В. Критическая оценка концепции Эйнштейна относительно взаимозависимости геометрии и физики: физическая геометрия как контрпример D-тезиса в его нетривиальной форме.

Однако Эйнштейн утверждает, что сама геометрия никогда не может быть связана с экспериментальной фальсификацией в отрыве от других законов физики, которые учитываются при вычислении поправок, компенсирующих деформации стержня. Отсюда он делает вывод, что вы можете всегда сохранить ту геометрию, которая вам нравится, с помощью соответствующей регулировки в связанных с ней корректировочных физических законах. Говоря более точно, он излагает этот случай в форме диалога, где он приписывает свою собственную дюгемианскую точку зрения Пуанкаре и выставляет ее в противовес концепции Рейхенбаха, рассмотренной нами в третьей главе. Мы показали, что тексты Пуанкаре не подтверждают интерпретацию Эйнштейна. Ибо, как мы видели в разделе Б, где рассматривали изменения, которые испытывают стержни под воздействием возмущений, Пуанкаре говорит по этому поводу: «Но мы, устанавливая основы геометрии, пренебрегаем этими изменениями, так как, помимо того, что они крайне незначительны, они еще неправильны и, следовательно, кажутся нам случайными»1 (1 А. Пуанкаре, Наука и гипотеза, стр. 78.).

Поэтому я имею право заменить имя «Пуанкаре» в эйнштейновском диалоге на имя «Дюгем и Эйнштейн». При учете этой модификации диалог читается следующим образом:

Дюгем и Эйнштейн. Эмпирически данные тела не являются абсолютно твердыми и, следовательно, не могут служить реализацией геометрических отрезков. Поэтому теоремы геометрии нельзя проверить на практике.

Рейхенбах. Я допускаю, что тел, которые могли бы сами по себе служить «реальным определением» отрезка, не существует. Тем не менее такое реальное определение можно получить, приняв во внимание тепловое расширение, упругость, электро- и магнитострикцию и т. д. То, что это на самом деле возможно и не приводит к противоречиям, доказано классической физикой.

Дюгем и Эйнштейн. При построении улучшенного реального определения Вы воспользовались физическими законами, формулировка которых (в этом случае) предполагает евклидову геометрию.

Следовательно, проверка, о которой Вы говорили, относится не только к геометрии, но и ко всей совокупности физических законов, лежащих в ее основе. Отсюда следует, что проверка одной лишь геометрии невозможна.

Но тогда почему бы нам не выбрать геометрию (например, евклидову), руководствуясь исключительно соображениями собственного удобства, а остальные (физические в обычном смысле законы) не подгонять к выраженной геометрии так, чтобы вся система в целом не противоречила опыту 1.( 1 А. Эйнштейн, Замечания к статьям, «Собрание научных трудов», т. IV, стр. 304—305.)

Говоря здесь о «действительном определении» (то есть о координативной дефиниции) «конгруэнтных отрезков» с помощью перемещения уточненных отрезков, Эйнштейн игнорирует то обстоятельство, что в физике действительный и потенциальный смысл конгруэнтности не моокет быть выражен исчерпывающим образом каким-либо одним физическим критерием или проверочным условием. Однако здесь, как и повсюду в этой книге, мы допускаем совместимость различных физических критериев конгруэнтности и, следовательно, можем спокойно игнорировать этот явно комплексный характер понятия конгруэнтности. Наш, так же как и Эйнштейна, интерес направлен только на то, чтобы выбрать один специфический класс конгруэнтности из бесконечно большого числа различных классов. И поскольку точное установление нами этого единственного выбранного класса является недвусмысленным, совершенно несущественно, что существуют также и другие физические критерии (или проверочные услввия), с помощью которых он мог бы быть установлен.

Эйнштейн указывает здесь на два важных пункта. Прежде всего, при получении физической геометрии с помощью данной физической интерпретации постулатов формальной системы геометрических аксиом точное установление физического смысла таких теоретических терминов, как «конгруэнтный», «длина» или «расстояние», не является только делом задания операциональной дефиниции в строгом смысле. Напротив, то, что обозначается такими различными терминами, как «правило соответствия» (Маргенау и Кар-нап), «кординативная дефиниция» (Рейхенбах), «эпистеми-ческая корреляция» (Нортроп) или «словарь» (Кэмпбелл), обеспечивается в данном случае самим ходом размышлений над гипотезами и законами, второстепенными по отношению к геометрической теории, физический смысл которой нужно установить. Замечание Эйнштейна о том, что физический смысл конгруэнтности задается перемещением стержня, который теоретическим образом корректируется относительно идиосинкразических возмущений, представляет собой разъяснение и имеет повсеместно в теории физики множество аналогий, показывая одновременно, что строгие операциональные дефиниции являются скорее упрощенными и ограниченными разновидностями правил соответствия. В частности, мы видим, что физическая интерпретация термина «длина», который часто приводят в качестве прототипа всех «операциональных» определений в бриджменовском смысле, не дается операционально в смысле введения каких-либо отличительных признаков этого термина, и он представляет собой, таким образом, что-то вроде ритуального заклинания. Второе, кардинальное для наших целей требование Эйнштейна состоит в том, что использование теории в физической дефиниции конгруэнтности неизбежно приводит к логическому кругу. Эйнштейн утверждает, что мало признавать наличие некоего априорного элемента в смысле дюгемианской неясности, жесткое тело нельзя даже определить, не декретируя сперва справедливость евклидовой геометрии (или какой-либо другой частной геометрии). Ибо до того, как скорректированный стержень может быть использован для эмпирического определения де-факто геометрии, требуемые уточнения должны быть вычислены с помощью таких законов, как законы упругости, которые подразумевают вычисляемые с помощью евклидовой геометрии площади и объемы.

Однако ясно, что на этой стадии основания для введения евклидовой геометрии не могут быть эмпирическими. В том же духе Вейль следующим образом одобряет позицию Дюгема:

Геометрия, механика и физика составляют нераздельное теоретическое целое... Философы выдвинули тезис, что справедливость или несправедливость евклидовой геометрии не может быть доказана с помощью эмпирических наблюдений. На самом деле следует допустить, что во всех подобных наблюдениях существенные физические предположения, такие, как утверждение о том, что траектория светового луча представляет собой прямую линию, и другие, подобные ему, играют важную роль. Это только подтверждает сделанное выше замечание, что геометрия и физика как единое целое могут быть проверены эмпирическим путем.

Если бы было доказано, что дюгемианский тезис Эйнштейна и Вейля является верным, тогда следовало бы признать, что физическая геометрия в некотором смысле сама по себе не обеспечивает геометрической характеристики физической реальности. Ибо с помощью этой характеристики мы устанавливаем точную связь системы отношений, в которые вступают между собой тела и перемещаемые твердые стержни, совершенно независимо от их специфических субстанциальных деформаций. И физическая геометрия является априорной лишь в той степени, в какой дюгемов-ская неопределенность позволяет вводить в физическую теорию априорные элементы с тем, чтобы заполнить специфически геометрические пробелы в нашем познании физического мира.

Теперь нам хотелось бы изложить свои сомнения относительно справедливости предложенной Эйнштейном геометрической интерпретации D-тезиса, опираясь на доказательство сепаратной фальсифицируемости геометрической гипотезы Н. Мы это проделаем в два приема, из которых первый будет касаться упрощенного случая, когда в "некоторой области, геометрию которой нужно установить, не существует никаких эффективных деформирующих воздействий. В разделе А мы показали, что D-тезис в его нетривиальной форме поп sequitur; в данном случае мы попытаемся показать с помощью геометрического контрпримера, что он является также и ошибочным.

Однако сначала необходимо пояснить, в каком именно смысле мы рассматриваем наши геометрические контрпримеры в качестве доказательства ошибочности D-тезиса в его нетривиальной форме.

В любом из этих случаев мы будем приводить в качестве доказательства логически возможные эмпирические данные О', для которых любое нетривиальное А', способное сохранить H вопреки О', является эмпирически неверным. Мы утверждаем, что наши контрпримеры показывают ошибочность D-тезиса именно в силу того, что для каждого из этих примеров не существует никакого истинного нетривиального А', которое сохраняло бы H, объясняя О' в конъюнкции с H. Поскольку любое A'nt , которое дает истинное О', является ошибочным в случае с этими двумя контрпримерами, конъюнкция Я с любой тривиальной вспомогательной гипотезой, отрицающей гипотезу A'nt , содержит наблюдательные следствия, несовместимые с принимаемой истинностью О' и, следовательно, неверные. Однако, поскольку конъюнкция H с любой истинной A'nt в том или ином из этих примеров содержит ошибочные наблюдения относительно ~O', то H фальсифицируема сепаратным образом. Здесь нелогично тб, что некоторые ошибочные утверждения относительно наблюдений, несовместимые с О', могут быть выведены из ошибочного A'nt в конъюнкции с H. Ибо дело состоит в том, что ошибочность вывода относительно наблюдательных данных ~O', который получается из H в конъюнкции с А'nt , не может всегда быть ответственной исключительно за ошибочность вспомогательной гипотезы, поскольку конъюнкция H с любым истинным А'nt содержит, как известно, ошибочные выводы относительно наблюдательных данных ~О'. Короче говоря, смысл наших геометрических контрпримеров по отношению к D-тезису состоит в том, что если бы H была верной и объясняла О', тогда существовало бы истинное A'nt , которое позволило бы H содержать правильные наблюдательные данные О'. Однако никакого такого A'nt не существует, поскольку любое A'nt , которое обеспечивало бы истинные О', является ошибочным. Следовательно, соединение H с любым истинным A'nt приводит к ошибочным результатам. Следовательно, H сама является ошибочной.

Согласно альтернативной интерпретации работ Дюгема, которую дает Лоуренс Лоден, эти примеры сепаратной фаль-сифицируемости якобы совместимы с точкой зрения Дюгема на логику фальсифицируемости компоненты гипотезы. Он обращает внимание на аргумент Дюгема относительно невозможности решающих экспериментов в физике в третьем разделе четвертой главы (часть II) его книги «Цель и структура физической теории» («The Aim and Structure oi Physical Theory»). И Лоден утверждает, что текст Дюгема там и в других местах допускает альтернативную интерпретацию. Дюгема интересует прежде всего доказательство того, что опровержение компоненты гипотезы обычно не более доказательно, чем ее верификация. Он утверждает, что мы очень редко можем узнать, если можем узнать вообще, что не существует некоторой системы убедительных предположений A'r,t , которые были бы в состоянии основательно опровергнуть H , чтобы объяснить О'. Он не считает, что такая система A'nt существует всегда. Напротив, он говорит, что сепаратная фальсификация компоненты гипотезы H зависит от доказательства того, что такой системы A'nt не существует. Таким образом, цель доказательства, по Дюгему, состоит не в том, чтобы доказать существование такой системы A'nt в любом случае; напротив, доказательство отсутствия такой системы является обязательным для любого утверждения относительно сепаратной фальсификации H. Согласно этим рассуждениям, обвинение «поп sequi-tur» нужно выдвигать не в адрес аргументации Дюгема, а в адрес того, кто утверждает, что H может быть фальсифицирована сепаратным образом без предварительного доказательства отсутствия соответствующей системы Ant.

Лоден полагает, что если бы Дюгем на самом деле был сторонником тезиса, который обычно приписывают ему, то в таком случае его рассуждения в поддержку невозможности решающих экспериментов были бы отличны от тех, каковыми они являются в действительности. В частности, он указывает на доводы Дюгема в пользу отрицания возможности того, что эксперимент мог бы дать решение в пользу гипотезы H2 против ее конкурента H1. Доводы Дюгема состоят не в том, что всегда можно сохранить H1 с помощью соответствующей A'nt при наличии любого доказательства, а в том, что хотя Н1 и может быть фальсифицирована, мы - не в состоянии вывести отсюда истинность H2, потому что может существовать по крайней мере еще одна гипотеза Hз, способная объяснить это явление. Однако на эту гипотезу ученые пока не обратили внимания. Лоден говорит, что если бы Дюгем верил в сильное утверждение, обычно приписываемое ему, он не апеллировал бы к возможному существованию неучтенной альтернативной гипотезы H3, когда отрицал, что какой-либо эксперимент может дать окончательное решение в пользу H2 против Н1. Ибо любой сторонник D-тезиса стал бы обосновывать отрицание выполнимости такого решающего эксперимента на утверждении, что H1 не может быть опровергнута, но всегда может быть поддержана перед лицом какого бы то ни было доказательства.

Теперь нам хотелось бы изложить свои сомнения по поводу логического обоснования Эйнштейном геометрической формы D-тезиса. Мы сделаем это в два приема, но сперва займемся специальным случаем, когда в области пространства, геометрию которого нам необходимо установить, не существует сколько-нибудь значительных деформирующих воздействий.

Предположим, что мы столкнулись с проблемой опровержения гипотезы H, пользующейся обычной конгруэнтностью и приписывающей геометрию G области, действительно свободной от специфических для каждого вещества деформирующих воздействий. В таком случае поправочные физические законы не играют никакой роли как вспомогательные предположения и последние сводятся к утверждению А о том, что рассматриваемая область фактически свободна от специфических для каждого вещества деформирующих воздействий. И если при этих обстоятельствах могут быть выдвинуты неопровержимые доводы против постулирования подобных деформирующих воздействий, тогда отрицание не может считаться оправданным. В этом случае геометрическая гипотеза H, основанная на обычной конгруэнтности, была бы сепаратно фальсифицируемой метрическими наблюдениями О', которым H должна была бы дать объяснение и которые несовместимы с конъюнкцией Н·А. Напротив, если при постулируемых обстоятельтвах можно было бы убедительно и логично отказаться от A в пользу конкурирующего с ним утвержения А' относительно наличия специфических деформаций, тогда Дюгем и Эйнштейн могли бы утверждать, что H нельзя сепаратно опровергнуть, поскольку А' давало бы H возможность объяснить специфические данные О', связанные с метрикой.

Следовательно, мы должны поставить вопрос; какие соображения могли бы гарантировать при постулируемых обстоятельствах утверждение А и каков характер предположений, выдвигаемых при отрицании А? Можно настаивать на отсутствии деформирующих воздействий и доказать это независимо от уровня разработки теории любой из множества метрических величин (например, температуры), повсеместное постоянство которых обеспечивает отсутствие подобных деформаций. Ибо именно существование физической геометрии, соответствующей стандарту конгруэнтности, влечет за собой утверждение, что отсутствие таких деформаций может быть удостоверено для данной области следующим образом: любые два жестких стержня, различные по своим качественным проявлениям, которые совпадают в одном месте этой области, будут совпадать в ней повсюду независимо от траекторий их перемещения. Простое установление того, что стержень является жестким в противоположность жидким и газообразным сущностям, не предполагает метрики пространства или метрической геометрии. Ни визуальные, ни тактильные данные, удостоверяющие наличие топологического отношения совпадения (противоположного несовпадению) между стержнями, не подразумевают ссылок на геометрию, хотя, конечно, их точность не беспредельна. И на уровне качественного перцептуального подтверждения, необходимого здесь, не нужны никакие отличительные метрические признаки в отношении характеристики химических различий между жесткими телами. Несущественность метрических подробностей, о которой мы здесь говорим, по существу, совместима с тем фактом, что при химической идентификации любого специфического жесткого тела, будь то кусок дерева или железа, можно делать ссылки на свойства, подобные плотности или молекулярному весу, которые предполагают геометрические атрибуты. Так предположим, что из двух на ощупь жестких тел, окрашенных в разный цвет, только одно плавает в озере. Тогда можно про эти два тела сказать, что они различны по своему химическому составу, и поручиться за то, что при перемещении они будут обнаруживать согласие в совпадениях независимо от того, будет ли установлено, что эти тела изготовлены из дерева и железа, а жидкость, наполняющая озеро, является водой. И если все жесткие на ощупь тела, качественно различающиеся между собой, при перемещении в определенной области будут одинаковым образом совпадать, то в таком случае эту область следует рассматривать как свободную от деформирующих воздействий, не ссылаясь при этом ни на какую метрическую геометрию. Именно концепция существования физической геометрии, не зависящей от химического состава жестких тел, подразумевает, что наблюдаемое однообразие совпадений при перемещении индуктивно гарантирует свободу от деформирующих воздействий, влияние которых ликвидировало бы эти совпадения. Весьма важное значение имеет ясное понимание того, что дискуссия между дюгемианцем и нами касается не вопроса о том, осмыслены ли теоретически (theory-laden) наблюдательные свидетельства о совпадении двух жестких стержней при их перемещении, и насколько (или совсем) эти стержни различны по химическому составу. Напротив, спор идет о том, являются ли наблюдательные свидетельства (пусть они будут теоретически осмыслены) теоретически осмыслены до такой степени, чтобы запрещать сепаратную фальсифицируемость Н! Мы сейчас увидим, что теоретическая запутанность в утверждении А о том, что имеется свобода от деформирующих влияний, не является таковой, чтобы допускать утверждение типа А', необходимое для отрицания сепаратной фальсифицируемости Н с помощью О'. Чтобы показать это, мы сформулируем и дадим оценку тем видам предположений, которые входят в любое А', отрицающее А, и которые были бы способны сохранить H в качестве объясняющего (explanans) О'.

Любое частное отрицательное А' относительно свободы от деформирующих влияний, которое должно спасти Н вопреки О', несмотря на согласующиеся с наблюдением совпадения, должно постулировать следующие количественные для каждого вещества специфические деформации по сравнению с обычной конгруэнтностью: 1)

хотя не существует никаких независимых доказательств, подтверждающих существование каких-либо физических источников (например, тепловых), обеспечивающих предполагаемое наличие деформирующих влияний, А' должно утверждать, что данная область фактически неоднородна в одном или нескольких специфических отношениях (например, тепловом); 2)

чтобы объяснить согласие в совпадениях при перемещении, А' должно утверждать, что все совпадающие жесткие стержни, имеющиеся в данной области, испытывают специфические подобные деформации по сравнению с обычной конгруэнтностью в соответствии с установленными поправочными законами;

3)

следовательно, А должно утверждать, что все химически различные жесткие тела являются в химическом отношении телами одного и того же вида и, конечно, относятся к одному и тому же специфическому виду, который можно связать с частными значениями различных специфических для каждого вещества поправочных коэффициентов; 4)

А' должно утверждать, что одинаковые деформации, вызываемые упомянутыми источниками, должны объяснять неизменное единообразие в совпадениях стержней независимо от путей их перемещения;

5) А' должно быть таковым, чтобы допускать объяснение с помощью Н метрических данных О' в конъюнкции с А'.

Мы подчеркиваем, что теоретические затруднения, связанные с подтверждением при помощи наблюдений отсутствия деформирующих влияний, не оставляют достаточно простора некоторым конкурентным А', которые необходимы для предотвращения сепаратной фальсифицируемости Н.

Наблюдательные данные, касающиеся неизменного единообразия в совпадении стержней, даже в том случае, если они теоретически осмыслены, содержат достаточно относительно упрямых фактов, чтобы отвергнуть такое предположение, как А'. Конечно, если дюгемианец настаивает, что он, кстати говоря, и делает, на утверждении, согласно которому теоретическая система в целом может быть фальсифицирована с помощью наблюдений, он в таком случае неизбежно должен предположить, что соответствующие фальсифицирующие наблюдения представляют для нас достаточно относительно упрямый факт, чтобы быть фальсифицирующими. Мог ли дюгемианец правомерно утверждать, что относительно элементарные виды наблюдений, подтверждающие А (например, совпадения качественно различных твердых тел), являются достаточно сомнительными, чтобы допустить альтернативное утверждение конкурентной гипотезы A'? Если бы дюгемианец был вынужден утверждать подобное, тогда возник бы вопрос, как могли бы какие-либо наблюдения всегда обладать однозначностью, которую он должен приписывать им, чтобы квалифицировать их как опровергающие теоретическую систему в целом? И если бы не было никаких относительно упрямых фактов, с которыми в какой-то специфической ситуации теоретическая система в целом пришла бы в противоречие, то как бы мог тогда дюгемианец избежать следующего вывода: «Наблюдательные данные всегда столь неограниченно двусмысленны, что не допускают даже опровержения любой данной теоретической системы в целом». Однако такой результат был бы равнозначен абсурдному утверждению о том, что любая теоретическая система в целом может быть принята как истинная a priori.

К тому же мы не видим, какие методологические гарантии мог бы предоставить Куайн против такого вывода в рамках его формулировки D-тезиса. В свете его готовности «признать, что мы имеем дело с галлюцинацией», когда наблюдения не согласуются с гипотезой, согласно которой «на Элм-стрит имеются кирпичные дома», остается только задать вопрос, готов ли он сказать, что все наблюдения, сделанные людьми на Элм-стрит и противоречащие данной гипотезе, являются галлюцинациями. А если это так, то почему не отвергнуть как галлюцинации все наблюдения, не согласующиеся с любой произвольной всеобщей теоретической системой. Таким образом, дело обстоит так, что если Дюгем считает необходимым утверждать (что он и делает), что целостная теоретическая система может быть опровергнута с помощью противоречащих ей наблюдательных данных, тогда он должен допустить, что совпадение различных стержней в разных местах рассматриваемой области (независимо от траекторий их перемещения) может быть удостоверено путем наблюдения. Соответственным образом отсутствие деформирующих воздействий может быть установлено независимо от каких-либо предположений относительно геометрии.

Теперь используем наши прежние наименования и обозначим геометрию буквой H а утверждение относительно отсутствия пертурбаций — буквой А. Тогда, раз мы установили уже дефиницию конгруэнтности и остальные семантические правила, физическая геометрия становится фальсифицируемой сепаратно как одно из объясняющих установленных эмпирических данных О'. Верно, конечно, что А является только утверждением, более или менее надежно подтвержденным с помощью недвусмысленного совпадения стержней, различных по своему химическому составу. Однако индуктивный риск, свойственный утверждению A, не возникает из постулируемой неразделимости H и A, и этот риск можно сделать крайне незначительным, не прибегая к какому бы то ни было усложнению H. Соответственно этому реальная логическая ситуация характеризуется не дюгемовской схемой, а, напротив, схемой следующего

вида:

Сила этого контрпримера D-тезису состоит в том, что H является сепаратно фальсифицируемой на том основании, что в конъюнкции с вспомогательной гипотезой А, истинность которой является очевидной, H содержит ошибочные выводы относительно наблюдательных данных, и (постулируемые) действительные наблюдательные данные О' таковы, что относительно любого нетривиального А', способного сохранить H вопреки О', известно, что оно ошибочно в эмпирическом смысле. Ибо каждое такое А' ошибочно утверждает существование деформаций, действующих в соответствии с некоторой системой поправочных законов.

Следует отметить, что мы идентифицируем H дюгемовской схемы с геометрией. Однако, поскольку геометрическая теория, по крайней мере в ее синтетической форме, может быть аксиоматизирована как конъюнкция логически независимых постулатов, частную аксиоматизацию H можно было бы логически разложить на различные множества, компонентами которых являются субгипотезы. Так, например, можно было бы сформулировать гипотезу, выражающую геометрию Евклида как конъюнкцию двух разделов, которые соответственно представляли бы собой евклидов постулат о параллельных и постулаты абсолютной геометрии. А гипотеза, излагающая гиперболическую геометрию, могла бы быть сформулирована в форме конъюнкции абсолютной геометрии и гиперболического постулата о параллельных.

Учитывая составной в логическом отношении характер геометрических гипотез, профессор Гровер Максвелл высказал мысль, что дюгемовский тезис был бы в этой ситуации логичным, если сформулировать его не применительно к фальсифицируемости геометрии в целом, а применительно к фальсифицируемости составляющих ее субгипотез в любой данной системе аксиом. Предлагаемую интерпретацию можно истолковать двояко: во-первых, как утверждение, что любая из составляющих субгипотез не может быть сепаратно опровергнута, исходя из того, что эмпирические данные могут фальсифицировать только систему аксиом в целом, и, во-вторых, в любой данной системе аксиом физической геометрии существует по крайней мере одна из составляющих ее субгипотез, которая допускает сепаратное опровержение.

Первая версия предлагаемой интерпретации не выдерживает проверки. Так, предположим, что H представляет собой гипотезу, излагающую евклидову геометрию, и что мы рассматриваем абсолютную геометрию как одну из ее субгипотез, а евклидов постулат о параллельных — как другую. Теперь, если эмпирические данные могли бы показать, с одной стороны, что геометрия является гиперболической, тогда, конечно, абсолютная геометрия избежала бы окончательного опровержения; но если, с другой стороны, превалирующая геометрия оказалась бы сферической, тогда одна только замена евклидова постулата о параллельных постулатом сферической геометрии не смогла бы спасти абсолютную геометрию от опровержения. Ибо абсолютная геометрия логически несовместима только со сферической геометрией, а следовательно, и с постулируемыми эмпирическими данными.

Если бы кто-то попытался истолковать тезис Дюгема, согласно весьма осторожной второй версии предлагаемой Максвеллом интерпретации, наш анализ логической структуры процесса проверки геометрии в области, лишенной пертурбаций, не мог бы быть представлен как контрпример этой смягченной формы дюгемианства. И вопрос о достоверности этой крайне смягченной версии после нашего анализа остался бы, таким образом, открытым, что в свою очередь не нанесло бы никакого ущерба этому анализу.

Теперь вернемся к критике дюгемианского аргумента Эйнштейна, выдвигаемого при эмпирической детерминации геометрии пространства, в котором имеются деформирующие воздействия.

Когда существуют деформирующие воздействия, законы, используемые для внесения корректив, учитывающих эти деформации, фундаментальным образом опираются на понятия «площадь» и «объем» (то есть эти понятия содержатся в определениях упругих напряжений и растяжений), так что здесь геометрия уже предполагается, как это видно из формул, выражающих площади и объемы в дифференциальной геометрии, куда входит квадратный корень детерминанта компонентов gik метрического тензора. Таким образом, эмпирическая детерминация подразумевает предположение относительно геометрии совместно с некоторыми дополнительными гипотезами. Однако мы уже видели, что данное предположение не может быть адекватно представлено конъюнкцией Н·А в дюгемовской схеме, где Н представляет геометрию.

Теперь предположим, что при корректировке искажений, вызываемых пертурбациями, мы исходим из системы физических законов Ро, сформулированных на евклидовой основе, и используем скорректированный таким образом в евклидовом смысле стандарт конгруэнтности для эмпирического исследования геометрии пространства с помощью определения метрического тензора. Первоначально обусловленное утверждение относительно евклидовой геометрии Go в физических законах Ро, используемое для вычисления уточнений, никоим образом не гарантирует того, что геометрия, полученная с помощью скорректированных стержней, будет евклидовой! Если она неевклидова, то возникает вопрос: какой же подгонки физических законов потребует Эйнштейн, чтобы сохранить евклидовость и избежать противоречий между теоретической системой и экспериментом? Ограничится ли регулировка в Ро, обусловленная сохранением евклидовости геометрии, изменениями в зависимости длины перемещаемого стержня от таких непозиционных параметров, как температура, давление и магнитное поле? Или предполагаемые эмпирические данные могли бы принудить к тому, что для получения совпадений этих данных с требованием евклидовости длина перемещаемого стержня также должна быть непостоянной функцией его положения и ориентации, которые в таком случае являются независимыми переменными? Возможность получения неевклидовых результатов при измерениях, выполняемых в пространственной области, характеризующейся такими однородными стандартными условиями, как температура, давление, напряженности электрического и магнитного полей и т. д., говорит, как мы это сейчас покажем, что крайне сомнительно, чтобы сохранение евклидовости можно было получить за счет введения зависимости длины стержня от таких независимых переменных, как положение и ориентация.

Однако введение последней зависимости представляет собой столь радикальное изменение смысла слова «конгруэнтный», что данный термин обозначает теперь уже класс интервалов, совершенно отличный от первоначального. И такое самовольное изменение, вносимое в семантическую основу термина «конгруэнтный», нарушает требование семантической стабильности, которое, как мы видели в разделе А, является необходимым условием нетривиальности D-тезиса. Теперь подготовим почву для оценки эйнштейновой версии D-тезиса.

Под «дифференциальными» силами Рейхенбах понимает тепловые и другие воздействия на жесткие стержни, искажающие в следующем смысле их совпадения (которые в противном случае являются единообразными): наличие дифференциальных сил делает совпадения стержней (при перемещении) зависящими от их химического состава. Поэтому стандартная физика корректирует эти дифференциальные деформации с помощью поправочных законов, где учитывается тепловое удлинение и т. д. В целях краткости мы будем говорить о жестких стержнях как о «DP-скорректированных», если их длины выверены относительно дифференциальных деформаций D на основе поправочных законов физики Р (physics). DP-скорректиро-ванный парижский стержень действительно свободен от дифференциальных сил. Если Р является стандартной поправочной физикой, тогда обычное соглашение о конгруэнтности может быть установлено условием о самоконгруэнтности DP-скорректированного парижского метрового стержня при его перемещении. И, согласно Рейхенбаху, именно данный стандарт конгруэнтности, который обеспечивается неискаженным дифференциальными силами стержнем (или его эквивалентом), следующим образом составляет основу геометрии стандартной пространственной физики. DP-скоррек-тированные совпадения стержня (или его эквивалента) дают систему gik в пределах обычной индуктивной неточности, присущей ограниченным данным vis-a-vis неограниченного пространства точек.

Рейхенбах отрицал следующее требование D-тезиса: все действительные и возможные эмпирические данные обеспечивают достаточный простор для замены поправочной стандартной физики Р новой физикой Ф, которая гарантирует, что 1) совпадение повсюду самоконгруэнтного БФ-скорректи-рованного стержня всегда будет приводить к предварительно выбранному тензору g'ik , и 2) все деформации Ф-физики являются дифференциальными в рейхенбаховском смысле. Поскольку Рейхенбах сформулировал это отрицание в книге «Возникновение научной философии» («The Rise of Scientific Philosophy», Berkeley, 1951, p. 135), не приводя какой-либо аргументации, мы намерены доказать ошибочность D-тезиса. Предположим, что дюгемианец имеет произвольно выбранный строго определенный евклидов метрический тензор g'ik и намеревается представить гарантию того, что существует поправочная физика Ф, которая должна охватывать как законы, так и граничные условия. Причем и законы и условия в случае некоторой локальной области, такой, как наша поверхность стола, обладают следующими свойствами: 1) конъюнкция произвольно выбранного метрического тензора g'ik (и, следовательно, связанной с ним строго неевклидовой геометрии) с искомой обеспечивает описание совпадений стержня, эквивалентное описанию, базирующемуся на конъюнкции евклидова метрического тензора gik с поправочными законами и граничными условиями Р стандартной геометрии и физики применительно к подобным локальным областям, 2) нестандартный неевклидов метрический тензор gik получается в результате повсеместной самоконгруэнтности DР-скорректированного стержня так же, как и стандартный евклидов метрический тензор gik является результатом самоконгруэнтности DP-скорретированного стержня, и деформации Ф-физики всегда являются дифференциальными в смысле Рейхенбаха. Для того чтобы оценить выполнимость искомой физики Ф, мы рассмотрим относительно простой идеализированный случай, когда наша поверхность стола подвержена только тепловым возмущениям в течение некоторого периода времени и никаких иных дифференциальных сил не существует. Тогда мы должны выяснить правомерность конъюнкции Ф, в которой действует иной закон линейного теплового расширения, с термическими граничными условиями, согласно чему (i) DФ-скорректированный самоконгруэнтный стержень приводил бы к неевклидову метрическому тензору g'ik и Ф-плюс- g'ik описание совпадений стержня было бы эквивалентно с Р-плюс-gik описанием.

Точнее говоря, если на поверхность стола нанесена сетка прямоугольных координат, то пусть g'ik будет метрическим тензором гиперболической метрики ds2 = (dx2+dy2)/y2. Предположим далее, что в то же самое или в какое-то другое время точки на линии у = 1 так же, как и точки на линии у = 2, находятся в условиях стандартной температуры То обычной физики, при которой хранится метровый стержень в Париже, или в условиях какой-то иной идентичной температуры T1 в пределах диапазона ? T, такого, что удовлетворительным в первом приближении является следующий поправочный закон стандартной физики Р:

,

где Lo — длина тела при стандартной температуре; ?T — отклонение от стандартной температуры То; ? — коэффициент зависимости от химического состава стержня и L — длина при температуре То + ?T1. (1 Как мы покажем позднее, аргумент относительно ссылки на приближенное выражение закона является неуместным, ибо данный случай легко обобщить на те формулировки закона, которые допускают температурную зависимость от степени теплового расширения и, следовательно, содержат более чем один коэффициент теплового расширения.)

Будем пользоваться парижским стержнем таким образом, что Lo в нашем примере равно 1 метру. Рассмотрим два положения стержня: в положении 1 он лежит полностью на линии у = 1, и в положении 2 он полностью лежит на линии у = 2. В каждом положении прямоугольные координаты интервалов, с которыми стержень будет совпадать, отличаются друг от друга только по отношению к координате х, так как dy равно нулю.

Каковы будут тогда совпадения парижского стержня вдоль у = 1 и у = 2 соответственно, согласно предполагаемой истинности gik-плюс-P описания, где ds2 = dx2 + dy2? И каким должен быть характер нестандартной физики тепловых явлений Ф, которая должна функционировать в эквивалентном описании, где DФ-скорректированный самоконгруэнтный парижский стержень приводит к гиперболическому тензору g'ik?

Согласно gik-плюс-Р описанию, как на линии у = 1, так и на линии у =2, стержень будет совпадать с интервалами, для которых dx=1, если Т равно Та в каждом из этих мест, а все нетермические дифференциальные силы пренебрежимо малы.

Как же должна отличаться рассматриваемая физика тепловых явлений Ф от стандартной физики Р, о которой речь шла выше, если эти же самые совпадения как в у = 1, так и в у = 2 должны быть в согласии с гиперболической метрикой ds'2 = (dx2 + dy2)/y2? Ф-плюс-g'ik описание пользуется своей собственной шкалой температур Т. Как нам покажет ниже уравнение (2), новая температура T' связана некоторым преобразованием Т' = f (T, хi) с T-шкалой Р-физики, где хi выражает пространственные координаты. Не следует удивляться тому, что значения температуры, определенные по T'-шкале, будут зависеть не только от значений температуры Т в Р-физике, но также и от пространственных координат. Ибо Т-шкала связана с евклидовой пространственной метрикой gik , тогда как T'-шкала связана с метрикой гиперболического пространства g'ik : термометрический ртутный столбик, имеющий одинаковую длину в у=1 и в у = 2 в метрике g'ik , не будет иметь одинаковую длину в этих двух местах в метрике g'ik . И поскольку парижский стержень данной а, который при одной и той же температуре Т, отличной от То, в у = 1, а затем в у = 2 испытывает одинаковое gik-удлинение в этих обоих местах, он не может обладать одной и той же g'ik - длиной ds' в этих двух местах и, следовательно, не оказывается в условиях одинаковой температуры по Т'-шкале.

Если совпадения самоконгруэнтного эталонного парижского стержня удовлетворяют гиперболической метрике в случае ?T' = 0, то только в этом случае интервалы, для которых , могут обладать единичной длиной ds' = 1. Следовательно, Ф-плюс-gik описание утверждает далее, что если единичный парижский метровый стержень не подвергается термической (или какой-либо другой дифференциальной) деформации, то есть если стержень находится в условиях стандартной температуры Т'о по T'-шкале, тогда этот стержень совпадает с dx = 1 при у = 1. И Ф-плюс-g'ik описание утверждает далее, что при условии ?T'=0, то есть при исчезающе малых дифференциальных силах, тот же эталонный стержень совпадал бы с интервалом dx = у на любой линии у =const, где dy = 0. Таким образом, когда ?T' = 0, стержень будет совпадать cdx = 10 на у = 10 и с dx = 100 на у = 100.

Ясно, что любым приращениям координатных интервалов dx и dy, которым евклидова метрика приписывает длины , будут, вообще говоря, приписываться иные длины гиперболической метрикой. Парижский стержень, лежащий на линии у = const, который обладает иной температурой ?T и имеет длину ds =L = 1 + ?·?T в Р-плюс-gik описании, имел бы вообще иную длину ds' = L'= (I + ?·?T)/у в Ф-плюс-g'ik описании. Однако в последнем описании L' также бы задавалось

L'=l+?'·?T',

где ?' и ?T' являются Ф-плюс-g'ik, двойниками ? и ?T. Приравнивая эти два выражения L', мы получаем следующее выражение для деформации L' = 1, испытываемой парижским стержнем

(1)

Это уравнение приводит к следующим решающим результатам.

Рассмотрим пространственные точки, которые находятся в условиях стандартной температуры То Р-физики, так что ?T = 0. В этом случае стержень имеет длину ds = 1 в P-плюс-gik описании и длину L' =1/y в Ф-плюс-g'ik описании. В любой из таких точек пространства (х, у), отличных от тех, которые находятся на у = 1 (или на у = 0), все парижские стержни — независимо от их химического состава — испытывают одинаковую деформацию

под влиянием отклонения ?T' температуры Т' в данной точке от стандартной для Т'-шкалы температуры Т'о. Но это показывает, что в случае ?T = 0 сила, действующая на стержень, которая появляется в результате «термического» с точки зрения Ф-физики отклонения ?T', не является дифференциальной силой!

Решим уравнение (1) для температуры Т' Ф-физики, напомнив, что ?T = Т — То. В таком случае мы получим

(2)

Из этого уравнения T' определяется таким образом, как будто бы является функцией как Р-физической температуры Т, так и пространственной координаты у. На самом деле уравнение (2) показывает, что температура Ф-физики T' будет иметь стандартную величину T'0 в любой точке пространства у, где температура Ф-физики имеет величину

(3)

Ибо Р-физика говорит нам, что именно в точках пространства у, где эта температура Т преобладает, парижский стержень будет совпадать на линии у = const с интервалом, которому метрика приписывает единицу длины. Поскольку условие (3) сводится к Т = То только в y= 1, мы видим, что только в у = 1 Ф-плюс-g'ik и Р-плюс-gik описания могут быть согласны в том, что парижский стержень находится в условиях стандартной температуры, каковой являются Т'о и То соответственно. Ибо только в у = 1 обе метрики могут быть согласны в том, что длина парижского стержня равна единице.

Между прочим, (3) показывает, что температуры по Т-шкале необходимы на линиях, где у велико, чтобы стержень совпадал там с интервалами, имеющими g'ik-длину ds' = 1, они, возможно, не были бы совместимы с сохранением стержня как жесткого тела: поддержание стандартной для Ф-физики температуры То растопило бы (или даже испарило) стержень.

Кроме того, рассмотрим точки на любой данной линии yk, отличной от у = 1. Уравнение (3) говорит нам, что два различных по химическому составу стержня, коэффициенты термического удлинения которых соответственно Р-физике имеют различные значения ?1 и ?2, имея, согласно Т-шкале, различную температуру

и

,

находились бы оба в условиях стандартной для Ф-физики температуры Т'о.

Если парижский стержень находится при стандартной для Р-физики температуре То в какой-либо точке пространства, отличной от у = 1, тогда условие (3) указывает, что в этой же точке он не будет находиться при стандартной для Ф-физики температуре Т'о. И во всех таких точках стержень будет подвержен «тепловой» деформации, чтобы иметь длину ds' = (1/у) ?1 независимо от его химического состава. Следовательно, мы вновь видим, что Ф-плюс-g'ik описание уплачивает следующую цену за попытку обосновать свою физику тепловых явлений Ф на DФ-скорректиро-ванном самоконгруэнтном парижском стержне, который должен обеспечить гиперболический метрический тензор gib на поверхности стола: это описание не допускает оценки своих термических сил» как дифференциальных сил. Этот вывод не противоречит, конечно, тому, что в точке, где Т ? То, так что ?T ? 0, деформация ?' ·?T', испытываемая стержнем, зависит не только от его расположения, но также и от его химического состава. Ибо в этом случае имеется неисчезающая зависимость от ?.

Было бы тщетным пытаться обеспечить дифференциальный характер термических сил Ф-плюс-g'ik описания с помощью уловки, использующей ту же самую шкалу температур Т, что и в Р-физике, и вводя одновременно зависимость от пространства ?' = ?·F(xi)в уравнение L' = l+?'·?T. (4)

Ибо хотя эта уловка и могла бы сработать для ?T ? 0, она приведет к неудаче при ?T = 0. В последнем случае (4) имело бы своим следствием требование, что стержень должен иметь g'ik-длину ds' =1 в любой точке у при тех же стандартных термических условиях, при которых он имеет gik-длину ds = 1.

Однако логически невозможно, чтобы эталонный стержень, находящийся в условиях стандартной температуры То, удовлетворял как евклидовой, так и гиперболической метрике в точках, отличных от у = 1. Чтобы устранить это противоречие и получить g'ik -поведение в ситуации с температурной шкалой Т, было бы необходимо видоизменить (4) следующим образом:

L' = F(xi)[l+?'·?T] (5)

где F (хi) — функция пространственных координат хi, заданных с помощью F (xi) = 1 /у в случае нашей частной гиперболической метрики.

Однако, согласно (5), длина термически недеформированного стержня не является повсюду единой; напротив, длина этого дифференциально недеформированного стержня безотносительно к его химическому составу изменяется точно таким же образом совместно с независимой переменной, выражающей положение в пространстве. И такая ревизия физики тепловых явлений Р является следствием отречения дюгемианца от признания того, что существует эквивалентное описание Ф-плюс- g'ik , где дифференциально недеформированный парижский стержень имеет повсюду одну и ту же длину, то есть повсюду является самоконгруэнтным, что и приводит к гиперболическому метрическому тензору.

Мы должны теперь защититься от попытки спасти дифференциальный характер термических сил, в которых нуждается Ф-плюс- g'ik описание, с помощью введения того, что является новой температурной шкалой Т' только по наименованию и имеет следствием законодательное удаление термического граничного условия ?T= 0 из Р-физики в пользу соответствующего иного условия ?T ? 0 по Т-шкале, поскольку это требуется, чтобы вывести метрический тензор g'ik из описывающего деформации закона (4). Ясно, что такая операция представляет собой недопустимую deus ex machi-па, поскольку такие температурные флуктуации, при которых стандартная температура То преобладала бы в различных точках пространства в то или иное время, нельзя a priori исключать при помощи декрета. Дюгемианец просто не может изобрести такие источники тепла, с помощью которых можно было бы получить тепловые граничные условия, соответствующие совпадениям стержней и удовлетворяющие требованиям его тезиса.

Выше мы видели, ссылаясь на уравнение (1), что в случае ?T =0 сила, действующая на стержень, которая возникает из «теплового» отклонения Ф-физики ?T', не является дифференциальной силой. Ясно, что последовало бы такое же заключение, если бы кто-то захотел приравнять деформацию L' — 1 не одному члену ?' ·AT', как это делается выше, а сумме ряда таких членов

?'?T' + ?'(?T')2 + ?' (?T')3 + ...

Отсюда, видимо, следует, что, по крайней мере, при сверхупрощенных условиях, когда тепловые силы являются только дифференциальными силами, рейхенбаховское отрицание дюгемианского тезиса является правильным.

Итак, чтобы сохранить, евклидов характер пространства, нужно было бы ввести иную метрику в смысле отказа от обычной дефиниции конгруэнтности независимо от каких-либо соображений относительно идиосинкразических возмущений и даже после введения тем или иным путем поправок на них. Однако подобный способ введения новой метрики, хотя он и допустим в иных ситуациях, не обеспечивает нужного подтверждения дюгемианского тезиса Эйнштейна! Так как Эйнштейн выдвинул его в качестве возражения против концепции Рейхенбаха, то тем самым признается, что этот тезис должен доказывать, что геометрию саму по себе нельзя рассматривать как эмпирическую науку, то есть как науку, которая допускает сепаратную фальсификацию даже в том случае, когда мы в соответствии с Рейхенбахом уже убедились, что эмпирический характер достигается путем выбора и последующего сохранения обычной (стандартной) дефиниции пространственной конгруэнтности, что исключает возможность введения иной метрики. Таким образом, легко могут быть получены наблюдаемые данные О', выражаемые с помощью частной дефиниции конгруэнтности (то есть обычной конгруэнтности), которые таковы, что невозможна никакая нетривиальная система А' истинных дополнительных предположений, позволившая бы отстоять евклидову H перед лицом О'. И один только этот результат достаточен, чтобы опровергнуть эйнштейнову версию тезиса Дюгема, согласно которому можно сохранить любую геометрию перед лицом любых экспериментальных данных, полученных исходя из обычной дефиниции конгруэнтности.

Могло показаться, что наш геометрический контрпример против дюгемовского тезиса о неизбежной в данной ситуации фальсифицируемости объясняющих уязвим против следующей критики: «Конечно, точное геометрическое изложение Эйнштейном этого тезиса не исключает возможности спасения его на основе изменения метрики в том смысле, что длина стержня должна быть переменной в зависимости от его положения и ориентации, даже после того как она была уточнена в соответствии с идиосинкразическими возмущениями. Но почему на тезис Дюгема, как таковой, должно накладываться ограничение, присущее его частной версии, которая была предложена Эйнштейном? И почему, следовательно, не позволить Дюгему спасти свой тезис, санкционировав те изменения в дефиниции конгруэнтности, которые связаны с введением иной метрики?»

Наш ответ сводится к следующему: причиной несостоятельности попыток спасти тезис Дюгема на основе подобного изменения дефиниции конгруэнтности в данной ситуации является отнюдь не чрезмерное требование доказать справедливость этого тезиса в рамках его частной версии, предложенной Эйнштейном. Напротив, наложение данного ограничения является здесь вполне законным, и сторонник Дюгема вряд ли мог бы выразить желание отвергнуть его как необоснованное. Ибо суть концепции Дюгема в том и состоит, что H (в данном случае евклидову геометрию) всегда можно сохранить не путем внесения произвольных изменений в главные правила семантики (интерпретационные предложения), связывающие H с наблюдательной основой (то есть правил, точно определяющих частный класс конгруэнтных отрезков и т. д.), а воспользовавшись ссылкой на индуктивную свободу (lattitude), которая открывается перед нами благодаря неопределенности экспериметаль-ного доказательства, и поступить следующим образом: а) оставить фактуальные обязательства H в основном неизменными, сохранив как высказывания H, так и главные правила семантики, связав их термины с наблюдательной основой, и б) заменить множество А множеством А' таким образом, чтобы А и А' были логически несовместимы при наличии гипотезы H. Употребление терминов «главный» (principal) и «основной» (essential) необходимо здесь для того, чтобы устранить возможные возражения, что с логической точки зрения нельзя заменять вспомогательные предположения А предположениями А', не изменив также в некотором отношении и фактуального содержания H. Предположим, например, что кто-нибудь отказался бы от оптической гипотезы А, согласно которой свету потребуется одинаковое время, чтобы пройти конгруэнтные замкнутые траектории в инерциальной системе, в пользу какой-то конкурентной гипотезы. Тогда семантическое соединение термина «конгруэнтные пространственные интервалы» с наблюдательной основой изменится до такой степени, что этот термин уже не будет больше обозначать интервалы, проходимые светом туда и обратно за равные промежутки времени. Однако такое изменение в семантике слова «конгруэнтный» несущественно в данной ситуации, поскольку оно оставляет полностью нетронутым принадлежность к классу пространственных интервалов, который обозначается как класс «конгруэнтных интервалов». Тогда модификация оптической гипотезы в этом смысле оставляет нетронутыми как «главные» правила семантики, которым подчиняется термин «конгруэнтный», так и «основное» фактуальное содержание геометрической гипотезы H, которая основывается на частном классе конгруэнтных интервалов. Это «основное» фактуальное содержание состоит в том, что относительно конгруэнтности, точно определяемой перемещением недеформируемых стержней, геометрия, между прочим, является евклидовой.

Далее, основное фактуальное содержание геометрической гипотезы можно изменить, либо сохранив ее исходное утверждение, изменяя при этом одно или большее количество «главных» правил семантики, либо оставив все правила семантики нетронутыми и изменяя соответствующим образом исходное утверждение гипотезы. Таким образом, мы видим, что при сохранении евклидовой H, с помощью введения иной метрики, правила семантики, которым подчиняется смысл термина «конгруэнтный» (для линейных отрезков), приводит к сохранению не основных фактуальных обязательств исходной евклидовой H, а только ее лингвистических украшений. То, что «сохраненная» таким образом евклидова H на самом деле отрекается, по существу, от фактуальных обязательств исходной евклидовой гипотезы, ясно из следующего: исходная евклидова H утверждала, что в отношении совпадения поведение всех видов твердых стержней является евклидовым, если перемещение этих стержней рассматривается как физическая реализация конгруэнтных интервалов; однако евклидова Я, выдержавшая сопоставление с установленными эмпирическими данными только в силу введения иной метрики, покоится на отрицании именно того утверждения, которое делалось в исходной евклидовой H и которое следовало «сохранить». Это подобно тому, как если бы врач, обнаружив во время операции ошибочность своего априорного диагноза, согласно которому у пациента острый приступ аппендицита, стремился бы следующим образом доказать его справедливость: он бы ввел новое определение, согласно которому «острый приступ аппендицита» обозначает аппендикс в его обычном здоровом состоянии!

Следовательно, границы, в рамках которых сторонник Дюгема должен доказать обоснованность своей нретензии сохранить евклидову H, не допускают никаких изменений в дефиниции конгруэнтности, и только при этом условии его претензия становится логичной с эмпирической точки зрения. Поэтому убедительность критики тезиса Дюгема, которая дана здесь, не зависит от ограниченности, свойственной эйнштейновскому варианту этого тезиса.

Даже независимо от того факта, что тезис Дюгема не допускает введения иной метрики, которое позволило бы ему избежать опровержения в нашем примере с геометрией, сама допустимость введения иной метрики вытекает не из каких-то общих дюгемовских соображений относительно логики процедуры фальсификации, а из свойства, имеющего отношение к предмету исследования геометрии (и хронометрии). Когда в непрерывных многообразиях физического пространства (или времени) интервалам приписывается отношение пространственного (или временного) равенства, то для соглашений все же остается известное поле деятельности.

Предшествующие критические замечания в адрес геометрического D-тезиса не зависят от нашего умения точно определять наличие гарантированной способности установить обычную конгруэнтность.

Однако какой вывод следует из возможности действительно вывести (в пределах точности эксперимента) уникальную основную геометрию из системы гипотез, которые входят в проверочные процедуры?

Коль скоро мы отказались от каких-либо иных дефиниций конгруэнтности, которыми пользовался Пуанкаре, то вопреки Дюгему и Эйнштейну геометрию саму по себе можно сделать эмпирической наукой. И это видно из следующих возможностей успешного эмпирического построения геометрии. Предположим, что после построения неевклидовой геометрии G1 с помощью измерений, осуществленных стержнями, которые корректируются сформулированными на основе евклидовой геометрии физическими законами Ро, мы можем так пересмотреть Ро, чтобы они удовлетворяли неевклидовой геометрии G1 которая только что получена нами путем измерений. Эта обратная ревизия Ро привела бы к пересчету на основе G1 таких величин, как площади и объемы, и к изменениям функциональных зависимостей, связывающих их с температурой и другими физическими параметрами. Обозначим с помощью Р'1 систему физических законов Р, которая получена в результате такого пересмотра Ро и которую нам нужно объединить с геометрией G1. Далее, поскольку различные физические величины, являющиеся ингредиентами Р'1, содержат в себе и длину и длительность, мы используем эту систему Р'1 для уточнения стержней (и часов) с тем, чтобы после такого уточнения эти стержни и часы удовлетворяли системе Р'1. Если же это не достигается, то необходимо произвести такую модификацию в данной системе законов, чтобы функциональные зависимости между величинами, составляющими эту систему, отражали новые стандарты пространственной и временной конгруэнтности, которая определяется стержнями и часами, уже уточненными согласно Р'1. Таким образом мы получаем новую систему физических законов Р1. Теперь используем эту систему законов P1 для внесения поправок в длины стержней применительно к тем деформирующим воздействиям, которые они испытывают, и затем определим геометрию с помощью уточненных таким образом стержней. Предположим, что в результате получается геометрия G2, отличная от G1. Тогда, если после неоднократного повторения этого процесса, разбитого на два этапа, существует сходимость к геометрии постоянной кривизны, то мы должны продолжать повторение этого процесса еще некоторое, но конечное, число раз до тех пор, пока не придем к следующему: геометрия Gn, которая входит в законы Рп и обеспечивает основу корректировки относительно деформаций, является той же самой (в пределах точности эксперимента), что и геометрия, полученная путем измерений, производимых с помощью стержней, которые были уточнены с помощью системы Рп.

Если вообще имеется такая сходимость, то геометрия Gn может быть одной и той же даже в том случае, если физические законы, используемые для внесения первоначальных поправок, являются не законами системы Ро, которая предполагает евклидову геометрию, а законами какой-то другой системы Р, основанной на той или иной неевклидовой геометрии. Таким образом, здесь может быть только одна такая геометрия постоянной кривизны Gn, идентичная уникальной основной геомерии Gt, которая характеризуется следующими свойствами: 1) Gt могла бы быть установлена путем совпадения перемещаемых стержней в том случае, если бы все пространство в целом было на самом деле свободно от деформирующих воздействий; 2) Gt была бы получена путем измерений, которые осуществляются с помощью стержней, уточненных относительно возмущений на основе физических законов Pt, предполагающих Gt , и 3) можно было бы обнаружить, что Gt превалирует в данной, относительно небольшой, свободной от пертурбаций области пространства совершенно независимо от предполагаемой геометрии, которая является ингредиентом уточняющих физических законов. Следовательно, если наш метод последовательных приближений сходится на геометрии Gn постоянной кривизны, тогда Gn может быть этой уникальной основной геометрией Gt . И в таком случае мы могли бы утвержать, что мы эмпирически с обычной индуктивной неуверенностью нашли Gt , то есть ту геометрию, которая на самом деле превалирует во всем том пространстве, которое мы исследуем.

А что, если никакой сходимости не существует? Ведь может случиться так, что поскольку для получения сходимости нужно начинать с уточнений, основанных на системе физических законов Ро, то ее нельзя было бы достигнуть в том случае, если бы уточнения начинали, исходя вместо этой системы законов из какой-то иной частной неевклидовой системы Р, и наоборот. Именно так это и происходит в случае ньютонова метода последовательных приближений1 (1 Р. Курант, Курс дифференциального и интегрального исчислений, Гос. техн,-теор. изд., М.—Л., часть I, 1933, стр. 309—312.) , где имеются условия, на что обратил мое внимание А. Сане, при которых не будет никакой сходимости. Тем не менее, если наше пространство имеет постоянную кривизну, мы могли бы следующим образом добиться успеха в нахождении эмпирическим путем геометрии Gt . Геометрия Gr , вытекающая из измерений, осуществленных с помощью уточненного стержня, является однозначной функцией геометрии Ga , предполагаемой в поправочных физических законах, и лапласовский гений, который обладает достаточными знаниями о происходящих в мире фактах, знал бы и эту функцию Gr = (Ga). В соответствии с этим мы можем сформулировать проблему эмпирической детерминации геометрии как проблему нахождения некоторой точки пересечения между кривой, представляющей эту функцию, и прямой Gr = Ga; если существует одна и только одна такая точка пересечения, то мы нашли определенную выше геометрию Gt , свидетельствующую о том, что наше пространство есть пространство постоянной кривизны. Таким образом, нам сейчас нужно найти определения Gr , соответствующие числу различных с геометрической точки зрения систем уточняющих физических законов Ра, и вывести наиболее приемлемую кривую Gr = f(Ga) с помощью этого конечного числа точек (Ga, Gr ), а затем найти точку пересечения этой кривой и прямой линии Gr = Ga . Ответ на вопрос, будет ли эта точка пересечения представлять евклидову геометрию или нет, находится вне сферы наших соглашений, запрещающих введение иной метрики. И таким образом, мы можем по крайней мере сделать вывод, что, поскольку эмпирические данные весьма сужают степень неопределенности превалирующей геометрии, ничто на гарантирует существование той свободы выбора геометрии, которую Эйнштейн, следуя D-тезису, считал само собой разумеющейся. Дюгемианская позиция Эйнштейна была бы, по-видимому, неуязвима для этих дополнительных критических замечаний только в том случае, если предлагаемый нами метод детерминации геометрии, исходя из нее же самой, не допускает эмпирического обобщения, которое позволило бы распространить его на случай общей теории относительности с пространством переменной кривизны, и если бы была доказана истинность этой теории. Распространение нашего метода на случай геометрии пространства переменной кривизны является далеко не простым делом, ибо здесь геометрия G больше не представляется единственным скаляром, который задается гауссовой кривизной, и наш графический метод оказывается неприменимым. Однако последовательность геометрий может быть содержательным образом сведена к геометрии переменной кривизны. И поэтому понятие сходящейся последовательности геометрий не нужно ограничивать геометриями постоянной кривизны, каждая из которых может быть представлена единственным числом (гауссовой кривизны). Ибо в случае переменной кривизны может существовать сходимости к частному множеству функций gih в следующем смысле: в каждой точке пространства существует сходимость к некоторому частному значению для каждого gik , если последнее не зависит от времени.

Если было бы доказано, что предлагаемый нами метод, позволяющий избавиться от дюгемовскои неопределенности, несостоятелен, и если бы случилось так, что нельзя найти никаких других убедительных в научном отношении путей, чтобы избавиться от этой неопределенности, тогда, как мне кажется, мы должны были бы неизбежно смириться с наличием этой относительно широкой неопределенности. Нет, говорит философ Жак Маритен, который призывает нас не падать духом. Если наука не может дать нам правильного геометрического описания внешней реальности, то отсюда еще не следует, говорит он, что философия независимо от математической физики не может вывести нас из лабиринта дюгемианских сложностей и раскрыть структуру того, что он называет ens geometricum reale (единственная геометрическая реальность). В отличие от концепции Маритена относительно способности философии как инструмента познания я бы хотел поддержать следующее превосходное заявление профессора Бриджмена: «Физик не сказал бы, что его знание, по-видимому, не дает полного понимания реальности по той причине, что, кроме того познания, с которым он имеет дело, имеются еще и другие виды знания». Чтобы объяснить, почему я в данной ситуации согласен с этим высказыванием профессора Бриджмена, я дам краткую критическую оценку философии геометрии Маритена, которая изложена в его книге «Ступени познания».

Я выбрал для опровержения взгляды Маритена именно потому, что эта концепция типична для тех, кто полагает, что философ, как таковой, имеет в своем распоряжении средства для понимания структуры внешней реальности, которые не доступны ученому. В общих чертах линия рассуждений Маритена относительно геометрии состоит в следующем. Он говорит: «Нет никакого более ясного слова, чем слово «реальность», которое означает, что что-то есть... Какой смысл имеет вопрос, является ли реальное пространство евклидовым или неевклидовым...?» Прежде чем ответить на этот вопрос, он дает такое разъяснение: «Слово реальный имеет не одно и то же значение для философа, математика и физика... Для физика пространство «реально», когда геометрия, которой оно соответствует, допускает построение физико-математического универсума, соответствующим образом полностью символизирующего физические явления, и где все градуированные показания наших приборов находят «объяснение» сами собой. Очевидно, что с этой точки зрения никакой вид пространства не получает какого бы то ни было привилегированного положения. Однако... теперь встает вопрос, каким является реальное пространство в философском значении этого слова, то есть как «реальная» сущность... обозначающая предмет мысли, способный к существованию вне психического (extra-mental)...». Здесь сразу же возникает недоумение, почему Маритен считает, что его различение между физически реальным пространством и философски реальным пространством, которое прямо признается им внепсихическим, не является пустым, то есть не выражающим никакого различия. И это недоумение не только не исчезает, а, наоборот, усиливается, когда он говорит нам, что под внепсихическими геометрическими свойствами существования тел он понимает «те свойства, которые разум узнает при элиминации всего физического». Но отложим пока приговор относительно этой трудности и посмотрим, не проясняется ли ответ на следующий вопрос, поставленный самим Маритеном: как мы можем узнать, евклидовой или неевклидовой геометрией выражается структура реального с философской точки зрения, то есть внепсихического, или внешнего, пространства? По этому поводу он высказывает такие соображения.

Во-первых, способность физических измерений дать ответ на этот вопрос равна нулю, потому что геометрия уже предполагается в теории наших измерительных инструментов, на ее основании вносятся поправки, учитывающие «второстепенные изменения, являющиеся следствием различных физических обстоятельств». На самом деле мы видим, что это утверждение является по форме строго дюге-мианским, хотя Маритен и не ссылается на Дюгема.

Во-вторых, непротиворечивость различных неевклидовых геометрий зависит от их формальной переводимости в евклидову геометрию. На эту переводимость оказывает влияние создание евклидовой модели определенной частной неевклидовой геометрии в смысле вложения соответствующим обра-дом искривленной неевклидовой поверхности в трехмерное евклидово пространство. И привилегированное положение, которым пользуется евклидова геометрия как гарант непротиворечивости неевклидовых геометрий, является, таким образом, в свою очередь результатом соответствующей зависимости интуитивной ясности (intuitability) неевклидовых геометрий от более фундаментальной (primary) интуитивной ясности евклидовости трехмерного гиперпространства, в которое они вкладываются.

Используя двойную аргументацию с точки зрения непротиворечивости и интуитивной ясности, Маритен приходит к следующему конечному выводу.

Неевклидовы пространства могут в таком случае без малейшего внутреннего противоречия быть предметом рассмотрения разума, однако было бы противоречивым предполагать их существование вне разума, поэтому не следует допускать, что существуют какие-либо основания, на которые опирается понятие неевклидовых пространств.

И так и эдак мы склонны допустить, что эти неевклидовы пространства, несмотря на то, что ими пользуется астрономия, являются рациональными [то есть чисто мысленными] сущностями и что геометрические свойства существующих тел, познаваемые разумом при элиминировании всего физического, являются свойствами, характеризующими евклидово пространство. Для философии именно евклидово пространство представляется как некое ens geometrician reale (единственная геометрическая реальность).

Мы осмеливаемся утверждать, что тезис Маритена ошибочен по существу и его следует полностью отвергнуть по следующим соображениям.

Как это было разъяснено Гильбертом и Бернайсом, непротиворечивость евклидовой системы аксиом не есть следствие ее собственного интуитивного правдоподобия как адекватного описания пространства нашего непосредственного физического окружения. Напротив, мы устанавливаем непротиворечивость евклидовой геометрии, построив модель формальных евклидовых постулатов в области вещественных чисел с помощью методов аналитической геометрии4 (4См.: L. P. E i s e n h a r t, Coordinate Geometry, New York: Dover Publications, I960, приложение к главе первой, стр. 279— 292.) . Далее, Маритен упускает из виду, что точно такую же методику построения модели в вещественных числах можно использовать для установления внутренней непротиворечивости различных неевклидовых геометрий, не задумываясь над предварительным переводом их в евклидову геометрию (кроме возможных случаев, когда это имеет эвристический смысл, но которые к данной проблеме отношения не имеют). Его ввел в заблуждение тот факт, что исторически непротиворечивость различных неевклидовых геометрий была установлена с помощью перевода их в евклидову геометрию, как, например, в доказательстве Клейном непротиворечивости гиперболической геометрии с помощью модели, представленной внутренней стороной окружности на евклидовой плоскости. Ибо бесспорный временной приоритет евклидовой геометрии, свойственный тем историческим обстоятельствам, в которых была установлена внутренняя непротиворечивость различных неевклидовых геометрий, сильно способствовал установлению логического приоритета евклидовой геомерии как единственного гаранта их непротиворечивости. И ошибка Маритена на этот счет только усугубляется его апелляцией к интуитивной ясности положения об исключительном характере геометрии Евклида как единственно возможной структуры реальности, существующей вне мысли. Последний аргумент опровергается тем, что он представляет собой глубоко укоренившееся заблуждение, которое является следствием ошибочной операции дополнительного вложения в евклидово гиперпространство, которое характеризуется терминами «искривленное пространство» и «кривизна поверхности». Это дополнительное вложение обусловлено непониманием того, что гауссова кривизна двухмерного пространства и риманова кривизна различных ориентации в точках трехмерного пространства являются определенными и различными свойствами, внутренне присущими этим пространствам, и не нуждаются ни в каком вложении. Более того, Маритен упускает здесь из виду, что даже в том случае, когда доказательство непротиворечивости, например, гиперболической геометрии, дается на базе евклидовой геометрии (что, как мы видели, отнюдь не необходимо), оно может быть выполнено, не прибегая к вложению, как в вышеупомянутом случае двухмерной модели Клейна, так и в методике Бельтрами, где пространство постоянной отрицательной гауссовой кривизны (содержащее сингулярные линии) влагается в евклидово трехмерное пространство.

И, наконец, нельзя утвержать, что «геометрические свойства существующих тел» представляют собой «те свойства, которые разум познает при элиминировании всего физического». Ибо в таком случае геометрия изучала бы чисто воображаемые мысленные объекты, которые, конечно, должны были бы иметь евклидовы свойства, если воображение Маритена задает их таким образом. И геометрию такого воображаемого пространства нельзя было бы тогда квалифицировать как геометрию реального, с точки зрения Маритена, или внепсихического пространства. Геометрическая теория внешней реальности абстрагируется в самом деле от большого класса физических свойств в том смысле, что она изучает совпадение перемещаемых твердых тел с метрической точки зрения независимо от специфически физических свойств материалов, из которых состоят эти твердые тела. Однако это своего рода абстрагирование не лишает физического характера поведение стержней в отношении их совпадений. И если с помощью методов, которые применяются физиками, нельзя понять законы этого поведения, то в таком случае никакой иной вид интеллектуального исследования также не добьется успеха.

Верно, конечно, что, даже помимо экспериментальных ошибок, не говоря уже об ограничениях степени точности измерений, накладываемых квантовой теорией, с помощью которых может быть содержательным образом установлен метрический тензор пространства-времени, никакое конечное число данных не может единственным образом определить функцию, составляющую отображения gik метрического тензора в любой данной системе координат. Однако критерий индуктивной простоты, который управляет свободным творчеством воображения геометра при выборе им частного метрического тензора, является тем же самым, которым пользуются при разработке теорий в любом не геометрическом разделе эмпирической науки. И выбор, который делается на основе такой индуктивной простоты, является в принципе истинным или ошибочным в отличие от выбора, вытекающего из соображений описательной простоты, который отражает только соглашения.