6. Компактность и нестандартные модели

Наличие у классического следования свойства компактности делает следование более управляемым. При компактности вывод значим, если и только если, заключение следует из конечного числа посылок. С другой стороны, компактность представляет собой сильное ограничение на выразительные возможности формализмов. Понятие следования можно рассматривать с синтаксической точки зрения, в рамках которой следование трактуется как свойство дедуктивной системы. Желательное свойство дедуктивной системы состоит в том, чтобы доказуемые формулы были истинными. Компактность соответствует этому желательному свойству. Дедуктивная система в этом случае полна. Однако есть вывод такого рода, в котором следование может рассматриваться с семантической точки зрения. Действительно, пусть у нас имеется утверждение «для каждого п, А(п)» есть ло- гическое следствие бесконечного множества посылок А(0), А( 1), А(2),..где п — натуральное число. Интуитивно такой вывод оправдан, но он не обладает свойством компактности и, стало быть, не является частью классической концепции следования.

Объяснение нарушения классического следования состоит в том, что логика с компактностью была предназначена для аксиоматизации математики, т.е. для поиска конечного числа аксиом, из которых может быть выведена вся содержательная математика. Теорема Геделя о неполноте арифметики показала невозможность такой аксиоматизации. То есть стандартная модель арифметики, состоящая из чисел 1, 2, 3, ..., не может быть представлена таким множеством формул, которые характеризовали бы эту модель точно. Это значит, что такое множество формул имеет различные неизоморфные модели. Таким образом, категоричность исключает компактность, но именно компактность требуется теорией доказательства. Кодификацией такого рода доказательства является логика первого порядка, а логика второго порядка не имеет свойства компактности.

Соотношение стандартной модели арифметики и нестандартных моделей таково: стандартная модель представляет исходный фрагмент каждой модели первопорядковых истин арифметики, а нестандартные модели содержат дополнительные числа, большие, чем все натуральные числа. Именно по этой причине получается ш-противоречивость: А(п) может быть справедливо для всех стандартных чисел 0,1,2,... и т.д. и все же не быть истинным для каждого числа в модели. Избежать подобной противоречивости можно добавлением фразы «1, 2, 3, ... исчерпывают все числа», но такое добавление не может быть выражено в терминах первого порядка191.

Девис и Херш дают прекрасное объяснение ситуации192. Мате,-! матика есть человеческая активность, подобно философии или конструированию компьютеров. Во всякой такой активности используется естественный язык. В то же самое время математики используй ют формальный язык. Можно даже сказать, что возможность изложения математического открытия на формальном языке является в определенном смысле тестом, правильно ли оно понято. Пусть стандартный универсум М—это конечные действительные числа. Формальный язык, на котором мы говорим о М, — это L. Любое предложение в L есть суждение о М, и оно может быть истинным или лож- ным. Мы называем множество истинных таких предложений А" «моделью» и говорим, что М есть модель для К. Под этим мы имеем в виду, что М есть математическая структура, такая что для каждого предложения из К, которое будучи интерпретированным как указание на М, является истинным. Конечно, мы не «знаем» К в каком-то эффективном смысле; если бы мы знали это, то имели бы ответ на каждый вопрос в анализе. Тем не менее мы считаем К вполне определенным объектом, относительно которого мы можем размышлять и выводить заключения.

Существенным фактом было то, что в дополнение к М, стандартному универсуму, есть также нестандартные модели для К, т.е. имеются математические структуры М*, существенно отличные от М, и что они, тем не менее, являются моделями для К в естественном смысле термина: имеются объекты в М* и отношения между объектами в М*, такие что если символы в L переинтерпретированы для приложения к этим псевдообъектам и псевдоотношениям подходящим образом, тогда каждое предложение в К все еще истинно, хотя и имеет другое значение.

Дэвис и Херш приводят прекрасную аналогию. Пусть М—множество студентов первого курса, а М* — множество их фото, представляющее квадрат два на два. Тогда истинные утверждения о студентах соответствуют истинным утверждениям о фото. Но есть больше квадратов два на два, чем студентов. Так что М* больше, чем М. Пусть «Гарри тоньше Тома». Тогда это предложение, интерпретированное в М*, будет предложением о квадратах. Оно не истинно, если отношение «тоньше» интерпретировано стандартно. «Тоньше» должно быть переинтерпретировано как псевдоотношение между псевдостудентами. Например, можно определить «тоньше» так: квадрат Гарри тоньше квадрата Тома, если Гарри тоньше Тома. Тогда истинные утверждения о студентах будут истинными утверждениями о квадратах.

Нестандартный универсум может быть использован для нестандартного анализа. Но при этом используется теорема компактности. Она связана с теоремой полноты Геделя, которая устанавливает, что множество предложений логически непротиворечиво, если и только если предложения имеют модель, т.е.

Главным преимуществом языка второго порядка перед языком первого порядка является то, что арифметика второго порядка позволяет устранить нестандартные модели за счет выражения во вто- ропорядковом языке того факта, что стандартная модель является исходным сегментом всех остальных моделей, и того, что именно в этом сегменте мы и заинтересованы. Факт этот выражается аксиомой индукции, которая, как мы уже видели, является второпорядко- вой. Аксиома утверждает, что любое свойство, которым обладает О, если оно принадлежит числу п, принадлежит и числу п + 1. Если использовать для выражения этой аксиомы язык первого порядка, то появляется неясность в отношении выражения «любое свойство». В первопорядковой версии аксиомы используются схематические буквы, пробегающие над подмножествами, что не исключает появления нестандартных моделей. А семантика языка второго порядка гарантирует, что «любое свойство» означает на самом деле любое свойство.

Другими словами, логика второго порядка более предпочтительна по той причине, что понятие следования в ней отвечает интуитивным представлениям о значимом заключении аргумента. Полнота логики первого порядка гарантирует, что правила вывода в ней гарантируют доказательство следствий первого порядка, но при этом ряд интуитивных следствий в ней не проходят. Таким образом, мы имеем два метода исследования содержательных математических утверждений: теорию доказательства и теорию моделей. Если в исследовании превалирует теория доказательств, тогда центральной концепцией является понятие дедуктивной системы. «Логик будет настаивать на точном соответствии теоретико-модельного отношения следования и дедуктивного отношения следования», — говорит С. Шапиро. В трактовке как исчисления высказываний, так и исчисления предикатов сначала дается теоретико-модальное изложение, а затем — теория доказательств. Между тем при использовании формальных языков мы стремимся к прояснению вопросов онтологии и эпистемологии в математическом познании. В этом случае понятие дедуктивной системы не является центральным. Дело в том, что более важно понятие теоретико-модельной интерпретации, т.е. семантика, поскольку соотношение формального языка и интерпретации представляет соотношение языка и мира. В конечном счете, несмотря на свою специфику, математический дискурс есть все- таки дискурс о мире.

Логика первого порядка считается предпочтительной для математического дискурса по той причине, что в математике главным является доказательство. Теоретико-модельное отношение следования не «схватывает» понятия доказательства; действительно, семантическое понятие следования может быть шире дедуктивного понятия, будучи реализацией интуитивных представлений. Может создаться парадоксальное положение, когда семантическое следствие уже принятых результатов окажется синтаксически недоказуемым. Такая ситуация погрузит математический дискурс в хаос и парадоксы. По этой причине сторонники логики первого порядка, т.е. логики с полнотой, ограничивают математический дискурс доказательными утверждениями. Математический дискурс, или математическая практика, заключается в описании «математической реальности», намеренной интерпретации символов. Распространенным методом такого описания является аксиоматизация. Пусть система аксиом имеет ряд моделей. Если намеренная интерпретация совпадает с моделью аксиом, и если каждая модель совпадает с намеренной интерпретацией, тогда аксиоматизация считается успешной. Вопрос заключается в том, сводится ли математический дискурс к дедукции следствий из аксиом. Если дедуктивная система полна, тогда действительно все содержательные истины будут доказуемы. Это и будет аргументом в пользу логики первого порядка. Однако Булос193 обратил внимание на парадоксальную ситуацию с понятием логического следования в логике первого порядка. Пусть имеется аргумент I в языке первого порядка, который имеет более или менее короткий вывод / из посылок в языке второго порядка. Булос приводит такой пример. Можно дать и теоретико-модельное доказательство, что I значимо в теоретико-модельной семантике. Так как I— первого порядка и логика первого порядка полна, существует выведение заключения / из посылок в стандартной дедуктивной системе первого порядка. Булос, однако, показывает, что самое короткое выведение / имеет огромное число шагов. Ясно, что если аргумент первого порядка значим, тогда в этом можно убедиться через вывод в стандартной дедуктивной системе первого порядка. Однако только что приведенный пример говорит о том, что такой «в принципе» вывод не конструктивен. Более подходящим кандидатом на математический дискурс является открытие следствий из аксиом в рамках логики второго порядка, тем более что в рамках логики первого порядка многие теоремы содержательной математики не представляют собой следствий из аксиом.

На самом деле ни та, ни другая активность не является подлинно «репрезентативной» для математики. Наиболее употребительным приемом служит вложение исследуемой структуры в более богатую структуру, которая проливает свет на первую. Такой более богатой структурой может быть та же теория множеств. Так что с точки зрения претензий на большую основательность в математической практике не выигрывает ни логика первого порядка, ни логика второго порядка. Все определяется целями математического дискурса.