1.2. Цели и содержание начального курса геометрии

усвоить (овладеть, изучить) геометрические содержания, представленные в математической культуре (например, овладеть геометрическими знаниями, геометрическими формами, идеями геометрических преобразований и зависимостей, методами решения геометрических задач, геометрическим рассуждением); 2)

сформировать определенный вид (форму) мышления (например, геометрическое мышление, строгое мышление)263; 3)

обеспечить формирование определенных способностей.

Обычно в педагогических исследованиях эти цели указываются вместе, их соединяют через «и», в то время как ориентировка на ту или иную цель или их комбинацию в значительной мере определяет характер и структуру курса начальной геометрии. Преподавание математики в гимназии, пишет, например, академик П. Л. Чебышев, имеет две цели: во-первых, развитие умственных способностей, во-вторых, доставление сведений, необходимых для общего образования264. В. Латышев считал целью обучения геометрии «развитие отвлеченного рассуждения». В другом месте он пишет: «Геометрия должна вводиться в общеобразовательные школы для развития в учениках правильного и точного мышления»265.

Если речь идет о том, чтобы овладеть геометрическими содержаниями, то педагог следит лишь за тем, чтобы на «выходе» обучения ученик решал определенные геометрические задачи, знал соответствующие теоремы, определения и аксиомы, умел вести геометрическое рассуждение. Если же цель геометрического обучения сводится к формированию геометрического или строгого мышления и способностей, то геометрические содержания в лучшем случае выступают лишь как средства обучения, результатом же геометрического обучения являются другие образования. С педагогической точки зрения в этом случае речь идет, во-первых, о способах и приемах доказательства, решения геометрических задач, получения геометрических знаний и пр. и, во-вторых, о предпосылках и условиях, позволяющих от одного уровня и этапа обучения естественно и без напряжения переходить к другим уровням и этапам. В. Латышев фактически связывал способности с возможностью переходить от одного учебного предмета к другим, от одного типа содержания к другим типам. «Итак, все предметы преподавания должны быть расположены в известный, последовательный ряд (и естественный) так, чтобы они гармонически развивали различные, но всегда соответствующие возрасту способности. Тогда каждый из них будет служить подготовкой к другому»266.

Реализация каждой из названных здесь целей, как показывает анализ истории геометрического обучения, связана с определенными трудностями. Действительно, в настоящее время в геометрии получен огромный объем геометрических содержаний разной степени сложности, организованный в разные научные предметы (элементарная геометрия, начертательная, аналитическая, дифференциальная, неевклидова, основания геометрии и др.). Чтобы овладеть только частью содержаний элементарной геометрии, в школе на геометрию необходимо отвести значительное число учебных часов. Это, естественно, приводит или к перегрузке учащихся, или к недопустимому удлинению сроков обучения. Поскольку в конце геометрического обучения стремятся в той или иной мере достигнуть современного уровня геометрии, то обучают знаниям, набранным из самых разных отделов геометрии (эти знания образуют так называемые основы науки).

Усовершенствование методов обучения геометрии также не может кардинально решить указанную проблему, поскольку объем научных знаний, которые подлежат усвоению, растет значительно скорее, чем могут совершенствоваться методы обучения. Одновременно здесь возникает сложная проблема — какие геометрические содержания необходимо включить в курс начальной геометрии и дальше в систематический курс, а какие можно опустить. Группа советских математиков (В. Ашкинузе, В. Болтянский, Н. Виленкин, В. Левин, А. Семушин, И. Яглом) предложили заменить в учебном предмете геометрии одни знания, устаревшие, другими, более совершенными267. Однако, определяя более совершенные знания, они пользовались интуитивными критериями, что негативно сказалось на результате.

В том случае, когда цель геометрического обучения сводится к формированию геометрического мышления и способностей, на первый план выдвигаются проблемы опознавания, сравнения и оценки сформированных у учащихся в ходе геометрического обучения способов, приемов, условий и предпосылок. Однако хорошо известно, что эти проблемы еще далеки от разрешения. К указанной группе проблем относится еще одна: как связаны геометрическое мышление и способности с геометрическими содержаниями, можно ли, к примеру, организуя усвоение геометрических знаний, сформировать определенные процессы мышления и способности или же для этой цели необходимы другие учебные средства? «Известно, — писал В. Латышев, — что все приемы мышления сводятся к весьма ограниченному числу основных и что количество различных способностей невелико. Наконец, различные приемы мышления встречаются в одном и том же предмете, значит, занятие одним из них должно подготовить к другим. Разве мы не убеждены в том, что общее образование должно сделать ученика способным ко всякой умственной работе?»268

Та или иная трактовка целей геометрического обучения влечет за собой и определенную трактовку типа содержаний геометрического обучения. Так, если целью геометрического обучения считается усвоение геометрических содержаний, то и содержанием геометрического обучения автоматически считают геометрические содержания разной степени сложности (эта позиция была наиболее характерна для классической и комбинаторной систем, частично она характерна и для наглядной системы). Если же целью геометрического обучения считается формирование геометрического мышления и способностей, то содержанием геометрического обучения считаются только такие образования, включающие, в частности, и геометрические содержания, которые приводят к формированию способов, приемов, условий и предпосылок (позиция, характерная прежде всего для эвристической, генетической и частично наглядной систем). Разница между указанными двумя типами содержаний геометрического обучения отчасти проявляется в известном разделении геометрического материала на учебники и задачники (решеб- ники), а также в периодическом обсуждении проблемы соотношения в учебном предмете геометрических знаний и гео- метрических задач (рассуждений).