1. Философские программы в математике

Философия математики как отдельная ветвь философии родилась сто лет назад. Исследования в области оснований математики и математической логики, начатые в конце XIX ?— начале XX в., были связаны с грандиозными философскими программами, а именно с логицизмом, интуиционизмом и формализмом.

С тех пор традиционным описанием проблем философии математики стало описание того состояния оснований математики и ее философии, которое явилось естественным завершением попыток преодолеть кризис в основаниях математики, развившийся в начале XX в. Этот уже почти хрестоматийный материал хорошо известен читателю даже в самом простом нетехническом преподнесении, например, через превосходную книгу М. Клайна15, не говоря уже о массе более технических изложений16. Существует много других книг, в которых излагается материал, в той или иной мере связанный с достижениями в математической логике и основаниях математики, и во всех этих книгах фигурируют одни и те же имена и одни и те же проблемы — логицизм Г. Фреге и Б. Рассела, интуиционизм Я. Брауэра и А. Рейтинга, формализм Д. Гильберта и Дж. фон Неймана.

Поначалу эта связь философии и математики казалась необходимой, но со временем росло разочарование в выполнимости этих программ, и к 1960-м годам в настроениях математиков и логиков стала превалировать усталость. В этом отношении весьма симптоматично замечание А. Мостовского в работе Тридцать лет исследований в области оснований математики: «Философские цели трех школ не были достигнуты, и, судя по всему, мы не ближе к полному пониманию математики, чем основатели этих школ»17. Многие исследователи полагают, что сами программы не имеют и не имели прямого отношения к основаниям математики и математической логике, а возникновение программ обязано философским талантам и интересам основателей школ. Больше того, другие исследователи полагают, что сами философские программы появились в результате случайных исторических совпадений, в частности того, что такие люди, как Рассел, будучи одинаково компетентными в математике и философии, связали теорию типов как математическую программу с логицизмом как философской программой. По крайней мере, среди философов подобного рода связь закрепилась надолго, и потребовалось значительное время для того чтобы ощутить необходимость в ревизии таких «заблуждений». Другим примером может служить интуиционизм Брауэра, философские основания которого кажутся весьма далекими от конструктивистской математики. Наконец, вступающие в область философии математики встречаются с явным затруднением, пытаясь примирить мнения о формализме Гильберта с его знаменитым лозунгом «Никто не может изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором» (рая, естественно, платонист- ского). Характерно в этой связи свидетельство Хао Вана: «интерес философов к основаниям математики возник как результат той исторической случайности, что Рассел и Фреге правильно или неправильно связали некоторые области математики с философией... Тем не менее, с устойчивостью этого интереса следует считаться, хотя и сожалея о бедности философии»18.

Определенная стагнация в этой области философии может быть оценена в сравнении с философией науки. В 30—40-х годах XX в. философия науки направлялась логическими позитивистами, влияние которых ослабло лишь с появлением новых идей о решающей роли научной практики и исторических изысканий в науке. Р. Херш говорит, что «философия математики запоздала со своими Поппе- ром, Куном, Лакатосом и Фейерабендом. Она запоздала с анализом

1. ФИЛОСОФСКИЕ ПРОГРАММЫ В МАТЕМАТИКЕ

того, что делают сами математики, и с соответствующими философскими рассмотрениями»19.

В цитированном выше отрывке А.

Современными свидетельствами усталости и недовольства могут служить признания двух ведущих философов математики. Недавно видный философ и математик X. Патнэм опубликовал статью с характерным названием Почему ничего из этого не работает (имея в виду традиционно главные направления в философии математики). Далее, видный логик Я. Хинтикка отмечает, что «подобно Деррида, я верю, что современная философия... созрела для деконструкции»20. Нет никаких сомнений, какую часть современной философии Хинтикка хочет деконструировать, если иметь в виду вышедшую годом ранее его книгу Принципы математики ревизи- рованные1, название которой, по его признанию, есть аллюзия к работе Рассела Принципы математики 1903 г., в которой изложены многие программные идеи в области оснований математики.

Известный математик Ж-.К. Рота идет еще дальше и дает объяснение тому факту, что философия пошла по неверному пути вообще, ассоциировав себя с математикой. Философия, подобно математике, опирается на аргументацию, поскольку обе науки используют логику. Но в отличие от общепринятых стандартов у математиков стандарты аргументации у философов оказались весьма различными. Рота утверждает, что заключения философов часто диктуются эмоциями, и разум в этих заключениях играет лишь вспомогательную роль, а поиски философией окончательного ответа на свои вопросы вылились в рабскую имитацию математики. Апелляция к математической логике, которая и представляет собой главную основу философии математики, оказалась несостоятельной, потому что логика больше не является частью философии. Математическая логика является процветающей частью математики, и она прекратила свои связи с основаниями математики. «Ценой допущения логики в математическую область было гигиеническое очищение даже от следов философии»21.

Другими словами, философия математики оказалась в глубоком кризисе, начиная с 50—60-х годов XX в., когда были исчерпаны ресурсы традиционных подходов к пониманию оснований математики. И хотя традиционное преподнесение проблем этой области философских исследований опиралось (да и опирается сейчас) на три великих направления, существует глубокий скепсис относительно возможностей самой дисциплины. И тем не менее, по мнению ряда авторитетных исследователей, дисциплина выжила, поскольку старые проблемы были заменены новыми22.