4. Психологический и социокультурный релятивизм

Близкие воззрения на природу доказательства изложены в статье В.А. Успенского «Семь размышлений о философии математики». В отличие от Девиса Успенский делает акцент на социокультурном контексте доказательства: изменчивый характер самых фундаментальных верований, лежащих в основе рационального мышления, исключает, по его мнению, возможность математических рассуждений, имеющих вневременное значение. Успенский исходит из положения, что доказательство —- это убедительное рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы способны убеждать других40. Представление о доказательстве при таком его понимании оказывается неразрывно связанным с языковыми средствами и с социальной психологией человеческого общества. Поскольку и то, и другое меняется с ходом истории, то неизбежно меняются и наши оценки, относящиеся к качеству доказательств. «Если математика и абсолютна, — заключает Успенский, — то только на уровне повседневного опыта — точно так же как абсолютна ньютоновская физика применительно к явлениям средних размеров»41.

Очевидно, что здесь мы приходим к некоторому крайнему релятивизму. Если у Лакатоса доказательства, не будучи идеально надежными, тем не менее, имеют тенденцию к увеличению надежности, то в понимании доказательства, которое мы видим у Девиса и Успенского, такая тенденция исключена.

При психологическом обосновании релятивности доказательства упускается из виду объективная системность математики, тот факт, что неверный результат неизбежно обнаруживает себя в «кроссворде» математической теории, входя в столкновение с другими результатами. Математика очищает себя от ошибок не только через проверку доказательств, но и посредством системности теории. Каждое доказательство может иметь ошибки, но вместе с тем каждое доказательство полностью освобождается от них, включаясь в центр теории и во взаимодействие с другими доказательствами. Если бы действительно математики ошибались в сложении таких чисел как 12345 и 54321, то тогда мы имели бы удивительное и необъяснимое явление гармонического сочетания многих тысяч ложных утверждений и совокупного соответствия системы этих утверждений практике. Изложенные выше соображения о конечном характере процесса проверки в математике полностью исключают такую возможность.

Наиболее веский аргумент против психологической и социокультурной релятивизации математического доказательства дает сама математическая практика. Математики, в большинстве случаев, конечно, верят в полную надежность и окончательность признанных доказательств: вряд ли кто допускает, что на новом уровне строгости, с точки зрения некоторых новых представлений об убедительности мы объявим в качестве не вполне надежных элементарные законы арифметики, основную теорему алгебры или доказательство того, что аксиома параллельных не выводима из других аксиом евклидовой геометрии. Нет никакого сомнения в том, что В.А. Успенский как логик ни минуты не сомневается в том, что непротиворечивость исчисления высказываний и неполнота арифметики доказаны абсолютно, и что соответствующие теоремы не подлежат пересмотру. Надежность признанных доказательств представляет собой факт, подтверждаемый всей историей математики, и этот факт не может быть поставлен под сомнение на основе абстрактных доводов эмпирической или социокультурной философии науки.

Здесь надо обратить внимание на то обстоятельство, что аргументы от фактических возможностей человека и человечества в целом не имеют прямого отношения к философскому вопросу о надежности математики и к критике априоризма.

Такое понимание статуса математических объектов, конечно, не может быть принято. Оно ошибочно прежде всего потому, что противоречит бесспорному факту, состоящему в наличии единой, общезначимой и устойчивой в своих связях системы математических теорий. Ничто в математике не доказывает многозначности или неопределенности математических понятий. Для объяснения статуса объектов математики необходима не историческая, а функциональная точка зрения, объясняющая априорное знание из самого акта действия. Если бы все человечество потеряло на время память и прервало бы все исторические эстафеты, то, возродившись к жизни, оно бы неизбежно воспроизвело реальную логику, арифметику и абстрактную онтологию в том же самом виде, ибо эти структуры поддерживаются не в силу традиции, но под давлением функции, т. е. из необходимости действовать. Утверждение «2 + 2 = 4» укоренено в нашем сознании не потому, что оно, подобно некоторому обычаю, передается из поколения в поколение, а потому, что оно необходимо функционально. Оно неизбежно воспроизводится в любую эпоху как элемент априорной формы мышления, продиктованной деятельностью.

Релятивизм в современной философии математики проистекает прежде всего из слабости общей теории познания, которая все еще не может преодолеть установок эмпиризма и психологизма, философ- эмпирицист, видя перед собой вечные истины математики, не пытается объяснить их как факты особой природы, а пытается подчинить их универсальной схеме, нацеленной на объяснение всякого знания на основе опыта. Подобно средневековому схоласту он не объясняет факты, а ведет борьбу с ними. Он пытается доказать, что несмотря на поразительную надежность математические теоремы все-таки не абсолютно надежны и в этом отношении могут быть поставлены рядом с истинами эмпирических наук. Этот устойчивый предрассудок может быть устранен только через восстановление и углубление теории априорного знания.

Наш вывод о завершенности зрелых математических доказательств покоится на двух посылках, обоснованных в рамках праксеологиче- ского априоризма, а именно на тезисе о существовании аподиктических очевидностей, неуязвимых для контрпримеров, и на тезисе о конечном характере доказательства как специфической деятельности в сфере идеальной предметности. Признание этих положений полностью опровергает всякий релятивизм в понимании математического доказательства и математического мышления в целом, ибо отсюда следует, что всякое математическое доказательство в процессе своего совершенствования в течение конечного времени освобождается от всех очевидностей, не имеющих аподиктического характера.

Для построения адекватной философии математики мы должны признать факт особой достоверности математики и оставить пог >ггки отождествления ее с опытными науками. Мы должны признать, что математика покоится на твердом фундаменте аподиктической очевидности, которая является ее генетической основой, ее высшей логикой, основой ее доказательств и, наконец, естественной базой, на которой может быть построено ее обоснование.

JJ

JJ ДІІ ІЛІ Л^ DU"І» JJ -J Л ЇІІМЛ JJ

«Принципы логики являются краеугольными камнями, скрепленными в вечный фундамент, доступный человеческрому разуму; но не смещаемый им»

Г.Фреге. «Основные законы арифметики.»

«Логика - своего рода ультрафизика; описание «логического строения» мира, воспринимаемого путем своеобразного ультраопыта...»

Л. Витгенштейн. «Замечания по основаниям математики.»