4. Логика второго порядка

Прежде всего следует отметить, что различие между экстенсиональными и интенсиональными сущностями не является решающим для разделения языков на порядки. Хотя интерпретированный язык называется «второпорядковым» или «высшего порядка», если его переменные пробегают над отношениями, пропозициональными функциями, свойствами, классами или множествами сущностей, над которыми пробегают переменные логики первого порядка, природа сущностей не имеет значения для характеристики логики второго порядка.

Отличительной характеристикой порядка языка является размер области квантификации. Язык второго порядка может быть получен добавлением к дедуктивной системе первого порядка расширения аксиом с кванторами типа [Х{Ф{Х)) —> Ф(У)) и аксиомной схемы свертывания БХ Ух (Хх = Ф(х)) для каждой формулы Ф, не содержащей ^"свободно. Но основное различие языков первого и второго порядков заключается в семантике. Областью переменных первого порядка могут быть натуральные числа.

В стандартной семантике логики второго порядка переменные пробегают над совокупностью всех подмножеств области. Хотя для такой семантики все доказуемые утверждения являются истинными, в ней не проходят полнота и компактность. Все бесконечные структуры категоричны. Преимуществами логики второго порядка со стандартной семантикой являются ясность, соответствие интуиции. При фиксации области квантификации переменных первого порядка понятия «все свойства» или «все подмножества», играю- щие решающую роль в основаниях математики, обретают твердый смысл. По этой причине многие считают, что логика второго порядка является более подходящим кандидатом для оснований математики, чем традиционный базис — логика первого порядка плюс теория множеств. А вот сторонники логики первого порядка утверждают, что понятие переменной, пробегающей над всеми свойствами фиксированной области, в высшей степени неясно и по этой причине логика второго порядка вряд ли может считаться хорошим базисом. Для разрешения этого спора требуется рассмотрение дополнительных аргументов в пользу логики второго порядка.

Во-первых, нужно понять, в каком смысле логика второго порядка является логикой. В общепринятом смысле слова логика абстрагируется от специфики рассматриваемого предмета, и представляет собой теорию о том, что истинно и что ложно. Если руководствоваться именно таким критерием, тогда под рубрику логики определенно попадают истинностные функции. Но вот введение кванторов усложняет критерий логики. Действительно, уже логика первого порядка требует кроме истины и лжи два дополнительных понятия — истинности предиката об объекте и самого объекта. В этом отношении логика второго порядка кажется даже более экономной, поскольку там требуется только еще одно дополнительное понятие — значение предикатной переменной. Таким образом, с точки зрения приведенного критерия логика второго порядка определенно является логикой не в меньшей степени, чем логика первого порядка. Действительно, раз уже в логике первого порядка допущено некоторое дополнение, нет никаких априорных возражений против дальнейших допущений и усложнений.

Однако в качестве главного возражения против логики второго порядка выдвигается обвинение в том, что упомянутое выше ДОПОЛг нение выводит эту самую логику из семейства логик вообще. Знаменитый (как и все афоризмы Куайна) афоризм «Логика второго порядка есть волк (теория множеств) в овечьей (логика) шкуре»183является скорее метафоричным, нежели точным выражением ситуации, сложившейся в отношении логики второго порядка. И поэтому буквальное толкование афоризма попросту неверно. Как отмечает, среди прочих, Дж. Аззуни184, логика второго порядка не является» строго говоря, теорией множеств, если под последней подразумева- ется теория множеств первого порядка, поскольку модели для этих систем не совпадают. Действительно, как известно, теория множеств первого порядка имеет нестандартные модели, в которых «є» не является отношением членства. Различие между логикой первого порядка и логикой второго порядка проявляется, если прибегнуть к терминологии Куайна, в онтологическом плане, имея в виду его критерий существования «Быть значит быть значением переменной». В случае одной переменной предикация Ра свойства Р сингулярному термину а не предполагает, что выражение Ра имеет в качестве онтологических допущений объем предиката Р. Онтологические допущения, как следует из критерия существования, определяются областью квантификации. Именно по этой причине отношение членства «є » не предполагается в использовании нотации «Ра». Но как только мы переходим к квантификации предиката, предикация становится равносильной отношению членства, и больше того, по сути становится логической константой. В определенном смысле логика второго порядка действительно становится равносильной теории множеств185.

Дело в том, что понятие стандартной модели для языка второго порядка предполагает, что переменные для одноместного предиката должны пробегать над всеми совокупностями объектов в универсуме индивидов. Это предположение существенно, поскольку логика второго порядка не является рекурсивно аксиоматизируемой. Что касается рекурсивно аксиоматизируемых фрагментов, они будут представлять собой класс обобщенных моделей Генкина таких, что теоремы фрагмента и только они истинны для всех моделей этого класса. Но эти модели не являются стандартными. Если бы мы были ограничены рекурсивно аксиоматизируемыми системами, мы не могли бы сказать, что модели для оценки логической истины являются стандартными. Но это можно сделать, если синтаксическую операцию предикации представить в виде отношения членства (в виде логической константы) и позволить предикатной переменной пробегать над всеми подмножествами универсума индивидов. Таким образом, выражение 3F (Fa) вынуждает нас считать одним и тем же значения, которые принимает предикат, и указание сингулярным термином а. Суть аргументации Аззуни состоит в том, что логика второго порядка оказывается если не теорией множеств, то двухсортной первопорядковой теорией объектов и их классов.

Так где же лежит различие между логиками первого порядка и второго порядка? Д. Восток замечает, что сам по себе факт, что в одной теории пишется Fa, а в другой теории — а є F, означает лишь различие в нотации, что имеет место, скажем, в случае стандартной и польской нотации. Две логики могли бы различаться в отношении того, что считать правильно построенной формулой187. Действительно, в логике второго порядка такое соединение символов как ab или FG не считалось бы правильно построенной формулой, в то время как в первопорядковой теории множеств b є а или G є F являются правильно построенными формулами. Правда, во избежание парадоксов такие формулы можно признать ложными, а то и вовсе отказать им в статусе правильно построенных формул. Так что различие между логикой первого порядка и логикой второго порядка лежит в их семантиках.

В частности, в двух этих случаях по-разному работает понятие общезначимости. Формальное определение общезначимости звучит одинаково для обеих логик: формула общезначима, если и только если, она истинна при всех интерпретациях входящих в нее символов. В это определение входит намеренная интерпретация логических связок. В логике первого порядка вводится специальная интерпретация кванторов, при которой они пробегают над всеми объектами. В логике второго порядка в дополнение постулируется специальная интерпретация для кванторов второго уровня, т.е. предикатных кванторов, которая обобщает все способы, которыми предикат может быть истинен для одних объектов, и ложен для других. Именно это дополнительное условие и создает различие между двумя логиками. Оно ответственно за то, что в то время как логика первого порядка может быть снабжена полным множеством аксиом и правил, логика второго порядка лишена этого. Кроме того, этот же факт ответствен за то, что многие важные понятия в логике первого порядка не определимы, и в то же время определимы в логике второго порядка.

Приведем иллюстрацию этого обстоятельства. Известно, что тождество неопределимо в языке первого порядка, т.е. если этот язык имеет нормальные модели, в которых «=» интерпретируется как тож- дество, тогда он также имеет и «ненормальные» модели, в которых «=» интерпретируется другим образом. В логике второго порядка мы имеем определение а = b <-> VF (Fa <-> Fb), которое интуитивно правдоподобно. Таким образом, дополнительный вид квантификации в логике второго порядка придает ей большие выразительные возможности, но в то же время лишает ее компактности или конечной аксиоматизируемости. Как уже было сказано, те же выразительные возможности равносильны теории классов, представленной двухсортной теорией. Различие только лишь в онтологических допущениях, поскольку многие полагают логику второго порядка нейтральной в отношении онтологии, считая, что она избегает допущения классов как сущностей.

При сопоставлении логик первого порядка и второго порядка следует обратить внимание на то, в какой степени они естественны. Уже говорилось о том, что сторонники «регламентации обыденного языка» логикой первого порядка (например, Куайн) считают, что она покрывает огромную область структур обыденного языка. И только некоторые «тонкости», которые не по плечу логике первого порядка, требуют логики второго порядка. Но вот подобного рода «тонкости» играют огромную роль, скажем, в математике. Дедекинд показал, что постулаты элементарной арифметики натуральных чисел дают категоричные структуры (все модели этих постулатов имеют одну и ту же структуру, т.е. структуру натуральных чисел). То же сделал Кантор для действительных чисел. Но оба этих доказательства опираются на второпорядковое понимание этих постулатов, потому что известно, что никакое множество первопорядковых постулатов, которые имеют бесконечные модели, не может быть категорическим. Так что приемлемость этих доказательств ведет к признанию необходимости логики второго порядка.

Другой пример необходимости логики второго порядка таков188. Пусть имеется бесконечное число посылок типа

А не есть родитель В

А не есть родитель родителя В

А не есть родитель родителя родителя В

Из этих посылок следует заключение А не есть предок В.

Такой вывод вполне значим для тех, кто понимает содержание понятие «предок». В логике первого порядка этот вывод не является значимым, поскольку логика первого порядка компактна. Компактность означает, что если утверждение следует из бесконечного множества посылок, тогда оно должно следовать из конечного подмножества множества этих посылок.

Одна из главных причин спора между сторонниками логики первого порядка и логики второго порядка заключается в том, возможно ли достижение категоричности, поскольку именно это свойство является главным признаком соответствия интуиции: формальная система должна описывать объективный мир математических сущностей. Логика второго порядка категорична, но, как уже было указано, многие полагают понятие переменной над всеми свойствами формально неточным. Однако вполне возможно сделать понятие переменной над всеми свойствами формальным, поскольку возможно построение некоторой версии аксиоматической теории, достаточной для формулировки стандартной семантики логики второго порядка. В такой версии можно доказать категоричность теории и многие существенные результаты теории множеств. Но формальная метатеория, в которой получается категоричность, сама может считаться теорией первого порядка. Следовательно, в ней проходит теорема Левенгейма —Сколема о нестандартных моделях, и категоричности больше нет. В пользу этого взгляда можно привести все те аргументы, которые традиционно приводятся при рассмотрении релятивизма в теории множеств, согласно которому одно и то же множество может иметь различную мощность в различных формальных системах.

Против этого сторонники логики второго порядка высказывают твердое убеждение, что метатеория, о которой идет речь, не может рассматриваться как неинтерпретированная теория с различными возможными моделями. Намеренная интерпретация этой метатеории — интуитивная семантика естественных языков, в которых формулируются содержательные истины математики. На первый план выступает область таких языков, а не понятие модели. Категоричность относится к естественному языку, а не к изоморфизму моделей в каждой интерпретации.