7. Справедливость предложений геометрии

В элементарных учебниках положения геометрии не являются чисто логическими построениями. Они представляют собой смесь логических и эмпирических положений. Понятие конгруэнтности, например, определяется с помощью ссылки на физическую операцию перемещения жестких тел. Однако мы

из

можем обратить евклидову геометрию путем переформулировки ее аксиом в систему чисто логических положений. Мы обсудим это в § 8. Пока же примем за данное, что такая «формализация геометрии» возможна, и поставим прямой вопрос: какая геометрия истинна — евклидова или неевклидова? С точки зрения математики мы не можем ответить на этот вопрос. С помощью математики, как мы видели, мы можем только доказать, что если мы допустим аксиому Евклида, то следует, что подобные треугольники существуют, а если мы ее отвергнем, то следует, что они не существуют. Однако мы не можем решить, «истинно ли» утверждение, что существуют подобные треугольники, то есть «истинна ли евклидова геометрия». С другой стороны, мы привыкли применять геометрию к физическим объектам. Необходимо тщательное исследование, чтобы понять возможность этого. Нигде во всей системе геометрии нельзя найти определения прямой линии или точки. Поскольку, однако, логические заключения не зависят от значений употребляемых в них терминов, постольку и без определения прямых линий и точек мы можем сказать, что если эти объекты имеют свойства, предполагаемые в аксиомах, то они имеют те же свойства и в теоремах. Чем бы ни были прямые линии и точки, но если мы принимаем евклидовы аксиомы, то следует, что подобные треугольники существуют, если принимаем аксиомы Лобачевского, то подобные треугольники не существуют. В таком случае возникает вопрос, как может геометрия применяться к треугольникам, сделанным из дерева или стали? Для этой цели нам, очевидно, нужна «геометрия», которая по своей структуре полностью отличалась бы от математической, геометрия формализованная, о которой мы только что говорили.

Мы отметили, что все полученные до сих пор результаты истинны, несмотря на «значение» геометрических терминов. Для того чтобы добраться до применения геометрии к физическим треугольникам, мы должны построить геометрию другого рода — такую, в которой будут учитываться значения терминов, вроде таких, как «точка» и «прямая линия».

«Одна тенденция подчеркивает форму, логическую структуру предложений и выводов, отношения между знаками и абстракциями, в отвлечении их значения. Другая — подчеркивает те самые факторы, которые исключает первая: значение, интерпретацию, отношения... совместимость или несовместимость, основанные на значении, различие между необходимой и случайной истинностью и т. д. Эти две тенденции, столь же древние, как и сама логика, и выступали под множеством наименований. Употребляя современные термины, мы можем назвать их синтаксической и семантической тенденцией соответственно»

Предпринимались частые попытки построить геометрию, строго придерживаясь правил, не как логическую дисциплину, а как науку, которая имела бы дело с физическими телами, например деревянными и железными треугольниками. Замечательная попытка такого рода была предпринята выдающимся английским математиком Клиффордом, который сделал гораздо больше, чем большинство математиков, для объединения разных отраслей математики в нашу общую систему знания. Клиффорд писал в 1875 году:

«Геометрия есть физическая наука. Она имеет дело с размерами, формами вещей и расстояниями между ними... Мы будем изучать науку о формах вещей и расстояниях между ними, исходя из одного или двух очень простых и ясных наблюдений... Наблюдения, с которыми мы сталкиваемся, следующие. Первое, что вещь может быть передвинута с одного места на другое без изменения ее размера или формы. Второе это то, что можно иметь вещи одной и той же формы, но разных размеров» 17.

«Вещи», о которых здесь говорит Клиффорд, являются, очевидно, тем, что в физике называется «жесткими телами». Он предполагает, что критерий, употребляемый для того, чтобы убедиться, что «вещь» жесткая, есть критерий, обычно употребляемый в экспериментальной физике. «Размер» и «форма» вещи измеряются посредством стандартного метра, находящегося в Париже, или стандартного фута, находящегося в Вашингтоне, с внесением поправок, которые предписываются законами. В таком случае с помощью этих стандартов могут быть выполнены два описанных Клиффордом наблюдения. Клиффорд продолжал:

«Применяя эти [два] наблюдения к треугольникам, мы можем доказать: а) две прямые линии не могут пересечься больше чем в одной точке; Ь) если две прямые проведены на плоскости так, что они совсем не пересекаются, то углы, которые они образуют с любой третьей линией, которая их пересекает, будут равны» 18.

В предшествующих параграфах (4, 5 и 6) мы показали, что из существования подобных треугольников мы можем вывести аксиому Евклида о параллельных линиях, а из этой аксиомы — теорему, что линия, проведенная так, что она пересекает две параллельные, образует с обеими равные углы. В ходе математических доказательств мы сделали эти выводы из «аксиом», не пользуясь при этом значениями геометрических терминов. Клиффорд начал с обобщенных наблюдений, которые были, конечно, утверждениями о физических фактах и выведенными из них заключениями, содержащими утверждения о свойствах физических треугольников.

В следующих двух параграфах мы рассмотрим строгое соотношение между заключениями, выведенными из аксиом без использования значений терминов, и заключениями, выведенными из утверждений о физических фактах, где каждый термин обозначает физический объект. В науке XX века «аксиомы» формулируются таким образом, что при выводе из них за- ключений не пользуются никакой информацией о значении терминов; установив эту полностью формализованную систему аксиом, выводят заключения о физических треугольниках, используя особый метод координирования чисто формальных, чисто логических заключений с утверждениями о физических объектах.