ВВЕДЕНИЕ

С другой стороны, написание таких книг и апелляция через них к потенциальному читателю всегда проблематичны, поскольку сама область исследований просто зачастую непонятна. Все знают о математике, некоторые знают о философии, но не так много тех, кто имеет представление о философии математики. Известный философ математики П. Мэдди, говорит, что ее признание в обществе образованных людей в том, что она является философом математики, приводит к некоторому замешательству — всем более или менее понятно, что такое математика, менее ясно, что такое философия, но философия математики?..

Известно, что сами работающие математики спокойно обходятся без философии (кроме, может быть, некоторых выдающихся, которых беспокоят вечные философские вопросы). Известно также, 6 что подавляющее число философов находятся в счастливом неведении относительно тех проблем, которые обсуждаются в математике. Так что эти проблемы могут касаться только весьма узкого круга читателей. Эта ситуация вполне понятна и на обыденном уровне. Для того чтобы читать работы по философии математики, требуется знание не только философии, но и некоторое представление о математике, в частности, о математической логике, а также способность следить за математической аргументацией. Обычному читателю философских книг будут непонятны математические и логические детали, работающему математику будет непонятна возня вокруг «тривиальных» философских положений.

Необходимость разбираться в технических деталях представляет одну из причин того, что часто философии математики отказывают в статусе подлинной философии, которая должна заниматься «реальными» и «жизненными» проблемами. Так, математик Ж-.К. Рота утверждает, что «...философы этого века больше, чем когда-либо страдали от диктата определенности. Иллюзия окончательного ответа, который не смог быть получен на протяжении двух с половиной тысяч лет в Западной философии, обернулась в нынешнем веке рабской имитацией математики»4. Далее он говорит: «Снобическое разбрасывание по страницам философских статей символов просто удивляет математиков. Ситуацию можно уподобить тому, как если бы вы расплачивались в магазине долларами из настольной игры Монополия»5.

Этому мнению противостоит мнение известного философа и математика X. Патнэма: «Орды интеллектуалов жалуются, что философия стала слишком "технической", что она "отреклась" от реальных проблем, и т.п. ...Но печальным фактом остается то, что добротная философия есть и всегда была трудна, и что гораздо легче выучить имена немногих философов, чем прочитать их книги. Тот, кто находит философию слишком "технической" сегодня, не смог бы найти времени или желания уследить за длинной цепью аргументов Сократа, или же прочитать одну из Критик Канта»6.

Чем занимается философия математики? Прежде всего, такими фундаментальными вопросами, как «Что такое математика?», «Какого рода знанием является математическое знание?», «Какова спе- цифика математических объектов?» Все эти вопросы традиционны для философии математики, но сейчас на первый план выходит вопрос о том, каким образом люди, с их ограниченным чувственным видением мира, входят в контакт с идеальными объектами математики и получают знание математических истин об этих объектах. Заранее нужно отметить важный факт по поводу того, как понимается философия математики разными научными сообществами. Философы и математики, занятые основаниями математики, имеют одну точку зрения, а работающие математики — другую. Философы заинтересованы в поиске философских категорий, которые позволили бы объяснить природу математических объектов, т.е. открыть нечто большее о математических объектах, чем это делается в математических теориях. Для этой цели соотносятся математические объекты, например множества, и философские категории, например универсалии. Математические утверждения об объектах математики анализируются в терминах теории познания, а математические теории оцениваются как свидетельства в пользу той или иной философской концепции. При таком подходе осуществляется сведение проблем о природе специфических математических объектов к общефилософским проблемам.

Работающие математики совсем по-другому рассматривают проблемы оснований математики, не считая важными те вопросы, которые считаются таковыми философами. Здесь взгляды на природу математических утверждений и математических объектов в сильнейшей степени зависят от степени интереса математиков к теоретико-познавательным проблемам. Следует признать, что существуют две ориентации, которые можно назвать ориентацией работающего математика и ориентацией философского логика. Обе позиции превосходно охарактеризованы Р. Мартином:

«Внимание математика приковано главным образом к математической структуре, и его интеллектуальный восторг вызывается открытием того, что данная теория проявляет такие-то и такие-то структуры, или открытием, что одна структура "моделируется" другой, или открытием некоторых других структур, и показом того, как они соотносятся с уже изученными структурами... Математик удовлетворен работой с некоторыми "сущностями" или "объектами" ("множествами", "числами", "функциями", "пространствами", "точками"), и он не исследует их внутренний характер или онтологический статус. Философский логик, с другой стороны, более чувствителен к онтологии и будет особенно заинтересован в том, какого рода сущностями они являются в действительности... Он не удовлетво- ряется тем простым фактом, что такие-то и такие-то сущности проявляют такую-то и такую-то математическую структуру. Он хотел более глубоко исследовать, что это за сущности и как они соотносятся с другими сущностями... Он также хотел бы знать, выступают ли эти сущности как sui generis, или же они в некотором смысле сводимы (или построены в терминах) к другим, вероятно, более фундаментальным»7.

Учитывая все вышесказанное, ясно, что эта книга обращена к философам, и только к ним. Дело в том, что многие вещи, кажущиеся тривиальными математикам, в сильнейшей степени озадачивают философов. В качестве типичного примера можно указать теорию трансфинитных чисел Кантора. В обычном учебнике по математике, где есть глава с изложением теории множеств, основные результаты этой теории излагаются на нескольких страницах. Между тем философам известно, что при создании теории Кантор огромное значение придавал метафизическим и даже теологическим соображениям о бесконечности. Поэтому для философа математики интерес представляет, скажем, логика теории Кантора, ее генетическая структура, и если прибегнуть к крайностям, можно сказать, что философа интересует как раз то, что совсем не интересует математика.

Однако для понимания проблем философии математики и их решений требуется знание деталей.

В книге избегались «избитые» вопросы философии математики, в частности, обсуждение тезисов классических школ философии математики XX в., а именно логицизм, интуиционизм, формализм, потому что по выражению X. Патнэма «ничего из этого уже, не работает». Больше того, содержание книги практически ограничено обсуждением проблем, концентрирующихся вокруг двух тем. Это теория множеств Кантора и ее аксиоматизация, а также теорема Левенгейма — Сколема. Хотя обе темы хорошо известны, в традиционных изложениях философии математики они зачастую избегаются, уступая место таким темам, как парадоксы теории множеств и способы их решения в логицизме, интуиционизме и формализме, теорема Геделя о неполноте, формализация математики и пр. Между тем показательно, что теория Кантора, которая часто рассматривается в традиционных курсах лишь как повод для разговора о парадоксах, совсем по-другому рассматривалась теми же классиками в области оснований математики. Б. Рассел, который одновременно с Э. Цермело предложил выход из парадоксов теории множеств (Рассел предложил в 1908 г. теорию типов, а Цермело в том же году — аксиоматическую теорию множеств), уже после публикации Principia Mathematica, в работе Наше познание внешнего мира 1914 г. значительнейшее место уделил тем следствиям, которые теория Кантора имела для философии. Что касается теоремы Левенгейма — Сколе- ма, то она вообще обойдена вниманием философов, в то время как она породила в последнее время целое философское направление, а именно так называемый внутренний реализм X. Патнэма, направление, которое оказало большое влияние на дискуссии о природе реальности и ее «схватывании» языком.

Наконец, еще одно соображение, которым руководствовался автор книги, избегая «избитых» тем вроде парадоксов, их значимости для ситуации в математике. В большинстве учебников приводится распространенная история о том, что теория множеств возникла как результат наивной интуиции, которая привела к парадоксам, вследствие чего интуиция объявлялась ненадежной, и существующие аксиоматизации теории множеств исторически возникли как реакция на парадоксы. Многие исследователи опровергают эту точку зрения8. История с парадоксами касается логического понятия множества, которое использовалось Расселом в чисто философской программе. А в математике применяется комбинаторное понятие множества, и собственно математические исследования Кантора касались этого понятия, связанного с обобщенным понятием функции как полностью произвольного соответствия. Эта точка зрения принимает совсем четкий вид у Геделя: «Более близкий взгляд показывает, что теоретико-множественные парадоксы не причиняют особых неприятностей. Они представляют серьезнейшую проблему, однако не для математики, а скорее для логики и эпистемологии»9.

Поворот в философии математики скорее к математической практике, а не традиционным философским программам, знаменует собой натурализацию этой дисциплины. Поворот этот прослеживает- ся очень зримо на работах одного из ведущих специалистов в области оснований математики П. Мэдди. Если в книге Математический реализм10, опубликованной в 1990 г., она придерживается реализма, считая его доминирующим взглядом в философии математики, то в новой книге Натурализм в математике11 1997 г. она отказывается от философских тенет и исповедует принцип «максимизации», согласно которому математик может постулировать любые виды объектов и изучать их, не вопрошая, «а существуют ли эти объекты?». Так что стратегия, принятая в нашей книге по философии математики, и заключающаяся в том, что мы избегаем традиционных вопросов об истине математических утверждений и о существовании математических объектов, имеет свои резоны. Между тем краткую сводку этого традиционного материала можно найти в некоторых Прелюдиях к главам; этот нетрадиционный способ преподнесения материала также имеет свои резоны.

С философской точки зрения философия математики претерпела в известной степени «эпистемологический поворот», напоминающий «лингвистический» поворот в аналитической философии полувеком ранее. В значительной степени именно эти тенденции будут фоновыми при рассмотрении различного рода проблем. В целом это книга о взаимоотношениях математики и философии (или математиков и философов). На этот счет имеются самые разные мнения. Цеховые интересы и предпочтения проявляются тут с удивительным непониманием противоположной стороны. Так, по поводу Б. Рассела с его логицистской программой ныне говорят, что в конце концов Б. Рассел был все-таки философом, а по поводу Я. Брауэра говорят о его философских «чудачествах». Об увлечении К. Геделя последние четыре десятка лет его жизни философией И. Канта и Э. Гуссерля говорят со смешанным чувством уважения к достижениям логика и недоумения по поводу странностей гения. Этот перечень можно продолжать достаточно долго, и всякий раз мы сталкиваемся с тем, что превосходно выразил Ж.-К. Рота в статье Математика и философия: история взаимного непонимания12. Рота говорит о том, что математика имеет дело, во-первых, с фактами, как и любая другая наука. Во-вторых, математика имеет дело с доказательствами, которые кодифицируются в аксиоматических системах. В этом, по его выражению, проявляется двойная жизнь математики, вполне успешная жизнь, вызвавшая зависть философии. Во-первых, философия имеет дело со способами описания мира, а во-вторых, философия опирается на аргументацию. Но по поводу методов аргументации среди философов никогда не было согласия. «Отношения философов с богиней Разума всегда были ближе к вынужденному сожительству, чем к романтической связи между богиней Разума и математиками»13.

Попытка устранить неясности в философской аргументации с помощью математики давно превратилась в мощную индустрию. Однако по ходу того, как основная «производительная сила» этой индустрии — математическая логика — становилась все более математической дисциплиной, стало закрадываться сомнение в том, насколько формальный аппарат логики, а также математические теоремы могут быть правильно интерпретированы философски. Именно этим вопросам и посвящена данная книга. ПРЕЛЮДИЯ К ГЛАВЕ 1 тематика не должна, по заверениям гуманистов, подчиняться диктату Платонизма. Она должна жить своей собственной жизнью, подчиняясь лишь установленным самой правилам. С некоторыми заметными гуманистическими исключениями (среди них Аристотель, Локк, Вит- тгенштейн, Лакатос, Китчер) доминирующая тенденция включает традиционную и современную философию математики.

Р. Херш. Что же такое математика, на самом деле?14