2. Скептики и релятивисты

Не менее важно для скептической позиции убеждение, что формализация теории множеств должна быть первопорядковой. Предпочтение языка первого порядка является вопросом огромной сложности, и здесь следует лишь отметить, что для обсуждения проблем аксиоматизации теории множеств он имеет первостепенное значение. Теорема Левенгейма — Сколема, на которой в значительной степени основан скепсис в отношении концепции множества, формулируется для языков первого порядка. Вес скептической позиции придает то обстоятельство, что критика концепции несчетных множеств, или бесконечности, разделяется многими направлениями в философии математики, и подтверждение их правоты со стороны уже не просто философских позиций, а установленной теоремы, требует серьезной защиты приверженцами канто- ровской теории.

Следует заметить, что парадокс Сколема с относительностью понятия несчетного множества не считается сторонниками скепти- ческого подхода парадоксом вообще, и он не бросает, с их точки зрения, тень на первопорядковую аксиоматизацию теории множеств. Скорее, дело обстоит так, что такая аксиоматизация адекватна в качестве оснований математики, а несчетных множеств просто не существует. На этот счет сам Сколем высказался довольно четко: «Поскольку все размышление в аксиоматической теории множеств или в рамках формальных систем делается таким образом, что абсолютные несчетности не существуют, утверждение о существовании несчетных множеств должно рассматриваться просто как каламбур. Следовательно, такая абсолютная несчетность является просто фикцией. Истинное значение теоремы Левенгейма и заключается в критике абсолютной несчетности. Короче, эта критика не сводит высшие бесконечности простой теории множеств до уровня абсурда, она сводит их до уровня не-объектов»130.

Таким образом, происхождение скептицизма относительно понятия несчетного множества может быть представлено в виде следующего аргумента: (1)

теоретико-множественные концепции должны быть представлены в аксиоматической форме в формализме первого порядка; (2)

таким образом представленная теория множеств составляет адекватное основание для математики.

Согласно теореме Левенгейма — Сколема, (3)

теоретико-множественные понятия (и математические понятия, определенные ими) относительны, неабсолютны.

В данном аргументе, несмотря на его четкость, есть все-таки некоторые неясности. Действительно, если налицо парадокс с несчетностью, то не будет ли естественнее предположить, что формализация первого порядка не «схватывает» концепции множества, и стало быть, не является адекватным основанием для математики. Такое заключение представляется в высшей степени естественным, и разделяется многими исследователями. Далее, коль скоро парадокс присущ уже языку первого порядка, это может означать, что теория множеств не представляет адекватного основания для мате- матики, и вообще, сама идея оснований математики может быть неверной затеей. Наконец, неясно, к чему относится заключение (3) — к самому формализму или же к интерпретации формализма.

Рассмотрим сначала проблему оснований математики. Уже в своих ранних работах Сколем, атакуя Цермело, тем не менее признавал идею оснований математики. Правда, у него были своеобразные представления об этих основаниях. Аксиоматическая теория множеств не признавалась им адекватными основаниями математики. А. Джордж отмечает в этой связи следующее обстоятельство131. Согласно Сколему, если некоторая система должна обеспечить адекватное основание для некоторой области, тогда все свойства системы оснований должны быть свойствами области, для которой предлагаются основания. Ментальные объекты математики, составляющие область, для которой предназначены основания, через интуицию обладают непосредственной ясностью. Стало быть, и аксиоматическая теория множеств, претендующая на основания, должна придавать понятиям теории множеств такую же интуитивную ясность. Но этого не происходит из-за релятивизма.

Подобного рода взгляд сходен с интуиционизмом, и многие полагают Сколема действительно интуиционистом, правда, своеобразным. С его точки зрения окончательным критерием значимости доказательства и допустимости объектов является их интуитивная ясность. Апелляция к интуиции вовсе не исключает того, что в принципе мы можем с помощью аксиоматической теории придти к интуитивно оправданной картине математики. Однако Сколем исключил эту возможность, судя по всему, имея в виду парадокс Рассела. Как и большинство математиков того времени, Сколем рассматривал этот парадокс как симптом неясности логических принципов, лежащих в основе нашего логического мышления, и полагал, что математическая интуиция не говорит в пользу множеств. Тем не менее интуиционизм Сколема следует считать весьма своеобразным. Во-первых, по собственному его признанию, свои идеи он развил, не имея представления о работах Брауэра. Во-вторых, будь он полноценным интуиционистом, отказ от признания несчетных множеств был бы просто для него частью его кредо интуициониста, и ему не нужно было бы прибегать к аргументации, связанной с теоремой Левенгейма — Сколема.

При обсуждении теоремы Левенгейма — Сколема и релятивизма Сколема часто упускаются две чрезвычайно важные детали. Во- первых, у Сколема есть два доказательства знаменитой теоремы. В первом (1920 г.) для сведения универсума исходной модели к счетному числу элементов используется аксиома выбора. Во втором (1922 г.) эта аксиома не используется. Так что неправильно говорить о единственной теореме Левенгейма — Сколема. Первый результат с аксиомой выбора сильнее, потому что гарантируемая счетная модель есть ограничение несчетной. Второй результат не дает такой гарантии, и счетная модель строится так, что не имеет отношения к исходной модели. Сколем с неохотой признавал существование этих двух версий, так как он чувствовал, что исследования в основаниях теории множеств лучше всего проводить без аксиомы выбора. По этой причине Сколем ограничил свою отбраковку философских и основательных исследований вторым результатом132.

Во-вторых, релятивизм Сколема явился результатом внезапного философского обращения, отказа от тех взглядов, которые он исповедовал до начала 1940-х годов.

В статье 1922 г.134 Сколем детально возражает всей программе Цермело, и среди аргументов первого важное место занимает понятие области математических объектов. С точки зрения Сколема, если аксиомы справедливы для некоторой области объектов, то для нее должны быть справедливы и теоремы теории множеств. В этом случае понятие множества сводится к понятию области, что произво- дит впечатление порочного круга, поскольку понятие множества и есть в некотором роде понятие области. Если же речь идет о специфицированном универсуме, тогда это понятие вряд ли может претендовать на основания математики, будучи просто одной из ее специальных совокупностей.

Беспокойство Сколема вызывает и знаменитая аксиома «свертывания» (в русской терминологии, comprehension — в английской терминологии, или Aussonderungs — в исходной немецкой). Предложение Сколема заменить эту действительно беспокоящую аксиому с ее центральным понятием «определенного свойства», которое приводит к парадоксам, синтаксической концепцией открытого предложения с единственной свободной переменной впоследствии нашло важное применение в математической логике. В частности, такой прием позволяет Сколему предположить, что аксиомы Цермело составляют счетное множество предложений первого порядка, и в силу этого аксиоматика Цермело должна иметь модель в целых числах, если она вообще имеет модель. Фактически это и есть несколько упрощенное доказательство теоремы Левенгейма — Сколема. Имея в виду две версии доказательства теоремы, можно оценить важность уточнения Сколемом понятия «определенного свойства» Цермело.

При этом вину за возникающие трудности Сколем возлагает не на понятие множества, а на понятие конкретной аксиоматизации, и больше того, возникающие при этом трудности с понятием множества считаются им результатом относительности концепции множества в отношении различных аксиоматических систем. Причем такая относительность заходит настолько далеко, что речь идет уже о просто вербальном определении соответствующих математических объектов: «С подходящим аксиоматическим базисом, следовательно, теоремы теории множеств могут быть сделаны справедливыми в простом вербальном смысле, естественно, при предположении, что аксиоматизация непротиворечива; но это покоится на том факте, что использование слова "множество" отрегулировано подходящим образом. Мы всегда можем определить совокупности, которые не называются множествами; если же мы назовем их множествами, теоремы теории множеств перестанут быть справедливыми»135.

Итак, атака Сколема на аксиоматику теории множеств Цермело основывается на двух «китах»: недоверии аксиоматизации теории множеств и его концепции относительности понятия множества

в отношении аксиоматической системы. Часто при изложении философии Сколема (если таковая была вообще) заведомо спутываются две эти точки зрения, и результат путаницы представляется как знаменитый релятивизм Сколема (та самая философия, которая все- таки имеется у него). Между тем именно аксиоматика ответственна за этот самый релятивизм, что видно из известного пассажа Сколема: «Благодаря аксиомам, мы можем доказать существование более высоких кардинальностей, более высоких числовых классов, и так далее. Как же может тогда случиться, что вся область В может быть уже перенумерована посредством положительных чисел? Объяснение нетрудно найти. В аксиоматизации "множество" не означает произвольно определенной совокупности; множества являются не чем иным, как объектами, связанными друг с другом через определенные отношения, выраженные аксиомами. Отсюда нет никакого противоречия в том, если множество М области В несчетно в смысле аксиоматизации; потому что это означает просто, что в рамках В нет одно-однозначного соответствия Ф множества М в ZQ (числовая последовательность Цермело). Тем не менее, существует возможность нумерации всех объектов в В, и следовательно, также элементов М, посредством позитивных чисел; конечно такая нумерация есть также совокупность определенных частей, но эта совокупность не есть "множество", то есть, не входит в область 5)»136.

Философская нечеткость взглядов Сколема проявилась весьма своеобразным образом. В период между появлением статьи 1922 г., в которой он обрушился на аксиоматику Цермело, и статьей 1941 г.'6, где он выразил свое новое понимание оснований математики, Сколем полностью доверился формализмам (заметим, только формализмам первого порядка) и аксиоматике. При этом следует отметить, что релятивизм остался при нем. Но именно релятивизм представляет собой наибольшую трудность для философии математики, и даже приобрел специальный термин «сколемизма», что равносильно скептической позиции в отношении понятия множества.

Во-первых, есть проблема правомерности утверждений сторон- - ников канторовской теории множеств о существовании множеств с большой кардинальностью — в какой степени эти онтологические допущения могут быть оправданы эпистемологически? Во-вторых, есть проблема чисто техническая — является ли парадокс Сколема подлинным парадоксом, для которого нельзя найти техничес- кого решения? Наконец, в какой степени технические решения парадокса Сколема, если таковые есть, задевают по-настоящему философские основания математики. В отношении последнего вопроса есть свои крайности. Так, X. Патнэм полагает, что парадокс Сколема является разновидностью более фундаментального затруднения, которое он называет «сколемизацией всего», и что относится к эпистемологии, а не к математике собственно. В любом случае, анализ структуры парадокса Сколема является настоятельно важным. В этом отношении важнейшую роль играет работа П. Бенацеррафа Сколем и скептик11.