Философия математики является восхитительной ветвью философии. Согласно Б. Расселу, «проблема, которую Кант положил в основу своей философии, а именно, "Как возможна чистая математика?", интересна и трудна, и любая философия, если она не полностью скептическая, должна найти какое-то ее решение»1.
Правда Я. Хакинг лаконично заметил по этому поводу, что «Рассел преувеличил. Есть много философий, которые не полностью скептичны, и которые вовсе не интересуются проблемой, поставленной Кантом»2. Наверное, Хакинг прав, и это обстоятельство, возможно, объясняет тот печальный факт, что философия математики занимает философов все меньше и меньше. В какой-то степени это есть результат определенного застоя в области, которую в начале XX века усилия таких великих мыслителей, как Б. Рассел, Д. Гильберт, Я. Брау- эр по разрешению противоречий в основаниях математики поставили в центр внимания философии. Определенные итоги этого огромного интеллектуального предприятия были подведены в 1930-м году на знаменитом симпозиуме в Кенигсберге, где логицизм был представлен в докладе Р. Карнапа, интуиционизм — в докладе А. Гей- тинга, а формализм — в докладе Дж. фон Неймана. А затем последовало доказательство К. Геделя о неполноте арифметики, которое почти полностью вытеснило на долгое время традиционную проблематику философии математики. Как бы то ни было, в течение почти пяти десятков лет изучающие философию математики сталкивались в книгах с одними и теми же вопросами и именами.
«Каноническое» состояние проблем философии математики можно найти в известной антологии Философия математики под редакцией П. Бенацеррафа и X. Патнэма издания 1964 года3. При-
мерно с этого времени постепенно стали накапливаться аномалии (если прибегнуть к терминологии из философии науки Т. Куна) в стандартной парадигме философии математики, и к началу 1990-х годов стало ясно, что на смену старой парадигме приходит новая. Появились новые яркие имена с новыми идеями и пониманием того, что важно в нынешней философии математики. Однако итоговые книги, которые бы давали более или менее адекватное представление в целом о том, что делается в этой области, пока запаздывают.
Данная книга никоим образом не претендует на попытку восполнить этот пробел в полном объеме, и представляет лишь малую часть материала, который может быть полезен философам, интересующимся последними идеями и работами в философии математики. Как и в любой другой области при написании книги трудно избежать влияния великолепных образцов, представленных читающей публике ранее. В частности, в значительной степени материал данной книги был мотивирован работами М.
Тайлс, П. Мэдди и С. Шапиро. Автор старался как можно точнее и адекватнее передавать концепции обсуждаемых исследователей, что крайне необходимо в таких областях, как философия математики. Идеи П. Бенацеррафа инспирировали основную тему книги, а именно эпистемологизацию философии математики. Величественные философские программы X. Патнэма, основанные на математических результатах, заняли важное место в книге. Подлинными героями нарратива можно назвать Г. Кантора, Э. Цермело, Т. Сколема, идеи которых сыграли важнейшую роль в становлении философии математики, но как-то отошли на задний план в господствующей парадигме. Пересмотр парадигмы в определенной степени является результатом критического анализа ситуации в философии математики, представленного в работе семинара новосибирских математиков и философов под руководством Ю.Л. Ершова и В.В. Целищева Проблемно-ориентированный подход к философии науки*. Решимости автора данной книги в представлении материала добавила готовность Я. Хинтикки к «деконструкции» современной философии математики, очерк которой был дан им в книге Принципы математики ревизированные.
В книгу не вошло значительное число интереснейших тем, в частности, проблемы интуиции в математике, разрабатываемые Ч. Парсонсом, структурализм, развиваемый С. Шапиро и М. Резником, модальные конструкции Г. Хеллмана и Ч. Чихары, фикционализм
X. Филда и многое другое. Автору лишь остается выразить надежду, что эта работа будет выполнена в ближайшее время и найдет отражение в будущих публикациях частей 2 и 3 Философии математики.
В работе над книгой неоценимую помощь оказали библиотеки Университета Тохоку (Япония, Сендай), Миланского и Венского университетов. Автор также благодарен всем коллегам в Европе и Америке, особенно П. Бенацеррафу, Дж. Аззуни, Ч. Парсонсу, Г. Хеллману, Я. Хинтикке за любезное предоставление материалов.
Книга предназначена для всех тех, кто интересуется философией математики. Автор также надеется на то, что она будет полезна и аспирантам, которые должны теперь иметь некоторое представление об истории и философии соответствующей отрасли знания (в данном случае, математики и всего с ней связанного). Наконец, автор пытался сделать книгу не просто информативной, но и отчасти занимательной. В какой мере это удалось, судить читателю.
Философия математики есть философия в ее чистейшем состоянии, свободном от всяких мирских соображений, философия без всякого подслащивания в виде претензий на Важность для Повседневных Проблем.
Поль Бенацерраф