6. Неевклидова геометрия

Если отбросить аксиому Евклида, то будут две возможности. Эта аксиома утверждает, что прямая линия, которая имеет хотя бы малейшие отклонения от g' (рис. 18), с той или другой стороны пересечется с g. Одна возможность заключается в том, что

может совсем не быть такой линии g', которая никогда не пересечет g. Другими словами, все существующие линии пересекаются. Имеется также возможность и того, что если прямая линия отклоняется от g' с каждой стороны на достаточно малый угол є, то она не пересечет g. Иначе говоря, может быть «пучок» линий — симметричных в отношении g' и ограниченных линиями, отклоняющимися от g' на угол г с каждой стороны, — которые не будут пересекаться (рис. 19). Это второй тип неевклидовой геометрии, и которую мы будем только здесь рассматривать. Посмотрим, как выглядел бы мир, если бы это утверждение заменило аксиому Евклида. Одно верно: сумма углов треугольника не была бы равна 180°.

Первый тип неевклидовой геометрии, утверждающий, что не существует параллельных линий, известен под именем «геометрии Римана»; в этой геометрии аксиома, что только одна прямая линия соединяет две точки, также не имеет силы. Согласно другой геометрии, построенной русским математиком Лобачевским, а также, почти в то же время, венгром Больяи, существует бесконечное число прямых линий, не пересекающихся с g и заключенных в некотором

h

угле с прямой gf. Аксиома Евклида заменяется аксиомой Лобачевского. Заключения, выведенные из этой аксиомы, могут быть описаны следующим образом: начертим прямую линию g и точку А вне g (рис. 20). Затем проведем через А поперечную Л, нормальную

Рис. 20.

по отношению к g, и прямую линию gf под углом 90° к Л. Тогда и ^ никогда не пересекутся. Если мы будем проводить прямые линии из точки А, все время увеличивая углы по отношению к h, то сначала эти линии будут пересекать линию g. В конце концов, однако (если мы исключим положение, что все пря- мые линии пересекаются друг с другом, — «аксиому Римана»), мы придем к линии, которая имеет некий предельный угол а* с поперечной h и является первой линией, которая не будет пересекать g. В евклидовой геометрии а* — 90°. Согласно же аксиоме Лобачевского, угол а* меньше 90°. Прямая линия, которая образует этот угол с gt называется «параллельной» к g. В геометрии Лобачевского мы должны различать параллельные и непересекающиеся линии. Все линии, которые содержатся в «пучке» около g\ называются непересекающимися линиями. Только линии, определяющие границы «пучка», называются параллельными. В геометрии Лобачевского имеется параллельная линия как налево от поперечной, так и направо от нее.

Таким образом, для геометрии Лобачевского характерно, что имеется не одна параллельная линия, а две. Все линии между ними — непересекающиеся, то есть они не пересекаются с g.

Рассмотрим, что представляет собой сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского. Если мы возьмем линию от А, делающую с линией АВ угол, меньший чем а*, то эта линия будет пересекаться с g. Мы можем, однако, взять линию, которая делает угол а = а*—г] чуть меньше, чем а*.

Каким образом мы знаем, как велико число (90° — а*)? Аксиома Лобачевского ясно не определяет угол а*, который, «параллельная линия» образует с данной линией. Под названием «аксиома Лобачев- Ского* ЯЗ бамом деле скрывается бесконечное число аксиом. Линия g1, параллельная g (рис. 21), может быть почти нормальной к АВ или может иметь с АВ любой угол. Для любого расстояния точки А от g(AB) угол а* может иметь произвольное значение. Любому значению а* соответствует специальная форма

аксиомы Лобачевского. Если нам нужна геометрия, лишь немного отличающаяся от евклидовой, то мы выбираем вариант, в котором дефект (90°— а*) мал; если

А т*-

В " - - - _ SO'-a* 90° Рис. 22. же інам нужна сильно отличающаяся от евклидовой геометрия, мы выбираем вариант, для которого дефект велик (рис. 22). Можно поставить вопрос: при какой величине дефекта треугольник начинает быть заметно

неевклидовым? Когда мы исследуем физические треугольники, сделанные из жесткого материала, вроде стали, мы никогда не замечаем, что сумма углов по измерению меньше 180°, но это ничего не доказывает. Все измеренные треугольники могут быть слишком малы для того, чтобы можно было заметить дефект. Можно только сказать, что все измеренные нами треугольники были «малыми». Можно определить понятие «малый треугольник» как малый по сравнению с определенным треугольником, принятым за единицу измерения. В качестве последнего можно избрать треугольник, в котором дефект равен 1°. Вместо того чтобы задавать значение угла а*, можно также определить конкретный вид геометрии Лобачевского, задавая площадь «единичного треугольника». Если размер последнего сравнить с размерами Галактики, то все физические треугольники будут «малыми» и мы не заметим дефекта ни в одном из измеряемых нами треугольников. Чем больше площадь треугольника, сравниваемого с «единичным треугольником», тем больше будет дефект. Поэтому сумма углов в большом треугольнике меньше, чем в небольшом. Треугольник с площадью, очень маленькой по сравнению с площадью «единичного треугольника», имеет дефект, почти равный нулю, а сумму углов, почти равную 180°; с увеличением дефекта сумма углов уменьшается. Если мы имеем малый треугольник, подобный большому треугольнику, то оба имеют одну и ту же сумму углов, равную 180°. Поскольку в геометрии Лобачевского большие треугольники имеют большие дефекты, чем малые треугольники, постольку большой и малый треугольники никогда не могут быть подобными. Поэтому не существуют треугольники одной и той же формы, но разных размеров. Отсюда легко сделать заключение, что не бывает геометрических фигур какого-либо рода, которые имели бы одинаковую форму, но разные размеры. Через форму определяется и величина. Треугольник с суммой углов, приближающейся к 180°, возможен только в том случае, если он имеет очень маленькую величину.