2. Интеллигибельные принципы и наблюдаемые факты в геометрии

Целесообразно начать с области, в которой вы можете, по-видимому, «доказать» очень многое. В геометрии никто не будет оспаривать большой роли логического доказательства. Если мы поймем, какую роль играет в геометрии логическое доказательство, то поймем и в целом ту роль, которую оно играет в науке вообще. Возникает следующий вопрос: как мы «доказываем» в геометрии факты, которые могут быть проверены чувственным наблюдением? Мы начинаем с некоторых «аксиом», о которых обычно говорят, что они являются самоочевидными положениями. Затем мы стараемся из этих аксиом посред-

ством логических умозаключений вывести другие положения, называемые «теоремами». В геометрии на самой элементарной стадии обучения учащийся наталкивается на различие между интеллигибельными принципами (аксиомами) и наблюдаемыми фактами— и ему не нужно для этого читать Аристотеля. При обычном изучении геометрии создается представление, что между тем, что может быть доказано, и тем, что может быть наблюдаемо в эксперименте, имеется определенное согла-

сие. Например, рассмотрим треугольник (рис. 5).

Во всяком треугольнике А + В + С = 180°. Учащийся учится «доказывать» это. Затем он берет транспортир,

измеряет сумму углов, и,

если это ему удается, сумма Рис. 5.

будет близка к 180°. У него

создается впечатление, что между логическим мышлением и природой имеется определенное согласие. На самом же деле такое представление создается традиционным методом преподавания геометрии; Если учащийся однажды получил это представление при изучении геометрии, то он с этим же представлением приступает и к изучению фиаики. В последней он изучает некоторые доказательства, в которых логические умозаключения и результаты экспериментов так перемешаны, что даже способный студент вряд ли разберется в этом. Одна теорема является предположением, а другая выводится из нее, но первая столь же недостоверна, как и вторая.

Очень часто положение само по себе не кажется интеллигибельным или самоочевидным, но какой- либо его королларий выглядит очень правдоподобным и даже самоочевидным. С первого взгляда положение, что сумма углов треугольника равна 180°, не выглядит очень убедительным, но оно может быть выражено в другой форме, придающей ему большую правдоподобность. Если четырехугольник ABCD (рис. 6) разделен диагональю ВС на два треугольника и если в каждом из этих треугольников сумма углов равна 180°, то сумма четырех углов четырехугольника равна 360°. Теперь мы можем поставить задачу, в которой А, В, С и D равны. Другими словами, А = В = С = D. Тогда каждый угол является

Рис. 6, 90° 90* 90° 90° Рис. 7. прямым и мы имеем прямоугольник (рис. 7). Следовательно. из положения, что «сумма углов треугольника равна 180°», следует, что мы можем построить прямоугольники. Однако существование прямоугольников является для нас весьма правдоподобным. Мы не склонны верить, что прямоугольники или квадраты не могут существовать. Существование прямоугольников делает возможным построение кирпичной стены без брешей. Без прямоугольников мы не могли бы строить нашим обычным способом — и весь наш образ жизни был бы другим. Мы видим, что теорема о сумме углов в треугольнике очень тесно связана с нашей технической цивилизацией.

С одной стороны, у нас имеется представление что эти законы геометрии выводятся логическим способом; с другой стороны, они кажутся законами технического «умения». Это придает силу идее о том, что люди должны действовать способом, который мо- жет быть выведен из интеллигибельных принципов. Вера в то, что мы можем вывести эмпирические факты из интеллигибельных принципов, является важной частью структуры наших идей. Очень важно исследовать, в какой мере это верно или неверно в геометрии. Без аксиом нет геометрии; все в геометрии должно начинаться с аксиом. Но очень мало места в учебниках геометрии отводится вопросу: каким образом мы знаем, что аксиомы истинны? Этот вопрос не относится к математике и не рассматривается в каких-либо других известных отраслях науки. Многие преподаватели математики отваживались утверждать, что этот вопрос не имеет смысла. С чисто математической точки зрения это верно, поскольку не существует математического метода рассмотрения его. Но, как йы увидим ниже, он может быть рассмотрен другим способом.