1. Геометрия как идеал философии

«Метафизика всегда была обезьяной математики»,— писал в 1891 году Пирс. Хорошо также известно, что Платон не допускал желающего изучать философию в Академию, если он не был подготовлен по геометрии.

Безусловно, что та высокая степень достоверности, которая была достигнута в геометрии, поддерживала надежду, что такая же достоверность может быть до-

1 В ого статье «The Architecture of Theories» («The Monist», 1891).

8 Там же.

стигнута и в других отраслях знания и, кроме того, в синтезе всего знания — в философии. Декарт в своей знаменитой работе «Рассуждение о методе», с которой был связан один из основных этапов при зарождении философии нового времени (после 1600 года), следующим образом описал роль, которую он отводит геометрии как образцу, которому должна следовать философия:

«Длинные цепи доводов, совершенно простых и доступных, коими имеют обыкновение пользоваться геометры в своих труднейших доказательствах, натолкнули меня на мысль, что все доступное человеческому познанию одинаково вытекает одно из другого. Остерегаясь, таким образом, принимать за истинное то, что таковым не является, и всегда соблюдая должный порядок в выводах, можно убедиться, что нет ничего ни столь далекого, чего нельзя было бы достичь, ни столь сокровенного, чего нельзя было бы открыть» К

Поскольку процедура выводов в геометрии привела к более удовлетворительным результатам, чем в какой-либо другой области науки, Декарт сделал обобщения из нее и выдвинул четыре «правила логики», которыми следует руководствоваться при нахождении истины. Он формулирует эти правила следующим образом:

«Первое — никогда не принимать за истинное ничего, что я не познал бы таковыми с очевидностью, иначе говоря, тщательно избегать опрометчивости и предвзятости и включать в свои суждения только то, что представляется моему уму столь ясно и столь отчетливо, что не дает мне никакого повода подвергать их сомнению» 15.

Знать что-либо «ясно и отчетливо» было названо картезианским критерием истины. По существу, этот критерий не слишком отличается от требования Аристотеля, чтобы общие принципы науки были интел- лигибельными или «познаваемы по своей природе» в противоположность неопределенным чувственным впечатлениям, которые «познаваемы для нас», но «темны по природе» (гл. Л).

Декарт говорит далее, что второе правило заключается в том, чтобы разделять каждое подлежащее исследованию затруднение на столько частей, на сколько возможно и на сколько необходимо для его надлежащего разрешения. Это «второе правило» Декарта является, очевидно, тоже обобщением действительного употребляемого метода в геометрии. Если последний заключается в том, чтобы, исходя из аксиом геометрии, доказывать теорему, что сумма углов треугольника равна 180°, то Декарт предлагает, идти в доказательстве небольшими шагами, каждый из которых является простым логическим заключением, которое кажется истинным даже самому необразованному уму. Это продвижение в доказательстве небольшими шагами и есть то, чего Декарт требует в своем втором правиле.

Характерная черта геометрии, благодаря которой она стала образцом для всех наук и, более того, для философии, может быть просто сформулирована следующим образом: в геометрии существуют два типа утверждений — аксиомы и теоремы. Только последние могут доказываться посредством рассуждения; истинность аксиом должна признаваться не с помощью рассуждения, а с помощью непосредственной интуиции, очами ума или чем угодно, что только можно назвать этой способностью. Эта концепция геометрии сделала ее образцом для философов на все времена. Еще на заре философии нового времени Паскаль говорил:

«Наше знание первых принципов, таких, как пространство, время, движение, число, столь же достоверно, как и любое знание, получаемое нами посредством рассуждения.

Какими бы широкими ни были бреши между разными философскими системами, все они имеют два общих для них верования. Во-первых, существуют высказывания о наблюдаемых фактах, которые мы знаем с достоверностью, хотя (или, быть может, потому что) они не основаны на индукции из чувственных наблюдений. Во-вторых, существование таких предложений «доказывается» примером математических предложений, ибо они известны с достоверностью, а эта достоверность не основывается на эмпирических фактах. Существует большое различие между немецким философом-идеалистом Иммануилом Кантом и французским рационалистом Декартом. Кант, однако, даже еще более настойчиво, чем Декарт или Паскаль, подчеркивал то, что вера в возможность «собственно философии», то есть «метафизики», в конечном счете основывается на примере Геометрии, которая одним своим существованием доказывает возможность интеллигибельных принципов. Чтобы понять утверждение Канта, мы должны только отметить то, что под «синтетическим суждением a priori» он имел в виду то, что мы называем утверждением о наблюдаемых фактах, которые воспринимаются очами разума без настоящего чувственного наблюдения, но которые могут и должны быть научно проверены действительными чувственными наблюдениями. В своей книге «Пролегомены ко всякой будущей метафизике» Кант писал:

«По счастью, хотя мы не можем признать действительность метафизики как науки, однако мы можем с достоверностью сказать, что известные чисто синтетические познания a priori действительно нам даны, именно чистая математика и чистая естественная наука> потому что обе содержат положения, частью аподиктически достоверные из одного разума, частью же такие, которые, по общему признанию, хотя берутся и из опыта, однако независимы от опыта. Мы имеем, таким образом, некоторое, по крайней мере не- оспариваемое, синтетическое познание a priori и должны спрашивать не о том, возможно ли оно (потому что оно действительно), а только о том, как оно возможно»

Если мы учтем это общее мнение представителей ведущих философских школ, то будет, по-видимому, целесообразно исследовать геометрию с чисто научной точки зрения и установить, действительно ли геометрия состоит, с одной стороны, из аксиом, которые определяются «внутренней интуицией», и, с другой стороны, из теорем, которые логически'выводятся из них. По существу, в течение всепьХІХ века это было общим мнением среди математиков. Мы можем убедиться в этом, заглянув в любой обычный учебник геометрии. Мы можем взять, например, работу Бимэна и Смита (W. W. Вешапп and D. Е. Smith, New Plane and Solid Geometry) 1899 года. Мы читаем: «Существует несколько геометрических положений, настолько очевидных, что их истинность может рассматриваться как нечто само собой разумеющееся». Авторы, как и Евклид, различают два типа таких «очевидных предложений»— аксиомы и постулаты. Вся глубокомысленная философская терминология Аристотеля и Канта, предикаты, «интеллигибельные по их природе» и «синтетические a priori», появляются в этом учебнике под весьма безобидными обозначениями «очевидные» и «могущие рассматриваться как само собой разумеющиеся».

Около 1900 года развилась новая концепция геометрии, которая лишила «философию в ее изолированном состоянии» («метафизику») ее любимого образца и сделала возможным обновление науки и философии. Это изменение в концепции геометрии фактически оказалось решающим в вопросе об отношении между наукой и философией. Не случайно, что приблизительно в это же время произошли огромные перемены в физике — установление новых теорий: теории относительности и квантовой теории, — которые потребовали основательного пересмотра наших традиционных представлений о науке и философии.