5. Евклидова аксиома параллельных линий

>с

Ш-—У

Рис. 12. на одной стороне от Л, то они должны также пересечься и на другой стороне; но это невозможно, потому что тогда были бы две точки С и С', соединенные двумя прямыми линиями g и g'\ следовательно, прямые линии g и g' никогда не смогут пересечься друг с другом.

Как мы можем доказать, что сумма углов треугольника равна 180°? Заметим, что вышеприведенное доказательство не говорит, что только тогда, когда две линии g и g' пересекают линию h под одним и тем же углом а, эти линии никогда не пересекутся. Линия g' может пересекать линию h также и под каким-либо углом а? (не равным углу а, под которым линия g пересекает линию /г), и все же g и g' могут никогда не пересечься. Однако для того, чтобы получить теорему о сумме углов треугольника, мы должны воспользоваться допущением, что только в том случае, когда линии g и g' пересекают линию h под одним и тем же углом а, они никогда не пересекутся (рис. 13). В таком случае мы говорим, что g' «параллельна» g. Наше допущение называется «евклидовой аксиомой», или «аксиомой о па-

и только одна прямая линия g\ «параллельная» g. Как g, так и gf пересекают к под одним и тем же углом а.

Рис. 14.

Теперь мы готовы к доказательству теоремы о сумме углов любого треугольника. Возьмем треугольник ЛВС и через вершину С проведем линию, параллельную основанию АВ. Поскольку g параллельна g\ постольку АС пересекает g и g' под конгруэнтными углами а (рис. 14) . ВС пересекает g и g' под конгруэнтными углами {3, Поскольку g' есть прямая линия, постольку угол а + угол т + угол {3—180°, или двум прямым углам. Но эти углы те же самые, что и в треугольнике, так что, какой бы треугольник мы ни взяли, сумма углов а + 0 + = 180°, или двум прямым углам. Для того чтобы прийти к этому заключению, нам, очевидно, необходима аксиома Евклида. Сначала мы доказали, что если две прямые линии g и gf пересекают линию h под одним и тем же углом а, то они никогда не смогут пересечься друг с другом. Но в этом нашем доказательстве мы использовали теорему, что если две прямые линии g и gf пересекаются, то они должны пересекать поперечную линию под одним и тем же углом. Иначе может существовать линия g", которая пересекает .Л под другим углом и все же никогда не пересечется с g. Для исключения этой возможности мы должны воспользоваться евклидовой аксиомой: линия g't пересекающая другую прямую под тем же самым углом, что и линия g, есть единственная линия, которая никогда не пересечется с g.

Это очень важный момент. Теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180°, предполагает выполнение евклидовой аксиомы. Она играет особую роль для разных выводов. Мы увидим, что если эту аксиому не принять, то нарушается не только закон относительно суммы углов треугольника, но, гораздо больше того, рушатся и наши взгляды на вселенную.

Поскольку сумма углов любого треугольника равна 180°, постольку мы получаем малый треугольник CDE с теми же самыми углами, что и в большем треугольнике ABC. Эти два треугольника имеют одну и ту же форму, потому что они имеют одни и те же углы, но отличаются друг от друга по величине. Если бы мы не знали, что аксиома о параллельных линиях истинна, или если бы мы знали, что она не истинна, мы не могли бы построить этого доказательства. Таким образом, если аксиома о параллельных линиях не верна, то мы не можем доказать существования подобных • фигур. Эти два положения исключают друг друга.

Но можем ли мы доказать, что аксиома о параллельных линиях истинна? По-видимому, не можем, С

Рис. 15.

А

иначе она не была бы аксиомой. В таком случае логически мы можем сформулировать противоположную аксиому. Что следует из того, что углы треугольника в сумме не равны 180°? Одно мы можем определить сразу, без сложных вычислений. Возьмем равнобедренный треугольник ABC (рис. 16). Если сумма углов равна

180°, то угол ABC = 60°. Теперь разделим треугольник на две равные части, опустив медиану из вершины С. Вопрос в следующем: будет ли сумма углов в каждом из малых треугольников та же, что и в большом? Ответ будет утвердительный, поскольку 60° + 30° + 90° = 180°. Если мы теперь допустим, что сумма углов треугольника не равна 180°, то мы увидим, что сумма углов в малом треугольнике полностью отличается от суммы углов в большом треугольнике. Возьмем опять равнобедренный треугольник, где углы у основания равны 60° (рис. 17). Допустим, что сумма углов в этом треугольнике равна 160°. Тогда угол АСВ равен 40°. Разделим этот треугольник на две равные части, опустив медиану на АВ. Мы увидим тогда, что сумма углов в каждом из двух малых треугольников равна только 170°. Если бы мы исследовали характер изменения суммы углов треугольника, то увидели бы, что чем меньше становится треугольник, тем больше сумма его углов приближается к 180°.

В том случае, где сумма углов треугольника меньше 180°, опишем не саму сумму углов, а разницу между этой суммой и 180° — то, что называется «дефект» (defect). Иначе говоря, дефект равен [180°— — (<* + ? +7)]. В большом треугольнике (рис. 17) дефект равен 20°. В малом же треугольнике он равен только 10°. Между площадью треугольника и его дефектом имеется очень простое отношение. Площадь В

Рис. 16. /20° 2 о\ /60° 90° 909 6о\ Рис. 17. каждого из малых треугольников равна половине площади большого треугольника, а дефект каждого из малых треугольников равен половине дефекта большого треугольника. У очень маленьких треугольников дефект приближается к нулю. Очень маленький треугольник ведет себя так, как если бы аксиома Евклида была верна. Это может быть доказано весьма общим способом; здесь мы привели только несколько примеров для иллюстрации этого. Если же аксиома Евклида не верна, то не существует подобных треугольников, а малые треугольники ведут себя иначе, чем большие. По этой причине очень трудно проверить с помощью измерений, равна ли вообще сумма углов треугольника 180°.