Черняк B.C. ОППОЗИЦИЯ АРИФМЕТИКИ И ГЕОМЕТРИИ В АНТИЧНОЙ ФИЛОСОФИИ И МАТЕМАТИКЕ

Преодоление пропасти между дискретным и непрерывным или между арифметикой и геометрией является, как известно, главной и в то же время древнейшей проблемой оснований математики. Эта проблема во всей своей сложности и противоречивости встала -перед античной математикой в связи с открытием несоизмеримых величин, положившим начало первому в истории математики кризису се оснований. Анализ исторических условий возникновения, развития и разрешения этого кризиса покажет нам своеобразную диалектику взаимоотношений арифметики и геометрии, связанную с оборачиванием их ролей в процессе закладки фундамента античной математики. В частности, нам представляется существенным показать, посредством какого механизма из донаучных форм знания (сакрального, мифологического, практического и т.п.) конституировался собственный механизм становления и приращения математики, как совершалось превращение ее в самостоятельную научную дисциплину.

Данная проблема имеет также и общефилософское значение, связанное с ролыо внешних условий в процессе формирования самоорганизующихся систем. Любая система может рассматриваться в качестве относительно самостоятельного образования, если она обладает внутренними законами своего развития. Имманентным законом развития любой органической системы является постоянное воспроизводство необходимых предпосылок ее движения посредством механизма оборачивания ролей, когда условие процесса превращается в обусловленное, причина - в следствие и наоборот. "Одновременно с этим происходит и то своеобразное "замыкание на себя", которое превращает совокупность единичных явлений в относительно замкнутую систему, в кон кретный развивающийся по своим собственным законам единый организм”і.

В античной математике такого рода превращение разрозненного и несамостоятельного знания в единую дедуктивно организованную систему происходило на фоне оборачивания метода - диалектического оборачивания ролей арифметики и геометрии, когда первая из предпосылки превратилась в следствие, а вторая, наоборот, из следствия становится предпосылкой последующего развития математики. В более общем смысле проблема соотношения арифметики и геометрии выражается категориями дискретного и непрерывного. Пропасть между дискретным и непрерывным всегда была камнем преткновения, "играющим в то же время чрезвычайно важную роль в математике, философии и даже физике"?. 1.

Примат числа перед фшурой

Начать, по-видимому, надо с вавилонской и египетской математики,. которым суждено было сыграть важнейшую роль в истории математического знания. Характеристической особенностью згой математики является практическая или экспериментальная ее направленность. Об этом свидетельствуют многочисленные математические тексты, среди которых наиболее известным является папирус Ринда (1800 г. до н.э.). В нем можно встретить наряду с задачами на вычисление зарплаты, количества зерна для изготовления пива и т.п. также задачи на вычисление поверхностей и объемов. Исследование огромного количества древних математических текстов позволяет уверенно судить, что большинство задач (в том числе и геометрических) было поставлено практикой. Так, значительная часть геометрических задач посвящена вычислению площадей земельных участков, наклона стен, объема строения и т.п.

Практическая ориентация геометрических задач обусловила главное направление в развитии метода этой науки, существо которого состояло в нахождении численного решения, удовлетворяющего условиям геометрической конструкции11. При этом замечательным является тот факт, что в папирусах нет и следа геометрических построений с доказательствами. Вместо этого мы находим одни лишь вычислительные рецепты без всякого обоснования. Исходя из этого поразительного факта, известные историки математики О.Нсйгебауэр и Ван дер Варден делают вывод о том, что на этом уровне математическая ценность задачи состоит в ее арифметическом решении. Что же касается собственно геометрии, то она является одним из многочисленных объектов, где применяются арифметические методы. Не являясь специальной математической дисциплиной, она выступает наряду с другими формами численных отношений. Иными словами, геометрия является частью прикладной арифметики. Подобное взаимное проникновение геометрии и арифметики основано на том, что геометрическая величина находит свой точный эквивалент в арифметике и алгебре.

Отсюда проистекает и небрежность геометрических построений (в тех случаях, когда последние все же имеют место), которую отмечает Нейгебауэр. На некоторых табличках имеются рисунки трапеций или треугольников, но "без всякой попытки правильно выдержать размеры". Там, где приходится сомневаться в особенностях чертежа (являются ли, например, трапеции прямоугольными), истинное положение удается восстановить, исходя из численного (алгебраического, в частности) решения: отношения чисел воспроизводят действительные геометрические соотношения. Господствующее положение арифметики сохраняется и в ранней пифагорейской математике, где она вместе с геометрией составляет нерасчлененное целое..

Поскольку у пифагорейцев не было еще абстрактного понятия числа, постольку всякое число они представляют в виде чув- ственно-воспринимаемой геометрической фигуры. «Прежде чем сказать, что вещи есть числа, пифагорейцы начали с понимания чисел как вещей. Выражения "квадратные числа" или "числа треугольные" не являются метафорами. Эти числа предстают перед глазами и перед мысленным взором квадратными и треугольными». Причем эти "фигурные числа" не были продуктом чисто геометрической абстракции, а скорее схематизацией различного рода материальных предметов. На это обстоятельство обращает внимание П.Таннери, комментируя смысл пифагорейской формулы "вещи суть числа", Пифагорейцы, считает он, "рассматривали универсум состоящим, с одной стороны, из непрерывного и бесконечного флюида, а с другой - из материальных точек, которые служили субстанцией тел. Точка была для них "единицей, обладающей положением", и тела были таким образом числами, т.е. собранием конечного числа точек. К тому же они не отличали материальную точку от геометрической, та и другая были признаны неделимыми и в то же время бесконечная делимость величин была принята безоговорочно’'12. Линин, подобно числу, является множеством (совокупностью) точек, из которых она состоит как целое из частей. Точки являются, подобно единице в арифметике, мерой линии. Фигуры, построенные и:* этих линий, должны обладать дискретной (атомарной) природой, а совокупность точек, составляющих линию, должна быть конечной Это папіло отражение и в пифагорейской нумерологии, в соответствии с которой пифагорейцы изображали числа и виде точек, группирующихся в геометрические фигуры. В основе здесь лежит, таким образом, понятие числа, которое лишь изображается фиіурой: геометрия подчинена арифметике.

Фигурные числа пифагорейцев фактически были наглядным изображением арифметического способа их порождения. Так, числа-произведения, представляющие собою простые числа (не разложимые на множители), изображались точками вдоль прямой; "плоскостные числа”, разлагающиеся на два множителя, изображались точками, группирующимися в прямоугольники и квадраты; "телесные числа”, разлагающиеся на три множителя, изображались в виде точечных кубов и параллелепипедов. Что же касается чисел-сумм, то среди них выделялись "многоугольные числа" - треугольные, квадратные, пятиугольные и т.д. в зависимости от того, какой тип арифметической прогрессии они представляют - прогрессии с разностью 1, 2, 3 и т.д.

Следует отметить, что арифметика и геометрия не были у пифагорейцев сугубо специальной областью, имеющей автономное значение. Необходимо постоянно иметь к виду, что "ранняя греческая наука о природе", была единой, нерасчлепепной, отмеченной печатью первоначального синкретизма. Число составляло ие только сущность и порождающий принцип предметов внешнего мира, к нему были сведены также и явления духовной жизни человека. Так, любовь и дружба как проявления душевной гармонии отождествлялись с октавой или восьмсрицей, здоровье -

с седьмспицей, справедливость - с квадратными числами.

В свете этих представлений шгг особых оснований полностью выносить пифагорейское чисю за рамки мифологического способа мышления и трактовать его как сугубо философскую категорию. Этому не противоречит тот факт, что к данному периоду времени .возникают и научно-философские структуры мышления, открывающие путь специально-математическим и логическим достижениям пифагорейцев.

Подлинный смысл категории числа можно понять лишь в контексте связи ее с другими пифагорейскими категориями, образующими в совокупности определенную и в значительной степени еще мифологическую структуру мышления. Известно, что пифагорейцы различали десять пар фундаментальных проти во- 30

положностей: предел - беспредельное; нечет - чет; единое - многое; правое - левое; мужское - женское; покоящееся - движущееся; прямое - кривое; свет - тьма; хорошее - дурное; четырехугольное -

разностороннее. Творческая роль этих противоположностей в системе пифагорейского мышления состоит п их гармоническом слиянии в среднем, являющемся основой их единства. Одним из проявлений этого единства является музыкальная гармония, о которой пифагорейцы писали, что она ”... вообще возникает из противоположностей. Ибо "гармония есть соединение разнообразной смеси и согласие разногласчого"*. *

По существу, подобные фундаментальные противоположности вообще характерны для структуры мифологического мышления, которое стремится их преодолеть путем своеобразного слияния в "среднем". Так, согласно Леви-Строссу, структура мифа развивается из осознания некоторых фундаментальных противоречий, которые мышление стремится разрешить путем медиации, т.е. прогрессивного посредничества. Предположим, пишет Леви-Стросс, что два противоположных члена, между которыми не существует никакого перехода, вначале заменяются двумя эквивалентными членами, но которые опосредованы «уже каким-то промежуточным (средним) членом. Далее эта триада заменяется следующей триадой, где противоположность между крайними членами является менее выраженной и тд. В результате противоположности оказываются как бы "смазанными" и в конечном Счете подобными друг другу.

Любопытно отметить, что логика развертывания мифа основана на категории сходства или подобия, которая имеет как бы два вектора.'-Один направлен на уподобление крайних членов триады, когда исходная оппозиция заменяется "эквивалентными” влёнами, а второй - на уподобление самих этих крайних членов Путем введения медиаторов, опосредствующих данную противоположность. •

Так, первоначальная пара жизни и смерти в некоторых мифах заменяется эквивалентной парой земледелия и войны, которые в свою очередь уподобляются друг другу через введение медиатора (в данном случае таким посредником выступает охота).

Как отмечалось, у пифагорейцев конфликт противоположностей разрешался через их слияние в "среднем". Категория "среднего" в их мышлении соответствует тому, что в мифе играет роль медиатора, преодолевающего противоположности. В качестве такого всеобщего медиатора, благодаря которому можно было бы уподобить самые различные качества и самые противо- положпые вещи, выступает число, являющееся принципом гармонии.

Согласно Филолаю, "предел и беспредельное вместе создают число”, так как предел есть принцип ограничения, расчленения и различения беспредельного. иНо так как в основе сущего лежали эти два начала, которые не подобны и не родственны между собой, то, очевидно, невозможно было бы образование ими космоса, если бы к ним не присоединилась гармония, каким бы образом она ни возникла. В самом деле, подобное и родственное вовсе не нуждалось бы в гармонии, неподобное же, неродственное и различное но количеству должно быть соединено такой гармонией, которая была бы в состоянии удержать их вместе в космосе"6. В этом, собственно, и состоит сокровенный смысл пифагорейского изречения "числу же все подобно".

Однако было бы ошибочным не видеть важного отличия пифагорейской системы противоположностей с их слиянием в "среднем” от обычных мифологических структур. Это отличие состоит в том, что у пифагорейцев медиации противоположностей совершается не через ряд специфических посреднико»', который прогрессивно ведет к "смазыванию" противоположностей, а через всеобщий, универсальный медиатор, который но существу уже "взрывает" изнутри логическую структуру мифа и означает переход к системе рацмогального мышления.

При этом важно отметить, что ведущей тенденцией рационализации мифологического мышлении является минимизация се символических репрезентои. "Чтобы материя, которую Леви-Стросс считает не объектом, а материалом мифической мысли, сыграла свою роль, се надо обеднить, оставив небольшое количество элементов, способных выразить контрасты и создать пары оппозиций. Эти бинарные оппозиции располагаются на разных уровнях. Множество уровчей - цена мифической мысли за переход от непрерывного к дискретному"*. К этому ведет и сама логика развития мифического мышления. Среди огромного перечня бинарных оппозиций, которыми оно оперирует, встречаются практически все оппозиции, присущие древнегреческому рациональному мышлению, включая и большую часть из десятки пифагорейских противоположностей. По существу, речь идет . о выборке символических репрезентантов, т.е. специфических "кодов", свойственных тому или иному типу мышления. Так, количество и характер

6Цит. по: Лосев А.Ф. История античной эстетики (ранняя классика). М., 1963. С.268.

1Мслетинский ЕМ. Приложение к кн.: Леви-Стросс К. Структурная антропология. М.,1983. С.505. - пифагорейских противоположностей определяется декадой. "Действие и сущность числа должно созерцать по силе, заключающейся в декаде, - учил Филолай. - Ибо она велика и совершенна, все исполняет и есть начало и первооснова божественной, небесной и человеческой жизни"».

Почему декада стала священным числом, а не, скажем, семс- рица, которая у многих народов являлась основой счисления? Разница в том, что семеричность идет от количественного числа - ранней ступени счисления, декада же - от порядкового, где важен сам принцип счисления, путем порождения (аддитивного) десятичной (позиционной) системы счета. Отсюда важность декады как порождающего начала и четверицы, т.е. первых чисел: .1, 2, 3, 4 (сумма их равняется 10), которых достаточно для порождения других чисел натурального ряда.

Хотя с абстрактной точки зрения достаточно одной единицы для аддитивного порождения всего натурального ряда чисел, для пифагорейцев все же важно было геометрическое истолкование чисел соответственно четверице - точке, линии, плоскости, телу (дабы с их помощью можно было конструировать любую вещь). Характерно также и то, что развитие мифической логики проходит ряд этапов, начиная с бинарных оппозиций чувственных качеств, познаваемых пятью органами чувств, через оппозиции, выражающие логику пространственных форм, - к логике отношений. Последняя и получает свое отчетливое выражение в учениях пифагорейцев о пропорциях. 2.

Кризис оснований греческой математики

В силу синкретического характера раннегреческого мировоззрения противоречие, обнаруженное в какой-либо из его частей, немедленно отзывалось резонансом на всей совокупности его представлений о мироздании в целом. Нетрудно поэтому понять то потрясение, которое испытали пифагорейцы, когда открыли несоизмеримость сто! эш>1 квадрата (равной единице) с его диагональю. Для них этот факт имел не только математическое, но прежде всего космологическое значение, ибо под сомнение бг.:л поставлен их основополагающий тезис о том, что вещи суть числа. В самой гармонической из фигур - квадрате - им пришлось встретиться с геометрическим объектом, который нельзя было представить как сумму точек. В данном случае число утрачивало свой статус всеобщего медиатора.

8Цит. по: Лосев АФ. Указ. соч. С.268-269 Открытие несоизмеримых величин положило начало первому в истории математики кризису ее оснований. Если раньше считали, что всякое отношение геометрических величин можно выразить целым или дробным числом, то существование уравнений, аналогичных х2 = 2, привело к убеждению, что не существует взаимно однозначного соответствия между геометрическими величинами и рациональными числами. Тем самым под удар ставилась пифагорейская концепция, согласно которой всякая величина может быть измерена, т.е. выражена с помощью числа.

Чтобы сохранить формулу "вещи суть числа”, пифагорейцам необходимо было так изменить теоретическую схему арифметики, чтобы факт несоизмеримости мог найти в се рамках вполне приемлемое объяснение. Несоизмеримхкть величин обнаруживалась, когда никакое конечное число шагов по определению общей меры не приводило к успеху. “Отсюда недалеко от предположения, - пишет Г.Цейтен, - что наибольшая общая мера в этом случае бесконечно мала и что она содержится бесконечное множество раз в сравниваемых между собою величинах. В этом случае вещи определялись с помощью бесконечных чисел или бесконечных приближений, даваемых отношениями между все возрастающими числами"^. В пользу такого предположения говорят известные парадоксы Зенона, цель которых состоит в том, чтобы показать те противоречия, к которым приходні при попытке получить непрерывные величины из бесконечно малых частей. В первой своей "апории меры" Зенон доказывает абсурдность положения, согласно которому величины состоят из бесконечного множества непротяженных точек, так как в этом случае Иих сумма неизбежно должна быть так мала ... чтобы совершенно отсутствовала всякая величина-. Вторая "апория меры" основана на предположении, что величины состоят из бесконечного числа протяженных точек, имеющих сколь угодно малую величину. В этом случае сумма этих точек должна быть бесконечно большой.

Легко видеть, что существование первой апории обязано допущению неделимых (бесконечно малых) точек, а существование второй апории - постулированию актуальной бесконечности.

Зеноновские апории меры имели своей целью доказать, что непрерывное (т.е. делимое до бесконечности) нельзя понимать как сумму неделимых элементов, что нелепо представлять линию как сумму точек, поверхность - как сумму линий, а тело - как сумму поверхностей. В целом полемика Зенона была направлена против пифагорейского учения о том, что геометрические величины представляют собой суммы дискретных точек и что свойства их неразрывно связаны со свойствами чисел, выражающих эти суммы.

Из других апорий следует упомянуть "дихотомию", направленную на доказательство невозможности движения. Движущееся тело, прежде чем пройти весь пугь, должно пройти его половину, но еще прежде этого половину половины и т.д. до бесконечности. Аристотель в своей "Физике” пытается разрешить этот парадокс следующим образом. Во-первых, не следует смешивать бесконечно делимое с бесконечно большим и, во-вторых, предполагая бесконечную делимость пространства, следует признать бесконечную делимость времени. Тогда бесконечная делимость пространства покрывается бесконечной же делимостью времени. Ошибка Зенона, по мнению Аристотеля, состоит в предположении невозможности щюйти бесконечное пространство в конечный промежуток времени. Многим это возражение Аристотеля казалось вполне основательным. Однако сам Аристотель признает такое решение недостаточным "для сути дела и для истины". Ведь можно задать вопрос иначе: вместе с движением приходится отсчитывать полонину всякой новой возникающей половины, так что пройдя все расстояние, можно сосчитать бесконечность, а это невозможно. Немецкий математик Г.Вейль представил это рассуждение Аристотеля в несколько модернизированной форме. Lain отрезок единичной длины действительно состоит из бесконечной суммы отрезков длиной в 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, то угверждение, что тело может в конце концов пробежать их все, противоречит сущности бесконечного как "незавершенного". И если допустить подобную возможность, то это было бы равносильно ситуации, при которой какая-нибудь электронная машина могла совершить бесконечное множество операций пересчета, произведя первую операцию в течение - 1/2 минугы, вторую через -1/4 минуты, третью через - 1/8 минуты и TJJ. Тогда можно было бы в течение 1 минугы пересчитать весь натуральный ряд и тем самым доказать все относящиеся к нему теоремы существования, включая знаменитые теоремы Ферма, Гольдбаха и т.п., что, конечно, совершенно немыслимо.

Поэтому сущность данной апории состоит в утверждении противоречивости понятия завершенной или актуальной бесконечности. И Аристотель совершенно правильно оценивает действительную проблему, поставленную Зеноном, даже указывает, как преодолеть се по существу. .

На вопрос, можно ли пройти бесконечное множество частей во времени или по длине, он отвечает: "Если они будут актуально -

нельзя, если в потенции - возможно"^.

В апории "Стрела" объектом зеноиовской критики является понятие неделимых (атомарных) объектов.

В самом деле, если пространство состоит из неделимых точек, то ь каждой из них стрела должна покоиться, поскольку неделимое, но определению, не может состоять из частей, относительно которых было бы возможно движение. К неделимому неприменимы предикаты: "внутри", "вне", "левее", "правее" и тд. Значит, в каждой пространственно неделимой точке стрела покоится, а так как пространство складывается из суммы точек, то движение состоит исключительно из суммы состояний покоя.

С.ЯЛурье склонен рассматривать это учение как гениальное решение вопроса, одним ударом парализовавшее парадоксы Зенона. Такое мнение нам представляется сильным преувеличением. Демокрит преодолел антиномии тем, что отбросил идею актуальной бесконечности и перешел на конечную точку зрения, постулировав при этом протяженность атомов (неделимых). В этом случае при делении тела получается не бесконечное множество неделимых, а некоторое конечное (пусть даже чрезвычайно большое) число атомов. Тем самым тело не может быть ни бесконечно большим, ни бесконечно малым. В целом это учение воскрешало теоретическую схему пифагорейской арифметики, изложенную в седьмой книге Евклида. Единственным новшеством было постулирование протяженности атомов. На сходство учении Демокрита с пифагорейской теорией чисел указывает Аристотель. "В известном смысле и они (т.е. Левкипп и Демокрит 36 - В.Ч.) во всем видят числа или продукт чисел. Если они этого не говорят прямо, то во всяком случае они эго имеют в виду’п. Хотя демокритовское решение внешне и противостояло зенонов- ским апориям меры, оно но существу было не математическим, так как в жертву приносилось наиболее ценное качество математики - ее абсолютная точность.

Атомисты полагали, что в таком случае все геометрические теоремы дают, в сущности, не точный результат, а приближенный, с погрешностью в одно неделимое.

’Такая "математика конечного", хотя и не содержала в себе логических противоречий, но была совершенно непригодна для исследования непрерывных процессов. В ней не существовало ни кривых линий, ни вообще правильных кривых"13.

Реакция античных ученых была недвусмысленной. В сочинении ”0 небе" Аристотель писал: ’’Ведь даже малое отступление от истины в дальнейшем увеличивается в миллион раз, как, например, если кто-нибудь стал бы утверждать, что существует наименьшая величина. Такой человек, введя наименьшую величину, пошатнул бы величайшие (основы) математики”^.

Таким образом, представляется несомненным, что геометрическая и метафизическая концепция Демокрита была своего рода вариантом (и применительно к чистой математике не лучшим вариантом) пифагорейской числовой схемы, которую Демокрит пытался спасти от гибельной критики элеатов путем отказа от присущей математическому познанию точности и строгости. (Впрочем, некоторые идеи Демокрита оказались весьма плодотворными для развития метода исчерпывания. Но рассмотрение этих вопросов выходит за рамки настоящей статьи).

Однако такой путь не был принят большинством математиков и философов, обвинявших Демокрита в подрыве основ математического познания. К этому моменту созрела, наконец, Мысль, что частичная ревизия пифагорейской числовой системы, сохраняющая многие ее принципиальные положения нетронутыми, например, положение о неделимых как кирпичиках, из которых складывается геометрическое здание, а также дискретном характере группировки этих неделимых, является явно недостаточной для непротиворечивого обоснования геометрии. Стало ясно, что успешное претворение этой цели возможно лишь ценой полного отказа от теоретической схемы арифметики ввиду косиной противоположности ндискретиой, качественной, индивидуальной природы числа" и "непрерывной, количественной, однородной природы пространства".

Идеи непрерывности, которая стала затем общепринятой в греческой математике впервые была ясно сформулирована Анаксагором, который учил, что в "малом не существует наименьшего, но всегда имеется еще меньшее. Ибо то, что существует, не может исчезнуть, как бы далеко ни было продолжено деление". Согласно Анаксагору, процесс бесконечного деления отрезка не может быть завершенным. В результате такого деления всегда будут получаться новые отрезки и никогда - дискретные точки- атомы. Прямым следствием этого явилось убеждение о том, что геометрию следует развивать независимо от арифметики. 3.

Оборачивание метода: примат фшурм над числом

Изложение новой концепции пространства и обоснование коренной противоположности арифметики и геометрии можно найти у Стагирита, который своими трудами в области логики и методологии дедуктивных наук в значительной мере способствовал выходу из кризиса, захватившего основания греческой математики. Мы подчеркиваем, что Аристотелю принадлежит большей частью изложение тех новых геометрических принципов, которыми руководствовались греческие математики до него. В первую очередь это касается понятий бесконечности и непрерывности. Перечисляя различные основания, из которых возникает понятие бесконечности, главное среди них он видит в природе самого мышления, втом, что мышление всегда переступает свои границы: к числу всегда можно мысленно прибавить единицу, деление отрезка мысленно можно продолжать до бесконечности и тд. Но именно поэтому доверять мышлению "в вопросе о бесконечности странно". При этом нужно руководствоваться "не тем, что кто-то так мыслит, а тем, что есть", т.е. исходить из объективной реальности.

Аристотель отчетливо сознает важность этого понятия не только для математиков, но и для физиков, и считает необходимым четкое отграничение двух понятий бесконечности: актуальной и потенциальной. Последнее существует там, где "беря известное количество, всегда можно взять что-нибудь за ним". Единственно полезной для науки Аристотель считает абстракцию потенциальной бесконечности, поскольку понятие актуальной бесконечности не может противостоять разрушительной силе зе- ноновских парадоксов.

Используя понятие потенциальной бесконечности, Аристотель пытается обосновать (не очень последовательно, правда) противоположность арифметики и геометрии. Например, если производить деление геометрической величины, то можно превзойти всякую определенную величину. Поэтому в геометрии не существует наименьшей величины. В арифметике, напротив, имеется предел в направлении к наименьшему - единица. Объясняется это тем, что единица неделима, в то время как пространственные величины потенциально делимы до бесконечности.

Противоположность арифметики и геометрии рельефно выступает у Аристотеля при анализе понятия непрерывности. Непрерывность является таким же специфическим свойством геометрических величин, каковым является дискретность для числовых единиц. Все непрерывное делимо до бесконечности. "В непрерывном заключается бесконечное число половин, только не актуально, но потенциально"*4. Поэтому линия не может состоять из точек как из своих частей, поскольку каждая часть линии делима в силу своей непрерывности. Заметим, что Аристотель не отказывается от понятия неделимого в геометрии, но лишает его традиционного значения. Если в арифметике неделимое (единица) является частью целого (по определению часть измеряет целое), то в геометрии дело обстоит иначе: геометрическая величина не складывается из суммы точек, как число из суммы единиц, но представляет собою сумму всегда делимых отрезков. Это обстоятельство позволяет считать, что Аристотель как-то отличал теоретико-множественные свойства величины от метрических свойств (линия есть геометрическое место точек, но не их сумма), - отмечает СА.Яновская. Тем самым удалось избежать зеноповских апорий меры, в которых точечные множества рассматривались исключительно с метрической точки зрения. В "Метафизике" имеется соответствующее различение понятий "множество” и "величина". Множество при этом характеризуется свойством его счстности, а величина - свойством измеримости. Несомненно, что Аристотель и вслед за ним Евклид отчетливо различают "отношение принадлежности элемента множеству от отношения части к целому"!*.

С учетом вышесказанного, кризис оснований греческой математики был порожден несостоятельными попытками перенести структуру пифагорейской арифметики на геометрию. Дискретный характер числового ряда, первоначально служивший моделью атомистической геометрии оказался неспособным отобразить природу пространственного континуума. Подобные попытки перебросить мост через образовавшуюся пропасть были обречены на неудачу. Лишь ясное сознание протиіюиоложиости геометрии и арифметики могло обеспечить первой удовлетворительное теоретическое обоснование. Вместе с тем это явилось необходимым условием преодоления раскола между этими двумя важнейшими областями математики.

"Преодоление пропасти между областью дискретного и областью непрерывного или между арифметикой и геометрией есть одна из главных - пожалуй, даже самая главная - проблема оснований математики, - пишут Френкель и Бар-Хиллел... - Чтобы уяснить сущность обсуждаемой проблемы, надо как следует осознать коренное различие между дискретной, качественной, индивидуальной природой числа в ’'комбинаторном” мире счета (арифметики) и непрерывной, количественной, однородной природой пространства в "аналитическом” мире измерения (геометрия). Каждое целое число отличается от любого другого целого числа характерными индивидуальными свойствами - подобно тому, как различаются между собой люди, - в то же время как континуум представляется аморфным скоплением точек, совершенно равноправных друг другу во всех отношениях. (И не удивительно, что аксиоматический метод был вначале применен к описанию пространства, а не числа, поскольку характер последнего скорее предполагает некоторую конструкцию14.

Наряду с четким отграничением геометрии и арифметики все явственнее обнаруживается противоположная тенденция, имеющая целью преодолеть пропасть, разделяющую эти науки. Начиная с открытия несоизмеримых величин, геометрия постепенно занимает господствующее положение в математике. Арифметика и алгебра стали строиться геометрически - числа представляются отрезками и площадями, операции сложения, умножения, деления, извлечения корня и тл. производятся геометрическими средствами.

К концу V в. у математиков сложилось твердое убеждение, что геометрические величины обладают более общей природой, чем рациональные числа^7.

Это обстоятельство нашло свое конкретное выражение в евклидовых "Началах", где арифметические действия над числами сводятся к действиям над геометрическими отрезками, составленными из одного определенного отрезка, принятого за числовую единицу.

Соединение арифметики и геометрии имеет место у Евклида в предложениях общего характера, называемых аксиомами.

Естестпснно возникает вопрос: как возможно объединить в предложениях общего характера (аксиомах) геометрию и арифметику? Вообще: как возможно геометрическое представление чисел, если арифметика и геометрия столь чужды друг друїу? Если такая возможность может быть доказана, то решается в известном смысле древнейшая и в то же время главная проблема оснований математики - преодоление пропасти между дискретным и непрерывным или между арифметикой и геометрией. Тем самым будет сделан значительный шаг на иуги преодоления кризиса оснований.

Решение проблемы состоит в правильном уяснении смысла и значения геометрического представления чисел. Исследование арифметических книг Евклида показывает, что геометрические фигуры выполняют двойственную роль, являясь, с одной стороны, геометрической конструкцией, а с другой - символическим представлением арифметических чисел. В основе второй из указанных функций лежит выбор произвольного отрезка, символизирующего числовую единицу, вследствие чего совокупность этих отрезков-единиц становится символическим представлением определенного числа. Символическая функция геометрических фигур обладает одним важным преимуществом: поскольку любой отрезок потенциально делим до бесконечности, он может представлять собою все возможные числовые значения. Другими словами, геометрический отрезок играет роль переменной величины, пробегающей потенциально бесконечный ряд чисел. Разделив отрезок на п равных частей и выбрав в качестве арифметической единицы 1/п , мы на место переменной ставим постоя п и ос число.

"На первый взгляд, - пишет Цейтен, - преимущества этого геометрического представления могут показаться ничтожными, ибо любой отрезок обладает такой же определенной величиной, как и взятое произвольно число, но в действительности нарисованная фигура служит лишь материальным знаком для выражения -понятия фигуры, а здесь величины могуг принимать все значения, совместимые с требованиями такого понятия. Так, представление величины длиной отрезка может, подобно буквам в алгебре, применяться к величинам, изменяющимся непрерывным образом... Отсюда ясно, что действия над количествами, представленными геометрическим образом, играют роль, аналогичную нашим алгебраическим операциям"!*.

Благодаря геометрическому символизму, стало возможным отображение логической структуры арифметики на геометрию несмотря на коренное различие и даже противоположность дискретной природы числа и непрерывной, однородной природы пространства. На первый взгляд, такое отображение можег вызвать недоумение: как можно отобразить дискретный ряд неделимых далее единиц на геометрический континуум, каждая часть которого бесконечно делима и непрерывно связана с другими числами?

Чтобы подобное недоумение не возникло, необходимо все время помнить, что геометрические отрезки функционируют в данном случае как символы и в этом отношении разделяют общую со всеми знаками (символами) участь.

Что же в природе знака есть такое, что позволяет непротиворечиво отобразить дискретную сущность арифметики? Как известно, знаки характеризуются набором свойств, таким как: жесткость (неделимость), неизменность, четкая ограниченность (дискретность). Коль скоро геометрические отрезки начинают функционировать в качестве символов, вполне законно делимые отрезки рассматривать как неделимые (жесткие), а непрерывную последовательность этих отрезков - в виде линейной последовательности дискретных (четко отграниченных) знаков. Следовательно, сама природа знаков идеально приспособлена для отображении дискретного характера натурального ряда - единственного объекта античной арифметики. Характерно, что сам способ представления чисел в виде отрезков знаменует собою отход от ранней пифагорейской традиции изображать числа в виде дискретных точек.

Поэтому замена "фигурных чисел", являющихся точечными изображениями целых чисел, геометрическими отрезками является фактом принципиального значения. В нем папіла отражение совершенно новая схема геометрии, прямо противоположная схеме теоретической арифметики. Полный разрыв с теоретикочисловой схемой арифметики и переход геометрии к совершенно иным принципам явился, как это ни парадоксально, условием взаимного сближения этих наук, о чем свидетельствует факт геометрического представления чисел. Конечно, сам по себе этот факт был не нов, к этому прибегали также и ранние пифагорейцы. Но альянс арифметики и геометрии в пифагорейской математике базировался на общности теоретической схемы, объединяющей обе науки. Теперь же фундаментальные принципы этих наук оказались диаметрально противоположными. И в этом как раз и состоит парадоксальность возникшей ситуации. Создание принципиально новой теоретической схемы геометрии и преодоление на этой основе пропасти между арифметикой и геометрией явилось решающим (хотя далеко не единственным) условием разрешения кризиса основ греческой математики. За- 42 слуга этой теоретической реконструкции геометрии принадлежит Евдоксу Книдскому. "Вместо оказавшегося несостоятельным принципа соизмеримости он выставил следующую аксиому; если даны два произвольных отрезка а и b то всегда можно столько раз (например п раз) присоединить а к самому себе, чтобы сумма отрезков па стала большей, чем Ь. Это означает, что все отрезки суть величины одного и того же порядка, что в континууме не существует ни актуально бесконечно большого, ни актуально бесконечно малого"15 (отрезок а называется бесконечно малым но сравнению с отрезком Ь, если любая сумма отрезков па, сколько бы их ни взять, всегда остается меньше Ь). На этой основе Евдокс строит свое общее учение об отношениях, применимое как к соизмеримым, так и к несоизмеримым величинам.

Известно, что греческие математики не признавали дробей и в необходимых случаях заменяли их отношением целых чисел (что вполне эквивалентно, с нашей точки зрения) или пропорциями. Однако отношение двух количеств может иметь численный характер лишь в случае их соизмеримости. Только соизмеримые величины относятся друг к другу как числа, поскольку для них существует общая мера, которая символически может быть принята за единицу. В X книге "Начал” Евклида, где доказывается это предложение, имеется и его обращение: если две величины имеют между собою отношение как число к числу, то эти величины будут соизмеримыми.

Совершенно очевидно, что несоизмеримые величины не могут относиться друг к другу как число к числу. Ведь по определению они не обладают общей мерой, могущей служить геометрическим символом единицы. Значит, геометрия может осуществлять свою символическую (знаковую) функцию лишь в том случае, если может быть проделана операция нахождения общей меры для исследуемых геометрических величин. Геометрическое доказательство соизмеримости величин совершается посредством "процесса Евклида", который чаще называют "алгорифмом Евклида". В случае соизмеримых величин применение указанного алгорифма приводит к нахождению общей наибольшей меры. Алгоритмическая операция нахождения общей меры является в то же время доказательством существования численного отношения двух величин. Таким образом, благодаря геометрическому символизму, удается конструктивно доказать существование того или иного отношения в виде числа. Достаточным ус ловием этого является наличие конечного числа шагов в применении алгорифма Евклида. Подобным же образом доказывается и несуществование отношения двух величин в виде чисел. В этом случае невозможность ограничиться конечным числом шагов в применении алгорифма яшіястся доказательством иррациональности исследуемого отношения, т.е. отсутствия числового отношения. Таким образом, введение в геометрию ноной конститутивной единицы - отрезка вместо суммы дискретні,їх точек - позволило не только парализовать зеноновские апории меры, но и решить определенным образом проблему несоизмеримых величин. Благодаря этому геометрия заняла господствующее положение в математике, что нашло конкретное выражение в евклидовых "Началах”, где арифметические действия над числами сводятся к действиям над геометрическими отрезками, составленными из одного определенного отрезка, условно принятого за числовую единицу. Создание принципиально новой теоретической схемы геометрии и преодоление на этой основе пропасти между арифметикой и геометрией явилось необходимым (хотя и не единственным) условием разрешения кризиса основ греческой математики.

В результате сведения арифметики к геометрии была решена проблема относительного обоснования арифметики. "Стало ясным, - пишет О.Нсйгебауэр, - что геометрические объекты следует рассматривать как данные сущности, так что целочисленные отношения выступают как частный случай лишь второстепенного значения"™.

Таким образом, математика Евдокса-Евклида конституировалась в ходе оборачивания ролей арифметики и геометрии. Такого рода оборачивание метода, как мы отметили в начале статьи, связано с воспроизводством необходимых предпосылок развития науки и отслоением тех побочных моментов, которые хотя и сопровождали ее становление, но затем оказались невоспроизводимыми в ходе дальнейшего развития.

О каких необходимых предпосылках идет речь в данном случае? Если взять непосредственную причину кризиса античной математики, то таковой явилось, как известно, открытие несоизмеримости диагонали квадрата со стороной, равной единице.

2(>Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М., 1968. С150. 44

Речь, следовательно, идет об идеальном квадрате, сторона которого в точности соответствует рациональному (целому) числу. Но таких квадратов в природе не существует. Это - фикция, созданная человеческим умом, которая на определенном этане вышла из-под контроля человеческого воображения и стала причиной известных парадоксов в греческой математике и философии. Парадоксальность подобного рода идеальных образований состоит просто в том, что они не согласуются с другими общепринятыми идеализациями. Например, проблема несоизмеримости не могла бы возникнуть в античной математике, если бы там существовало расширенное понятие числа, включающее в себя иррациональные числа.

Следовательно, при том направлении развития математической мысли, которое реализовалось в античности, можно указать на два необходимых условия, которые воспроизводились в ходе оборачивания ролей арифметики и геометрии: представление об идеальной фигуре (а равно и об идеальных циркуле и линейке) и специфически греческое понятие о числе.