<<
>>

3. Разрешение парадокса

До недавнего времени дискуссиям вокруг парадокса Сколема была присуща некоторая нерешительность, связанная с почти полным принятием убеждения, что релятивизм Сколема в отношении понятия множества представляет собой нечто большее, чем просто некоторый тезис философии математики.
«Сколемизация всего», провозглашенная X. Патнэмом, только усилила эту тенденцию, подняв интерпретацию математической теоремы до уровня значительного эпистемологического тезиса о природе языка. Так что непонятно было, что собственно обсуждать, — собственно философскую интерпретацию теоремы Левенгейма — Сколема или же общий скептический вызов теории познания. Поскольку основной целью этого раздела является отделение интерпретации технических результатов от слишком общих философских тезисов, представляется желательным дать все-таки отдельную трактовку собственно парадоксу Сколема и теореме Левенгейма — Сколема и «сколемизации всего» как скептического вызова. В частности, желательно было бы отделить релятивизм, который мотивируется многими внешними факторами (и лишь с первого взгляда является следствием теоремы Левенгейма — Сколема) от анализа собственно парадокса Сколема и теоремы Левенгейма — Сколема. Рассмотрим «действие» теоремы Левенгейма — Сколема на примере аксиомы множества-степени. С первого взгляда эта теорема противоречит теореме Кантора, согласно которой в данном случае элементы множества-степени целых чисел не могут быть по- 3. РАЗРЕШЕНИЕ ПАРАДОКСА

ставлены в 1—1 соответствие с целыми числами. Из теоремы же Левенгейма — Сколема следует, что аксиомы Цермело — Френкеля имеют дело самое большее со счетным числом объектов, и отсюда, множество-степень целых чисел, как объект теории, само счетно. Бенацерраф подчеркивает в связи с этим, что такая формулировка следствий теоремы Левенгейма — Сколема является результатом простой путаницы; в частности, эта теорема не влечет счетности числа тех объектов, с которыми имеет дело система Цермело — Френкеля, ни счетности самих объектов. Речь в теореме идет лишь о том, что если система аксиом Цермело — Френкеля имеет модель вообще, то эта теория множеств имеет и нестандартные модели.

Для понимания того, почему такая путаница возникает, Бенацерраф18 вводит новую версию теоремы Левенгейма — Сколема, так называемую транзитивную счетную субмодельную версию (далее ТСМ). Модель транзитивна, если и только если, каждый элемент каждого множества в модели принадлежит области модели. Как видно, намеренная интерпретация системы Цермело — Френкеля включает транзитивную модель. Тогда, согласно ТСМ, если система Цермело — Френкеля имеет намеренную модель вообще, эта система может иметь интерпретацию в счетной подобласти множеств, включенных в намеренную интерпретацию, такую, что «є » продолжает оставаться отношением членства, и каждое множество в области новой интерпретации самое большее счетно. Рассмотрим, как появляется противоречие в этой версии теоремы Левенгейма — Сколема. Аксиома множества-степени имеет следующий вид:

(Ух) (3 и) (Vf) [ t є и = (Уу) (у є t dj є *)].

Пусть х будет Zfl— множество положительных чисел, D — область намеренной интерпретации и D' — область подмодели. Так как по предположению аргумента ZQ есть элемент обеих областей и так как аксиома множества-степени справедлива при намеренной интерпретации для DuD' (следует учесть, что «є » имеет в подмодели ту же интерпретацию, что и в модели, и является единственной нелогической константой в аксиоме), множество-степень множества ZQ — обозначим его через PZQ, — которое обозначается в аксиоме через и, должно быть элементом как D, так и D'. И вот тут мы имеем противоречие. Канторовская теорема, доказуемая в системы Цермело— Френкеля, влечет, что не существует 1—1 соот- ветствия между Z0 и PZQ, но если PZ0 есть элемент транзитивной, счетной подмодели системы Цермело — Френкеля, оно должно быть также счетным, и стало быть, должно иметься 1—1 соответствие.

Это противоречие устраняется после экспликации следующего неявного предположения. Оно заключается в том, что если Z0 есть элемент как D, так и D', тогда тот факт, что аксиома множества- степени справедлива для обеих областей, без переинтерпретации ее единственной нелогической связки, есть гарантия, что PZQ также элемент обеих областей. Но, как замечает К. Райт, это предположение попросту неверно137. Аксиома лишь гарантирует нам, что каждая область будет содержать для ZQ множество и, которое содержит каждый t в этой области, который удовлетворяет условию в правой части эквивалентности наедине с ZQ. Но нет никакой необходимости считать их одним и тем же множеством, поскольку это зависит от соответствующих универсумов квантификации t в двух областях. Если эти области не одни и те же, нельзя предполагать, что PZ0, которая есть элемент D', есть в самом деле PZ0 — полноценное множество-степень целых чисел. Поскольку предположение о тождественности этих двух множеств неосновательно, транзитивная счетность D' никоим образом не находится в противоречии с несчетностью PZ„.

<< | >>
Источник: Целищев В.В.. Философия математики. 4.1.— Новосибирск: Наука,. —212 с.. 2002

Еще по теме 3. Разрешение парадокса:

  1. Парадоксы
  2. 25. СЕМЬ ПАРАДОКСОВ
  3. СОФИЗМЫ И ПАРАДОКСЫ
  4. ПАРАДОКС ВЕРЫ
  5. Парадокс лжеца
  6. Парадокс Ришара
  7. КАПИТАЛИЗМ И ПАРАДОКС НАМЕРЕНИЙ
  8. 7.3. Софизмы и логические парадоксы.Некорректные аргументы
  9. Классы и парадоксы
  10. БОЖЕСТВЕННЫЙ ПАРАДОКС
  11. Парадокс времени
  12. 2.4. Парадоксы исторического творчества
  13. Парадоксы материальной импликации.
  14. Парадоксы современного общества