эта может быть мнимой, поскольку состоит лишь в том, что у канторианца нет в распоряжении функции, которая устанавливала бы одно-однозначное отношение между целыми числами и множеством я, поскольку эти функции находятся вне области действия кванторов. Таким образом, «на самом деле» п является счетным множеством.

Все это рассуждение справедливо только при условии, что формализация как таковая обладает некоторого рода автономией, и все, что не «схватывается» ею, объявляется несуществующим. Конечно, при этом такая формализация должна иметь массу и других заслуг. Формализация первого порядка имеет столько заслуг, что Куайн бросил в свое время громкий лозунг «логики первого порядка вполне достаточно» (в подлиннике это звучит гораздо более афористично — first-order logic is logic enough). Так что сколемит имеет свои резоны в приведенном выше рассуждении.

Но вопрос состоит в том, готов ли канторианец принять логику первого порядка в качестве такой логики, которая «схватывает» интуитивное содержание математических понятий. В частности, сохраняется ли значение, которое канторианец придает концепции несчетности, при формализации его в теории первого порядка? Это поднимает более общий вопрос о том, как термины содержательной математики приобретают значение в формализованной теории. Обыденное представление о соотношении содержательной теории и ее формального аналога состоит в том, что терминам содержательной теории ставятся в соответствие формальные .символы, так что при интерпретации формальной теории этим символам придается значение,^совпадающее с содержательным. Но дело в том, что введение формальной теории подразумевает неинтерпретированное исчисление; термины этого неинтерпретированного исчисления мы снабжаем значением, и в случае совпадения этого значения с содержательным мы получаем «намеренную» интерпретацию.

Поскольку постулирование в значительной степени произвольное, с первого взгляда, действие, сколемиты утверждают, что значение терминов интерпретированного формального языка вовсе не обязано совпадать со значением терминов содержательной теории. Поскольку существование несчетных множеств утверждается кан- торовской содержательной теорией, существование несчетных множеств в формализованной теории вовсе не гарантируется. Однако подобная аргументация не совсем убедительна, поскольку значения обоих языков, или теорий, все-таки совпадают, ввиду того, что при конструировании формального языка мы используем метаязык, который в значительной степени заимствует значения из содержательной теории.

Таким образом, при рассмотрении вопроса о соотношении содержательной и формальной теорий, который является решающим при обсуждении вопроса о реальном существовании несчетных множеств, мы ограничились пока обсуждением того, каким образом получают значения термины формальной теории. Однако подлинное различие, как подчеркивает Бенацерраф, между сколемитами и канторианцами состоит в том, что первые предпочитают ограничиться именно таким обсуждением. Другими словами, регламентация обыденного языка формальным языком первого порядка считается ими достаточным шагом для «схватывания», часто сводящегося к постулированию, значения содержательных концепций. Но вот с точки зрения канторианцев требуется еще одно важное дополнение, а именно, определение области квантификации, а также значения нелогических терминов словаря. Так, «є » может означать отношение членства среди множеств, а V будет универсальным квантором. Если же мы ограничиваемся, как сколемиты, только регламентацией содержательного языка логикой первого порядка, всякая дальнейшая спецификация значения будет излишней, например, для тех же символов «є » и «V». Однако такая стратегия вряд ли может быть оправдана, поскольку язык первого порядка не имеет всех тех преимуществ, которые готовы пересилить все неудобства отсутствия явной процедуры приписывания значения. Теперь возникает вопрос, являются ли эти шаги достаточными для регламентации содержательной теории первопорядковой логикой, или же требуется что-то еще. И тут мы подходим к решающему различию между канторианцем и сколемитом. С точки зрения кан- торианца важна еще и область квантификации, а также то, какие подмножества картезианских произведений этой области приписаны терминам нелогического словаря. Например, «є » может означать отношение членства среди множеств. С точки зрения сколеми- та последние шаги, связанные с заданием области квантификации, не необходимы, и предыдущих шагов вполне достаточно для того, чтобы сделать неэффективной любую дальнейшую спецификацию значения, например, для «є » или «V». Но дело в том, что у сколеми- та нет никаких аргументов для того, чтобы оправдать отказ от придания значения этим терминам, и ограничить интерпретацию первопорядковой теоретико-модельной структурой объект-языка. Другими словами, такая структура выступает в качестве суррогата зна- чения терминов содержательной математики. Между тем А. Тарский выступил против понимания символа «є » как неинтерпретирован- ного символа, поскольку именно такое понимание приводит к ненамеренным счетным моделям141. Он полагает, что если трактовать «є » как логическую константу, счетные модели не могут появиться вообще. Следовательно, значение «є» должно быть фиксировано при всех интерпретациях.

Следовательно, один из аспектов обсуждения философских следствий теоремы Левенгейма — Сколема заключается в проблеме того, схватывается ли значение терминов содержательной математики формализмами. Этот аспект может быть развит в свете общей теории значения, в рамках философии языка. С технической точки зрения содержательная сторона отражена тем фактом, что в аксиоматике Цермело — Френкеля невозможно построить одно-однозначную функцию, которая отображает множество действительных чисел в множество натуральных чисел. Поскольку доказуемая в языке первого порядка теорема Левенгейма — Сколема утверждает противоположное, ясно, что интуитивное содержание теории Кантора не сохраняется в такой ограниченной теории, или не схватывается ею.

Естественно, что ответственность за такое положение дел с аксиоматической теорией возлагается на аксиомы. В данном случае приходится признать, что не каждая модель аксиом является допустимой интерпретацией. Это положение поднимает много вопросов как в отнощении понятия аксиомы, так и понятия интерпретации. Действительно, если аксиома имеет несколько интерпретаций, непонятно, по каким критериям считать некоторые из них допустимыми, а другие — нет. Здесь Бенацерраф вводит чрезвычайно важное предположение о том, что в отношении допустимых интерпретаций следует различать два типа неинтерпретированных языков. В одном случае имеется неинтерпретированный язык, для которого нет явной интерпретации, а в другом случае неинтерпретированный язык допускает изначально допустимые интерпретации. Поскольку постановка проблемы о допустимых интерпретациях возникает в связи с теоремой Левенгейма — Сколема, вполне естественно предположение, что язык без явно обозначенной интерпретации не подлежит воздействию этой теоремы. Это означает, что сколемовская релятивизация применима толь- ко к определенному классу неинтерпретированных языков, и что более важно, этот релятивизм не является универсальным. Если же эту неясность устранить твердой предпосылкой, что формализованная версия сохраняет связь с интуитивной математикой, тогда класс допустимых интерпретаций должен быть ограничен значением «є» и областью квантификации, т.е. формализации подлежит теория множеств, а не теория каких-то других объектов.

Но тогда встает вопрос, может ли значение утверждения (которое может быть придано ему в неинтерпретированном языке), быть более точным, чем интерпретации утверждения, понимаемые в тео- ретико-модельном смысле. Если вместе со Сколемом считать, что утверждения теории множеств могут быть отождествлены с тем, что инвариантно при всех классических моделях теории, тогда мы будем считать, что «є » есть просто отношение, которое удовлетворяет аксиомам. Если же мы будем считать это отношение логической константой, оно будет отношением членства для множеств, а кванторы пробегают при этом над множествами.

Для оправдания вышеупомянутого утверждения мы должны признать, что понятие намеренной интерпретации является недостаточным. Намеренная интерпретация представляет наше намерение «схватить» содержательный аспект путем формализации логики и основных понятий математики. Само понятие множества включает в себя больше, чем такая намеренная интерпретация. Речь идет о справедливости аксиом теории множеств, и эта справедливость должна быть показана не только намеренной интерпретацией, но и некоторого рода объяснениями о возможностях формализации вообще. Эта проблема упирается в теорию значения и указания в языке, и по сути своей упирается в проблему понимания языка. Как постоянно указывает Я. Хинтикка, язык может пониматься двумя фундаментально различными способами — как исчисление и как универсальный медиум для коммуникации142. Принятие одной из точек зрения имеет огромные следствия для того или иного понимания представленной в данной работе проблемы.

5. «СКОЛЕМИЗАЦИЯВСЕГО»...