4. Праксеологическое обоснование исходных принципов

Ситуация, однако, не является совсем безнадежной. В общем, она аналогична тому, что мы уже имели в случае выявления абсолютно надежных доказательств. Как мы выяснили, неопределенность в различении аподиктической и ассерторической очевидности, вообще говоря, не является препятствием для вынесения совершенно определенных решений о завершенности конкретных доказательств.

Анализ статуса предметной онтологии позволяет высказать здесь два положения, на первый взгляд, противоречащих друг другу. Во- первых, мы должны принять как безусловно обоснованное то положение, что различие между аподиктической (онтологической) и ассерторической очевидностью является фундаментальным, лежащим в основе всех других различий и поэтому заведомо не поддающимся адекватному определению в частных понятиях. Брауэр совершенно справедливо настаивал на том, что сфера интуитивно ясных построений не может быть определена в логике или в каких-либо математических понятиях. Финитность как математическое понятие в принципе также не может быть привести нас к точному определению сферы онтологически истинности. Все такого рода критерии могут рассматриваться только как некоторые приближения к понятию онтологической истинности, полезные для решения частных задач. Мы должны утверждать, таким образом, что система онтологической истины в принципе неопределима в строгих математических понятиях. Это, очевидно, отрицательный тезис, который усиливает сомнения в возможности строгого обоснования математики.

Но здесь имеется другая, более позитивная сторона дела. Общая иррациональность, содержащаяся в понятии аподиктической очевидности, не исключает того положения, что в отдельных случаях мы можем строго доказать принадлежность того или другого математического утверждения к сфере онтологически истинной математики. Выше были сформулированы аргументы, призванные обосновать то положение, что закон исключенного третьего является онтологически истинным и, следовательно, свободным от дефектов, о которых говорили сторонники интуиционизма. Выяснение генезиса законов логики, их обусловленности деятельностной ориентацией сознания является одновременно и их обоснованием в качестве предельно надежных.

В этом состоит суть праксеологического обоснования математических и логических истин: анализ генезиса математического принципа может быть одновременно и обоснованием его абсолютной надежности.

В качестве примера, проясняющего эту общую установку, мы можем рассмотреть положение о бесконечности натурального ряда. Логически это утверждение, очевидно, недоказуемо. Если мы истолкуем его натуралистически как возможность до бесконечности увеличивать совокупность материальных тел или частиц, то истинность его будет проблематичной вследствие того, что физическая бесконечность для нас недоступна. Ясно, что общезначимость и аподиктическая очевидность этого положения покоится не на логике и не на опыте, а на идеализированных и необходимых для человеческого сознания представлениях о реальности. Мы уже выяснили характер и статус этих представлений. Идея бесконечности натурального ряда непосредственно проистекает из основных допущений предметной онтологии. С праксеологической точки зрения натуральный ряд чисел не создан богом, не выведен из опыта и не является произвольной конструкцией нашего интеллекта, он однозначно продиктован практической ориентацией сознания как понятийный коррелят необходимых представлений об идеальной предметности.

К такого рода категориальным утверждениям должна быть отнесена также и аксиома непрерывности. Математическая непрерывность не может быть оправдана опытом и не может быть введена на основе каких-либо более частных математических истин. Мы задаем ее, в конечном итоге, в качестве несомненной истины, соответствующей нашему представлению непрерывной величины. Важно понять, что здесь мы имеем дело не с опытной идеализацией и не с произвольным соглашением, но с экспликацией категориального основания математического мышления. В основе математики лежит не только идея предметности, но и идея экстенсивной величины, обладающей однородностью, бесконечной делимостью и непрерывностью.

философы начала XX века хотели полностью освободиться от понятия величины при обсуждении оснований математики, указывая на то обстоятельство, что это понятие не обладает ясностью без предварительного определения его на основе понятий числа и порядка5. Внутренние определения величины, конечно, имеют смысл, но устранение идеи величины как предваряющей математическое мышление лишает нас возможности понять истинный статус этого понятия. Анализ статуса аксиом бесконечности и непрерывности позволяет понять, что мы имеем здесь дело с представлениями, фиксирующими категориальные, а следовательно, незыблемые основания математики.