3. Онтологическая истинность аксиомы бесконечности

Истоки проблемы бесконечности в рамках логицистской программы достаточны ясны.

Фреге был убежден в аналитичности арифметики и не сомневался в том, что все положения о строении натурального ряда, в том числе и положение о его бесконечности (о наличии последующего элемента для каждого его члена), могут быть доказаны на основе его общего логического определения. Заслуга Рассела состоит в том, что он понял внелогический характер этого требования. Он, однако, заводит дело в тупик, трактуя аксиому бесконечности как утверждение о бесконечности предметов во Вселенной, и объявляя значительную часть математики, зависимой от соответствующей физической гипотезы. Это, конечно, ложное направление мышления, стирающее границу между математикой и физикой и, при последовательном проведении, устраняющее возможность строгого обоснования математических теорий.

Действительное разрешение проблемы состоит в понимании категориальной природы числа. Один из основных тезисов Фреге состоит в том, что носителем числа являются не вещи, а понятия. Разумеется, верно, что вещь как таковая не определяет какой-либо числовой характеристики. Процессу счета должно предшествовать представление о считаемом множестве и его элементах, соответствующих понятию единичного объекта. Однако это положение Фреге скорее затемняет проблему обоснования арифметики, чем проясняет ее. Принадлежность числа к понятию, в действительности, несущественна для понимания законов арифметики, ибо арифметические единицы ведут себя независимо от их предметной интерпретации, т. е. от типа понятий, с которыми они эпизодически связываются. Законы арифметики заданы не сферой их приложения, а только свойствами идеальной предметности.

Мы должны строго различать физическое число, которое является характеристикой реальной совокупности, полученной на основе ее соотнесения с идеальной совокупностью, и собственно математическое число как характеристику самой идеальной совокупности, которая должна быть понята без ссылки на реальную совокупность вещей и операцию счета. Трудность ответа на прямой вопрос: «Что такое число?» проистекает из того, что это понятие опирается на категориальные интуиции, не допускающие определения, а также и из того, что понятие числа на этом уровне не является исходным, а может быть задано только на основе более элементарных представлений, принятых за исходные. В основе числа как онтологического понятия лежат три представления, а именно, представление о единичной вещи, о совокупности вещей и об элементарной порождающей операции, увеличивающей совокупность вещей на одну вещь. Если эти представления приняты, то математическое число может быть понято как характеристика идеальной совокупности, указавающая ее место в упорядоченной последовательности совокупностей, полученной на основе элементарной порождающей операции. Действительной основой арифметических представлений является не логика и не процесс счета, а идея мысленного порождения идеальных совокупностей.

В онтологической характеристике числа мы, таким образом, должны принять естественное представление о порождении числового ряда, начиная с единицы, которое принято в интуиционистской теории арифметики и которое в наибольшей степени соответствует его обыденной интуиции. Интуиционистское понимание числа страдает психологичностью, поскольку оно апеллирует к активности сознания, порождающего двоичность из единичности и т. п. Для онтологического понимания числа психологическая активность индивида не имеет значения, ибо мы говорим здесь о предметах и их совокупностях как о категориальных представлениях, имеющих интерсубъективный характер.

Понятие единичного объекта и единичной операции как категориально осмысленных сущностей задает весь ряд арифметических объектов — чисел, кроме нуля. Число нуль не имеет онтологического содержания: оно должно быть понято как формальный объект, введенный с целью обобщения операции вычитания. Очевидно, что число, определенное таким образом, не опирается на теоретико- множественные понятия, такие, как пустой класс и эквивалентность классов15.

Это понимание числа является достаточным в том смысле, что оно делает все существенные свойства натурального ряда самоочевидными, проистекающими из его построения. Если каждая новая совокупность отличается от предыдущей только прибавлением одного объекта, то ряд не будет содержать разрывов, которые могли бы быть заполнены членами, относящимися к этому ряду. Ряд, построенный таким образом, не будет иметь возвращений назад вследствие того, что каждый новый член этого ряда совокупностей будет отличаться от всех совокупностей, построенных ранее. Этот ряд, наконец, неограничен в своем продолжении вследствие идеальной природы совокупностей, к которым он относится.

Идея бесконечности натурального ряда, или, в более общем плане, идея неограниченного увеличения любой предметной совокупности, органически содержится в абстракции идеальной предметности, которая лежит в основе математического мышления. Здесь мы можем повторить аргумент Канта, относящийся* к бесконечной делимости пространства. «... Пространство есть такое целое, которое при всяком разложении в свою очередь все еще представляет собой пространство и потому оно делимо до бесконечности»16. Поскольку идеальный предмет, будучи присоединен к множеству предметов, не изменяет свойств этого множества (по свойству аддитивности идеальной предметности), то эта операция всегда сохраняет возможность ее повторения.

Бесконечность натурального ряда проистекает, таким образом, из его идеальности, из того факта, что он является чисто мысленной конструкцией, не связанной с какими-либо реальными (физическими) ограничениями. Арифметика описывает не структуру Вселенной, а лишь онтологию мышления, она относится не к физическому миру, а к идеализированной предметности, законы которой не зависят от опыта17. Это, однако, только отрицательное условие, определяющее возможность бесконечности как мысленной операции. Позитивное условие, определяющее его необходимость для сознания, состоит в деятельностной ориентации сознания, в его необходимой направленности на выход за пределы конечного. Математическая бесконечность в этом плане должна пониматься как представление, порожденное необходимой деятельностной ориентации сознания. Бесконечность привнесена в математику не опытом и не логикой, а предметной онтологией, которая является подлинным интуитивным основанием арифметики и математического мышления в целом.

Отсюда следует, что мы не можем перестроить идею числа, а можем лишь прояснить, систему категориальных представлений, в рамках которых оно задано18.

Обоснование теории множеств требует признания актуальной бесконечности, а именно, утверждения о существовании множества, заключающего в себе все конечные множества.

Теория познания, начиная с Аристотеля, настроена критически в отношении этого понятия. Неприятие актуальной бесконечности мы видим у таких математиков как Лагранж, Лобачевский, Гаусс, Кронекер, Брауэр и Пуанкаре19. В «Учении о трансфинитном» Кантор говорит о враждебном отношении к идее актуальной бесконечности Гельмголь- ца и Кронекера20. Критика актуальной бесконечности, таким образом, имеет длительную традицию, сложившуюся задолго до появления логических трудностей в современной математике.

В принципе, проблема приемлемости актуальной бесконечности, полностью решена Г. Кантором, на основе выявления ее связи с потенциальной бесконечностью. Из существования потенциальной бесконечности логически не вытекает существование бесконечности актуальной. Однако кроме логической необходимости существует методологическая необходимость, определяющая логику образования понятий. Методология математики говорит о том, что актуальная бесконечность коррелятивна бесконечности потенциальной и введение одной из них предполагает использование другой. Всюду, где мы утверждаем наличие потенциальной бесконечности, мы неизбежно утверждаем и наличие порождающей функции, относящейся к бесконечному числу элементов, которые эквивалентны друг другу в смысле принадлежности к этой функции. Но такого рода эквивалентность задает класс, состоящий из бесконечного числа элементов, рассматриваемый в качестве единой и завершенной целостности. В методологическом плане, таким образом, наличие потенциальной бесконечности предполагает представление об актуальной бесконечности как о сфере элементов, соответствующих функции бесконечного порождения. Действуя с порождающими функциями как с целостными объектами, мы в действительности действуем с бесконечными множествами, которые они представляют. Очевидно, что любая система уравнений предполагает пересечение множеств решений, которые, в частности, могут быть бесконечными. Но это значит, что актуальная бесконечность, как и бесконечность потенциальная, внедрена в самые основания математического мышления.

Этот момент хорошо осознавал Г. Кантор. Он считал, что область изменения функции не может быть сама чем-то переменным, ибо в этом случае отсутствовало бы всякое твердое основание рассуждений; поэтому эта область является определенным актуально бесконечным множеством значений. Использование понятия потенциально бесконечного, считает Кантор, имеет понятие актуальной бесконечности в качестве своей необходимой предпосылки. Мы имеем основание утверждать, что Кантором было дано полное обоснование актуальной бесконечности, основывающееся на его логической симметрии с бесконечностью потенциальной.

Современные дискуссии относительно приемлемости актуальной бесконечности проистекают исключительно из ложной философии математики, требующей для каждого математического понятия некоторого коррелята в действительности. Эта натуралистическая логика про- является в подходе Гильберта. Если потенциальную бесконечность Гильберт рассматривает как оправданную опытом и абсолютно надежную, то актуальную бесконечность он понимает только в качестве искусственной конструкции, требующей финитного обоснования. «Мы видели, что бесконечное не реализуется нигде, оно не присутствует в природе, а без специальных мер предосторожности оно недопустимо и в качестве основы нашего мышления. Уже в этом я усматриваю некоторый важный параллелизм природы и мышления, основополагающую согласованность между опытом и теорией»21.

Теория онтологической истины устраняет этот ложный параллелизм, закрывающий путь к адекватному пониманию природы исходных математических понятий. С онтологической точки зрения мы вправе утверждать полную симметрию актуальной и потенциальной бесконеч* ости, состоящую в том, что оба эти представления в одинаковой мер)е обусловлены универсальной онтологией мышления и оба они в соответствии с принципом совместности идеально совместимы с онтологически оправданной частью математики. Парадоксы, требующие корректировки аксиом теории множеств, не могут поставить под сомнение истинность простой аксиомы бесконечности, утверждающей существование счетного множества.

При обосновании актуальной бесконечности мы находим некоторую опору в теоретико-познавательном учении Канта, одним из основных положений которого является утверждение об идеях разума как регулятивных понятиях, не имеющих коррелята в действительности, а обозначающих лишь внутреннюю логику движения самой мысли. От конечного числа причинных связей, данных в опыте, мы, по Канту, неизбежно переходим к идее Природы, от представления о конкретных психических актах — к понятию Души как безусловной целостности и т. д. Мы можем не соглашаться с Кантом в его толковании состава идей разума или (в каких-то других моментах) логики их генезиса, но является совершенно несомненным, что допущение идеальных це- лостностей лежит в основе человеческого мышления и что за каждым из этих идеальных представлений стоит представление о завершенной бесконечности. Идея завершенного натурального ряда в этом плане — это не столько математическая идея, сколько идея внутренней логики мышления вообще, принимающего идеальные целостности как результат завершенного движения, и она не менее первична для математического мышления, чем идея его бесконечного становления.

Мы должны осознать то обстоятельство, что утверждение актуальной бесконечности, как и утверждение бесконечности потенциальной, не имеют никакого отношения к опыту и к миру самому по себе. Обе эти идеи представляют собой лишь регулятивные формы мышления, проистекающие из его практической ориентации. Они остались бы теш же самыми при любом положении дел в мире, оставляющим возможность для мышления и действия. Б. Рассел считал, что аксиома бесконечности может быть истинной в одном мире и быть ложной в другом. С натуралистической точки зрения это, конечно, верно. Если физики правы в том, что число атомов во Вселенной конечно, то можно утверждать, что аксиома бесконечности является ложной во всех мирах. Эта аксиома, однако, является истинной для всякого теоретического мира, ибо она есть необходимая часть универсальной онтологии мышления.

Конечно, нельзя считать, что все типы математической бесконечности являются оправданными онтологически. Онтология оправдывает лишь утверждения о существовании простых видов бесконечности, а именно, она оправдывает допущение потенциальной бесконечности натурального ряда, минимальной актуальной (счетной) бесконечности и бесконечности континуума как реальной непрерывности. Все остальные типы бесконечностей имеют чисто операциональное значение и должны быть обоснованы из логических соображений.

Различие между реальными и чисто операциональными бесконечностями, несущественное в математическом плане, является принципиально важным для методологии обоснования. Мы должны уяснить тот факт, что принципы математики, не имеющие обоснования в логике, могут быть обснованы в онтологии и что это обоснование имеет абсолютное значение. Это значит, в частности, что математические аксиомы, утверждающие существование реальных '(онтологически оправданных) бесконечностей, не могут войти в противоречие с логикой и с другими онтологически оправданными суждениями -математики.