Б. «Относительность геометрии»

Мы сейчас покажем, что данное утверждение является ошибочным: мы покажем, что, кроме обычной дефиниции конгруэнтности, которая повсюду приписывает одинаковую длину измерительному стержню и тем самым евклидову геометрию поверхности обычного стола, имеется бесконечно много других дефиниций конгруэнтности. Они точно так же дают в итоге евклидову геометрию для этой поверхности, однако несовместимы с обычным определением, поскольку делают длину стержня зависящей от его ориентации и (или) положения.

Рассмотрим горизонтальную поверхность стола, снабженную сетью декартовых координат х и у, но теперь метризуем эту поверхность с помощью нестандартной метрики

,

где sec2 ? является константой большей, чем 1. В отличие от стандартной метрики эта метрика приписывает интервалу, координаты которого отличаются на dx, не длину dx, а большую длину sec?dх, приписывая одновременно длину dy интервалу, координаты которого различаются только на dy. Хотя, согласно этой метрике, длина данного стержня в данном случае становится зависимой от его ориентации, мы покажем, что возможно бесконечное количество различных нестандартных конгруэнтностей, обусловленных значениями sec ?, превышающими 1, причем каждая из них придает поверхности стола евклидову геометрию с таким же успехом, как и стандартная конгруэнтность, которая задается через ds2 = dx2 + dy2.

В соответствии с этим наше доказательство покажет, что требование евклидовости не определяет однозначным образом класс конгруэнтных интервалов, но допускает бесконечное множество несовместимых конгруэнтностей. Мы должны будем доказать, что существует бесконечно много способов, какими будет изгибаться стержень при транспортировке на плоской поверхности по сравнению с его обычным де-факто поведением, сохраняя в то же время евклидову геометрию для этой поверхности.

Чтобы представить требуемое доказательство, мы, прежде всего, отметим, что геометрия, получаемая в результате частной метризации, очевидно, не зависит от частных координат, в которых эта метризация выражается. И, следовательно, если бы мы выразили стандартную метрику

с помощью штрихованных координат х' и у', задаваемых преобразованиями

х = х' sec ?,

y=y',

получая при этом

мы получили бы, как и прежде, евклидову геометрию, поскольку последнее уравнение выражало бы только первоначальную стандартную метрику с помощью штрихованных координат. Таким образом, когда один и тот же инвариант выражается с помощью как штрихованных, так и не-штрихованных координат, метрические коэффициенты gik, задаваемые sec2 ?, 0 и 1, дают в результате евклидову геометрию с таким же успехом, как и нештрихованные коэффициенты 1, 0, и 1.

Далее, это элементарное дополнительное заключение позволяет нам увидеть, что следующая нестандартная метризация (или реметризация) поверхности с помощью первоначальных, нештрихованных прямоугольных координат должна точно так же приводить к евклидовой геометрии

ds2 = sec2 ?dx2+dy2.

Ибо значение гауссовой кривизны и, следовательно, преимущественной геометрии зависит не от частных координат (штрихованных или нештрихованных), к которым относятся метрические коэффициенты gik а только от вида функции gik1 (1 Ф. Клейн, Неэвклидова геометрия, М.—Л., 1936, стр. 306.) , который здесь одинаков со случаем g'i k , рассмотренным выше.

Следовательно, с более общей точки зрения геометрия, являющаяся результатом стандартной метризации, обеспечивается также следующей нестандартной метризацией пространства точек, выражаемой с помощью тех же самых (нештрихованных) координат, что и стандартная метризация: для нестандартной метризации характерны нештрихованные метрические коэффициенты gik, имеющие ту же самую функциональную форму (в пределах произвольной константы, обусловленной выбором единицы длины), что и штрихованные коэффициенты, которые получаются, когда стандартная метрика выражается в той или иной системе штрихованных координат с помощью соответствующих преобразований. Ввиду большого разнообразия допустимых преобразований координат сразу же можно сделать вывод, что класс нестандартных метризации, приводящих к евклидовой геометрии поверхности стола, гораздо шире, чем класс, задаваемый уравнением

(где sec2 ? > 1), который сам уже является бесконечным. Таким образом, имеется, например, тождество по форме между функциями, выражающими стандартную метрику в полярных координатах, которая задается

,

и функциями, выражающими нестандартную метрику в декартовых координатах, которая задается

,

поскольку х играет с формальной точки зрения ту же самую роль, что и р; это же можно сказать об у и ?. Следовательно, последняя, нестандартная, метрика имеет результатом евклидову геометрию так же, как к этому приводит и прежний стандарт.

Ясно, что разнообразие метризации, которое мы доказали для евклидовой геометрии, в равной степени имеет место для каждой из неевклидовых геометрий. Неспособность геометрий двух или более измерений установить однозначным образом дефиницию конгруэнтности не имеет, однако двойника в одномерном временном континууме: требование, чтобы законы Ньютона имели силу в их обычной метрической форме, однозначно устанавливает дефиницию временной конгруэнтности. И, следовательно, можно, полагаясь на закон инерции трансляционного или вращательного движения, определить временную метрику или «однородное время».

Опираясь на этот результат, мы можем теперь показать, что ряд утверждений Рейхенбаха и Карнапа являются ошибочными.

1) В 1951 году Рейхенбах писал, как уже упоминалось в начале этого раздела: «Если мы изменяем координативную дефиницию конгруэнтности, то в результате получаем иную геометрию. Этот факт именуется относительностью геометрии». Ошибочный характер этого утверждения очевиден из того, что если в нашем примере с поверхностью стола мы заменим нашу дефиницию конгруэнтности ds2 = dx2 + dy2 одной из бесконечного множества других дефиниций, несовместимых с ней, которая выражается формулой ds2 = sec2 ?dx2 + dy2, то в результате получим ту же самую евклидову геометрию. Таким образом, вопреки Рейхенбаху введение не обращающейся в нуль универсальной силы, что соответствует введению какой-то иной конгруэнтности, не гарантирует изменения геометрии. Напротив, правильная формулировка относительности геометрии состоит в том, что функция ds, содержащая дефиницию конгруэнтности, однозначным образом определяет геометрию, но не наоборот, и что любая из дефиниций конгруэнтности, приводящая в результате к геометрии G', всегда может быть заменена бесконечно многими соответствующими конгруэнтностями иного вида, которые дают в результате иную геометрию G. Ввиду того, что геометрия однозначно фиксируется определением конгруэнтности в смысле фактов совпадения, отказ от данной геометрии в пользу иной геометрии, конечно, требует изменения и в дефиниции конгруэнтности. И новая дефиниция конгруэнтности, от которой ожидают, что она обеспечит новую искомую геометрию, может быть предложена одним из следующих двух способов: 1) установлением системы геодезических линий, отличной от системы, получающейся в результате первоначальной дефиниции конгруэнтности, или 2) если геодезические линии, устанавливаемые новой дефиницией конгруэнтности, такие же, как и связанные с первоначальной, тогда должна быть иной конгруэнтность углов1 (1 Спецификация величин, приписываемых углам компонентами gik метрического тензора, была дана в первой главе в разделе В.), то есть новая дефиниция конгруэнтности должна потребовать иного класса конгруэнтности углов2 (2 По поводу других общих теорем, которым подчиняется так называемое «геодезическое соответствие» или «геодеэическо_е отображение», имеющих отношение к нашей теме, см.: L.

Что положение 2) дает подлинную возможность для получения иной геометрии, очевидно из следующего примера отображения сферы геодезических на плоскость. Такое отображение дает нам возможность заметить два несовместимых определения конгруэнтности:

и

В результате мы будем иметь одну и ту же систему геодезических линий, выраженных уравнениями и , устанавливая тем не менее различные геометрии (гауссовой кривизны), так как они требуют несовместимых классов конгруэнтных углов, пригодных для каждой геометрии соответственно. Горизонтальная поверхность, представляющая собой евклидову плоскость, согласно обычной метризации, может быть метризована так, что она будет иметь геометрию полусферы, получающейся путем проектирования на плоскость из центра сферы через ее нижнюю половину, причем южный полюс сферы покоится на этой плоскости. Отрезки и углы на горизонтальной поверхности, именуемые конгруэнтными, являются соответственно проекциями равных отрезков и углов на нижнюю полусферу, дуга большого круга полусферы отображается в прямые евклидовы линии плоскости, так что каждая прямая евклидова описания является также прямой (геодезической) новой полусферической геометрии, приписываемой горизонтальной поверхности 1 (1 Математические подробности см. в; D. J. S t r u i k, Differential Geometry, p. 179.). Однако линейные отрезки на этих двукратных геодезических, которые, согласно новой метрике, оцениваются как конгруэнтные, оказываются неконгруэнтными, согласно стандартной метрике, и углы на горизонательной поверхности, конгруэнтные, согласно новой метризации, не являются таковыми в первоначальной метризации, имеющей результатом евклидово описание. Описание с помощью новой метризации конгруэнтности углов, связанной с первоначальной, может быть сделано, очевидно, следующим образом.

Рассмотрим два треугольника ABC и А'В'С, которые определяются как подобные в евклидовой геометрии с первоначальной метризацией, так что А = А', В = В' и C= С'. Поскольку в данном случае геодезические новой метризации, то есть связанной с ней неевклидовой (сферической) геометрии, те же самые, что и геодезические евклидовой геометрии, треугольники ABC и А'В'С' по-прежнему будут прямолинейными треугольниками согласно новой метризации. Но поскольку в сферической геометрии положительной гауссовой кривизны, получаемой в результате новой метризации, не существует никаких подобных треугольников, треугольники ABC и А'В'С больше не являются подобными, согласно новой метризации, хотя и остаются по-прежнему прямолинейными. Следовательно, согласно новой метризации, первоначальная конгруэнтность углов не может быть больше получена.

Однако следует отметить, что, если изменение в дефиниции конгруэнтности сохраняет определенные геодезические линии, ее выход в иной класс конгруэнтных углов является только необходимым, но не достаточным условием, чтобы придать поверхности метрику, отличную от той, которая была обусловлена исходной дефиницией конгруэнтности. Этот факт становится очевидным, если напомнить пример с поверхностью стола, являющейся моделью евклидовой геометрии, согласно как обычной метрике ds2 = dx2 + dy2, так и иной метрике : геодезические, так же как и геометрии, полученные на основании этих несовместимых метрик, одинаковы, однако углы, конгруэнтные согласно новой метрике, вообще неконгруэнтны согласно исходной метрике. Ибо эти две метрики данной поверхности не связаны конформным преобразованием, как оно определено в разделе В первой главы, н конформное отношение между этими двумя метриками является необходимым, а не только достаточным условием для тождества связанных с ними конгруэнтностей углов. Также просто можно показать, что эти две метрики дают в итоге несовместимые классы конгруэнтных углов, хотя геометрии, связанные с ними, являются одинаковыми: евклидовы треугольники, равносторонние согласно новой метрике , не будут равносторонними согласно обычной метрике ds, и, следовательно, все три угла такого треугольника будут конгруэнтны трем другим углам треугольника в прежней метрике, но не в новой.

Теперь ясно, что произвольное изменение дефиниции конгруэнтности, как таковое, либо для линейных отрезков, либо для углов, либо для тех и других не может гарантировать различных геометрий.

2) В своем ответе на утверждение Гуго Динглера, что жесткое тело однозначным образом определяется геометрией и только ею, Рейхенбах ошибочно соглашается с тем, что геометрия достаточна для того, чтобы определить конгруэнтность, и оспаривает только утверждение Динглера, что она является также необходимой3 (3 В четвертой главе мы дадим оценку заслуг Рейхенбаха, который отрицал необходимость геометрии, обосновывая это тем, что жесткость может быть определена элиминированием дифференциальных сил.).

Карнап обсуждает зависимость между а) метрической геометрией, которую он обозначает символом R в этом немецком издании, б) топологией пространства (и фактами совпадений стержня в нем), которая обозначается символом Т (Tatbestand— обстоятельства дела), и в) метрикой М (Mass-setzung — введение меры), которая содержит дефиницию конгруэнтности и задается функцией (и выбором единицы измерения), о чем уже говорилось в начале этой главы5 (5Хотя как карнапова метрика М, так и функция расстояния ds = ~[/gibdxldx11 могут обеспечить дефиницию конгруэнтности, их нельзя вывести дедуктивно друг из друга, если нет никакой информации относительно совпадений стержня в рассматриваемом пространстве.).

И делает вывод, что функциональные отношения между R, М и Т таковы, что «если даны две из них, то тем самым дано и абсолютно однозначное определение третьей». В соответствии с этим

R=Ф1 (M, T),

M=Ф2 (R, T),

T=Ф3 (M, R).

Несмотря на то, что первая из этих зависимостей имеет силу, наш пример, когда с помощью каждой из двух несовместимых дефиниций конгруэнтности поверхности стола придавалась евклидова геометрия, показывает, что не только вторая, но также и третья зависимости Карнапа не имеют силы. Ибо одно только установление, исходя из М, следствия, что стержень будет повсюду называться конгруэнтным самому себе, и определение R как евклидовой еще не говорят о том, будут ли совпадения стержня T на поверхности стола именно такими, как если бы он совпадал с интервалами, равными, согласно формуле ds2 = dx2 + dy2, или с иными интервалами, равными на основе одной из метризации (где sec2 ? > 1). Иными словами, установленная спецификация М и R не говорит нам о том, будет ли стержень вести себя именно так, как мы знаем о его поведении в действительности, или же он будет изгибаться любым из бесконечного множества способов по сравнению с его действительным поведением.

3) Как следствие нашего доказательства неоднозначности дефиниции конгруэнтности мы можем показать ошибочность следующего утверждения Рейхенбаха: «Если мы говорим, что геометрия G действительно применима, но измерения дают нам геометрию G', мы в то же время определяем силу F, которая вызывает различие между G и G'»1. Используя наши первоначальные обозначения отметим, во-первых, что вместо однозначного (вплоть до произвольной постоянной) определения метрического тензора g'ik геометрия G определяет бесконечный класс а таких тензоров, которые отличаются друг от друга еще и тем, что они пропорциональны друг другу. Однако, поскольку Fik = gik — g'ik (где g'ik получаются с помощью стержней до того, как они «деформируются» какими-либо универсальными силами), неспособность G определить однозначным образом тензор gik (вплоть до произвольной постоянной) выражается в том, что универсальных сил Fik , будет столько, сколько будет различных тензоров gik в классе ?, определяемом геометрией G. Мы видим, следовательно, что вопреки Рейхенбаху существует бесконечное множество различных способов, при которых измерительный стержень может оставаться «деформированным», обеспечивая в то же время одну и ту же геометрию G.

Эти критические замечания в адрес Рейхенбаха не могут повлиять существенным образом на весьма положительную оценку его вклада в философию геометрии. Однако, что касается логического анализа понятия пространства, как оно трактовалось со времени появления теории относительности Эйнштейна, эта оценка несколько отличается от следующего вывода, к которому пришел Хаттен. «К тому толкованию, которое имеет место, например, в книге Рей-хенбаха, относительно философии пространства и времени, ничего нельзя добавить, за исключением некоторых изменений в терминологии».