1. Ограниченность евклидовой геометрии

Мы видели, что из двух принципов Эйнштейна (постоянства скорости света и относительности) мы можем вывести заключения, касающиеся явлений, происходящих в твердом теле, движущемся с большой скоростью.

Вскоре после того, как Эйнштейн выдвинул свою теорию, было показано, что эти результаты не согласуются со свойствами твердого тела, которые до этого считались сами собой разумеющимися. Это можно показать, рассмотрев твердый круглый диск, который вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг оси, перпендикулярной к нему и проходящей через его центр. Если радиус диска есть г, то каждая точка периметра будет двигаться со скоростью v = го>. Рассмотрим теперь часть диска, заключенную между краем диска и кругом радиуса ґ, который немного меньше, чем г. Эта часть имеет форму кругового кольца. Теперь рассмотрим сегмент этого кольца, на- столько короткий, что он может считаться приблизительно прямолинейным. Движение этого сегмента во время вращения, в течение малого промежутка времени, будет близко к прямолинейному движению стержня. Согласно § 6 и 7 гл. 5, этот стержень сокращается в отношении УI — v2jc2 1, где v = (ог. Следовательно, весь периметр круга сокращается в этом отношении.

Теперь рассмотрим ту часть диска, которая состоит из узкой полосы по -обе стороны некоторого радиуса диска (спица колеса). Во время вращения диска эта полоса ведет себя как стержень, который движется в направлении, перпендикулярном к его длине; следовательно, вращение не сказывается на изменении длины. Таким образом, мы видим, что периметр Р круга радиуса г укорачивается при движении, тогда как радиус не меняется. Чем больше г, тем меньше становится отношение Р/r. Для очень маленьких радиусов v — гю мало по сравнению с с и сокращением можно пренебречь. Это значит, что для малых г отношение Pjr имеет значение 2тс (где тс = 3,14159). В евклидовой геометрии Р/r имеет это значение для всех возможных значений г. Поэтому вращающийся диск, сделанный из материала, который мы определяем в традиционной геометрии как «твердый», не подчиняется законам геометрии Евклида, если мы определяем длину, как она определяется в геометрии Евклида, при помощи последовательного откладывания твердых измерительных стержней.

Этот пример был выдвинут очень скоро после того, как Эйнштейн предложил в 1905 году свою теорию относительности. Из него был сделан вывод, что теория относительности абсурдна, поскольку она несовместима с геометрией на плоскости, но Эйнштейн возразил против этого утверждения, поскольку следует считать, что для вращающегося твердого тела евклидова геометрия несправедлива. Иными словами, не существует «твердых тел», которые вращались бы относительно инерциальной системы, если мы определим твердое тело как тело, подчиняющееся евклидовой

геометрии. При рассмотрении понятия «твердого тела» мы имеем ту же ситуацию, что и при рассмотрении понятия «масса».

Если мы допустим теперь справедливость теории относительности, то твердое тело в старом смысле слова существует только при весьма конкретных обстоятельствах; именно: тело может быть твердым, если оно покоится относительно основной системы отсчета. Теперь, однако, мы можем дать новое определение твердого тела, которое совпадало бы со старым определением в том случае, если тело находится в покое, и по которому для вращающегося тела аксиомы геометрии Евклида заменяются аксиомами неевклидовой геометрии. Отклонение от евклидовой гео- метрии было бы разным для разных частей вращающегося тела. Около оси вращения отклонение было бы небольшим, тогда как далеко от оси отклонение могло бы быть значительным. Опять мы имеем ту же ситуацию, как и в случае с длиной и массой. Аксиомы геометрии Евклида и законы движения теории относительности несовместимы друг с другом. Мы поэтому стоим перед выбором: или сохранить старое определение твердых тел, которое в таком случае не может относиться к вращающимся телам; или же отправляться от повёдения вращающихся тел, в этом случае мы должны ввести новые правила поведения твердых тел, то есть неевклидову геометрию.

И снова мы можем поставить вопрос: какое определение есть определение тела, являющегося «действительно твердым»? Мы могли бы сказать: тело является «твердым», если оно имеет все свойства, которые традиционное определение приписывало «твердому телу». Но тогда мы должны были бы сказать, что тело «не является твердым», когда оно находится в движении. Мы могли бы также назвать тело «твердым», если бы оно, находясь в покое, удовлетворяло аксиомам евклидовой геометрии, а вращаясь, удовлетворяло бы теоремам неевклидовой геометрии, которых требует теория относительности, В этом случае такое тело было бы «твердым» при всех обстоятельствах.