3. Разрешение парадокса

ставлены в 1—1 соответствие с целыми числами. Из теоремы же Левенгейма — Сколема следует, что аксиомы Цермело — Френкеля имеют дело самое большее со счетным числом объектов, и отсюда, множество-степень целых чисел, как объект теории, само счетно. Бенацерраф подчеркивает в связи с этим, что такая формулировка следствий теоремы Левенгейма — Сколема является результатом простой путаницы; в частности, эта теорема не влечет счетности числа тех объектов, с которыми имеет дело система Цермело — Френкеля, ни счетности самих объектов. Речь в теореме идет лишь о том, что если система аксиом Цермело — Френкеля имеет модель вообще, то эта теория множеств имеет и нестандартные модели.

Для понимания того, почему такая путаница возникает, Бенацерраф18 вводит новую версию теоремы Левенгейма — Сколема, так называемую транзитивную счетную субмодельную версию (далее ТСМ). Модель транзитивна, если и только если, каждый элемент каждого множества в модели принадлежит области модели. Как видно, намеренная интерпретация системы Цермело — Френкеля включает транзитивную модель.

(Ух) (3 и) (Vf) [ t є и = (Уу) (у є t dj є *)].

Пусть х будет Zfl— множество положительных чисел, D — область намеренной интерпретации и D' — область подмодели. Так как по предположению аргумента ZQ есть элемент обеих областей и так как аксиома множества-степени справедлива при намеренной интерпретации для DuD' (следует учесть, что «є » имеет в подмодели ту же интерпретацию, что и в модели, и является единственной нелогической константой в аксиоме), множество-степень множества ZQ — обозначим его через PZQ, — которое обозначается в аксиоме через и, должно быть элементом как D, так и D'. И вот тут мы имеем противоречие. Канторовская теорема, доказуемая в системы Цермело— Френкеля, влечет, что не существует 1—1 соот- ветствия между Z0 и PZQ, но если PZ0 есть элемент транзитивной, счетной подмодели системы Цермело — Френкеля, оно должно быть также счетным, и стало быть, должно иметься 1—1 соответствие.

Это противоречие устраняется после экспликации следующего неявного предположения. Оно заключается в том, что если Z0 есть элемент как D, так и D', тогда тот факт, что аксиома множества- степени справедлива для обеих областей, без переинтерпретации ее единственной нелогической связки, есть гарантия, что PZQ также элемент обеих областей. Но, как замечает К. Райт, это предположение попросту неверно137. Аксиома лишь гарантирует нам, что каждая область будет содержать для ZQ множество и, которое содержит каждый t в этой области, который удовлетворяет условию в правой части эквивалентности наедине с ZQ. Но нет никакой необходимости считать их одним и тем же множеством, поскольку это зависит от соответствующих универсумов квантификации t в двух областях. Если эти области не одни и те же, нельзя предполагать, что PZ0, которая есть элемент D', есть в самом деле PZ0 — полноценное множество-степень целых чисел. Поскольку предположение о тождественности этих двух множеств неосновательно, транзитивная счетность D' никоим образом не находится в противоречии с несчетностью PZ„.