А. Статус «универсальных сил»

В своей книге «Пространство» Карнап начинает обсуждение физического пространства с рассмотрения вопроса о том, могут ли линии этого пространства быть идентифицированы как прямые и каким образом.

Раз выбрана частная функция , совпадение перемещаемого выбранного тела позволяет установить метрический тензор gik в соответствии с этим выбором, обеспечивая тем самым класс конгруэнтных интервалов и соответствующую геометрию. Тезис Карнапа состоит в том, что вопрос о геометрии физического пространства является, конечно, эмпирическим, однако при условии важной оговорки: он становится эмпирическим только после физического определения конгруэнтности линейных отрезков, которое устанавливается конвенциональным путем, путем определения (в пределах постоянного множителя, зависящего от выбора единицы), какую длину следует приписывать перемещаемому твердому стержню в различных точках пространства.

Подобно Карнапу, Рейхенбах ссылается на возможность проверки для защиты этой ограниченно эмпирической концепции геометрии и говорит об «относительности геометрии», подчеркивая тем самым зависимость геометрии от определения конгруэнтности. Карнап выражает идею конвен-циональности, ссылаясь на нашу свободу выбора в метрике функции . Однако Рейхенбах формулирует эту концепцию в метафорических терминах, ссылаясь на «универсальные силы», относительно метрического «воздействия» которых на измерительные стержни затем утверждается, что оно является делом конвенции в следующем смысле: обычная дефиниция конгруэнтности, согласно которой длина стержня должна повсюду сохранять одинаковую величину (после принятия в расчет специфических субстанциальных термических эффектов и им подобных), соответствует приравниванию нулю универсальных сил; с другой стороны, необычное определение конгруэнтности, согласно которому длина стержня меняется с изменением положения или ориентации (даже после принятия в расчет термических эффектов и т. д.), соответствует допущению специфической не обращающейся в нуль универсальной силы, математическая характеристика которой будет дана ниже. Рейхенбах не предвидел, что эта метафорическая окраска его формулировки вызовет ошибочные обвинения, обусловленные неверным пониманием, суть которых состоит в том, что необычное определение конгруэнтности основывается на введении ad hoc универсальных сил. Ввиду того, что это обвинение направлено против конвенционального характера конгруэнтности, представляется существенным сделать так, чтобы утверждения Рейхенбаха были лишены какой-либо возможности вводить в заблуждение.

Рейхенбах рассматривает большую полусферу, сделанную из стекла, которая переходит затем в огромную стеклянную плоскость, как это показано на рисунке, где дано ее поперечное сечение и где она изображается линией G, состоящей из прямой и полукруга. Используя жесткие тела, люди на этой поверхности легко определили бы, что это евклидова плоскость с полусферическим горбом в центре. Затем он предполагает, что имеется непрозрачная плоскость

Е, расположенная ниже поверхности G, как показано на рисунке. Вертикальные световые лучи, падающие на G, будут отбрасывать тени всех предметов, находящихся на этой поверхности, на плоскость Е. Проводя измерения с помощью действительно жестких стержней, люди плоскости G найдут, что А'В' и В'С равны, тогда как их проекции АВ и ВС на евклидову плоскость Е будут неравны. Далее Рейхенбах хочет подготовить читателя к признанию конвенционального характера конгруэнтности, поставив перед ним следующий вопрос. Не могло ли случиться так, что: 1)

неравенство АВ и ВС только кажущееся, эти интервалы и другие проекции, им подобные, в области R плоскости Е, находящейся под полусферой, на самом деле равны, так что истинная геометрия плоскости Е является сферической в области R и евклидовой только вне ее; 2)

равенство А'В' и В'С только кажущееся, истинная геометрия поверхности G является повсюду плоской евклидовой геометрией, поскольку в кажущейся полусферической области R' поверхности G обнаруживается реальное равенство между интервалами, представляющими собой верхние вертикальные проекции E-интервалов в области R, которые равны в обычном смысле нашей повседневной жизни, и

3) на каждой из этих двух поверхностей перемещаемые измерительные стержни не могут совпасть с действительно равными интервалами в области R и R' соответственно, потому что они не остаются истинно конгруэнтными самим себе при транспортировке, деформируясь под воздействием неопределимых сил, являющихся универсальными в том смысле, что а) они одинаково действуют на все материалы и б) проникают через любые экранирующие стенки.

На основе концепций, изложенных в первой главе, не содержащих каких-либо ссылок на универсальные силы, можно, идя навстречу пожеланиям Рейхенбаха, использовать этот вопрос как основу истолкования конвенционального характера конгруэнтности, исходя из следующих соображений. Правомерность проведения различия между реальной (истинной) и кажущейся геометрией поверхности зависит от существования внутренне присущей конгруэнтности. Если бы существовала конгруэнтность, внутренне присущая пространству, тогда имелась бы основа для установления разницы между реальным (истинным) и кажущимся равенством стержня при его транспортировке. Однако ввиду того, что такой конгруэнтности нет, вопрос о том, является ли данная поверхность на самом деле евклидовой плоскостью с полусферическим горбом или только кажется таковой, должен быть заменен другим вопросом: если имеется частное соглашение относительно конгруэнтности, которое устанавливается выбором одной из функций Карнапа Д то удовлетворяют ли совпадения перемещаемого по данной поверхности стержня обсуждаемой геометрии или нет?

Таким образом, вопросу относительно геометрии на плоскости свойственна неопределенность, если не введена дефиниция конгруэнтности. И в свете конвенционального характера пространственной конгруэнтности мы имеем право установить метрику G и Е либо обычным образом, либо иными путями, с тем, чтобы описывать Е как евклидову плоскость с полусферическим горбом в центре, a G как евклидову плоскость повсюду. Чтобы гарантировать правильность последнего ««обычного описания, нам необходимо только постулировать конгруэнтность тех соответствующих интервалов, которые в нашей ситуации именуются «действительно равными» в отличие от интервалов, кажущихся равными, о которых идет речь, в пунктах 1) и 2). Точно так же без предположения о внутренне присущей метрике вопрос об абсолютной или «реальной» деформации всех видов измерительных стержней, как если бы на них действовали универсальные силы, не может быть даже поставлен, mutatis niutandis те же самые соображения применимы и по отношению к часам. Поскольку стержень не подвержен никаким объективным физическим изменениям при предполагаемом «наличии» универсальных сил, это «наличие» означает не что иное, как только приписывание ему различной длины при разных положениях или ориентациях. Следовательно, так же как перевод длины стола с метров на футы не подразумевает действия на стол каких-либо сил в качестве «причины» изменения, так и ссылка на универсальные силы как «причины» «изменений» в перемещаемом стержне могут иметь не буквальное, а только метафорическое значение. Более того, упоминание об универсальных силах не является, по существу, обязательным способом рассуждения в данной ситуации, как это очевидно из того факта, что правило, приписывающее перемещаемому стержню длину, меняющуюся с изменением его положения и ориентации, может быть выражено и заданием функции Карнапа f.

Рейхенбах, однако, предпочитает формулировать конвенциональный характер конгруэнтности, проводя сначала различие между тем, что он называет «дифференциальными» и «универсальными» силами, а затем метафорически используя термин «универсальные силы» в своем высказывании о философском статусе метрики. Под «дифференциальными силами» он имеет в виду термические и другие воздействия, которые мы называли в первой главе «пертурбационными» и присутствие которых оказывает искажающее влияние, проявляясь в зависимости совпадения перемещаемых стержней от их химического состава. Поскольку мы рассматриваем физическую геометрию как систему метрических отношений, независящих от химического состава, мы вносим поправки на специфические субстанциальные деформации, вызываемые дифференциальными силами. Рейхенбах определяет «универсальные силы» как силы, обладающие двумя свойствами, а именно воздействовать на все материалы одинаковым образом и проникать всюду, поскольку для них не существует никаких преград, способных их экранировать. Имеется прецедент буквального, а не метафорического использования универсальных сил при формулировании определения конгруэнтности, позволяющих обеспечить физическую реализацию необычного определения конгруэнтности, которая выражала бы метрику внутри сферы радиуса R так, чтобы она представляла собой модель бесконечного трехмерного гиперболического пространства. Пуанкаре2 (2А. Пуанкаре, Наука и гипотеза, М., 1904, стр. 75—77.) постулировал, что а) каждая концентрическая сфера радиуса r < R обладает постоянной абсолютной температурой Тoc (R2 — г2), тогда как оптический показатель преломления обратно пропорционален R2 — г2 и б) вопреки реальным фактам все виды тел в пределах сферы имеют один и тот же коэффициент термического расширения. Существенно заметить, что расширение и сжатие этих тел при перемещении имеет буквальный смысл в данном контексте потому, что они родственны действительному поведению при перемещении наших нормальных евклидовых тел и связаны с термическими источниками3 (3Точная аналогия буквального использования универсальных сил проводится Рейхенбахом («The Philosophy of Space and Time»,pp. 11—12), чтобы наглядно выразить физическую реализацию определения конгруэнтности, удовлетворяющую сферической геометрии в области R поверхности Е, о которой речь шла выше.).

Однако метафорическое использование Рейхенбахом универсальных сил для формулирования определения конгруэнтности и выявления зависимости геометрии от этого определения принимает следующий вид: «Дана геометрия G', которой удовлетворяют измерительные инструменты [после внесения поправок на эффекты термических и других «дифференциальных» воздействий], мы можем представить себе универсальную силу F, воздействующую на инструменты таким образом, что реальной геометрией оказывается произвольная геометрия G, тогда как наблюдаемые отклонения от G обязаны своим существованием универсальной деформации измерительных инструментов». И он продолжает, говоря, что если g'ik (i = 1,2,3; k = 1, 2, 3) представляют собой эмпирически полученные метрические коэффициенты геометрии G', a gik — коэффициенты геометрии G, тогда тензор силы F задается тензорным уравнением

,

где g'ik , обусловливающие наблюдаемую геометрию G', получены экспериментально с помощью измерительных стержней2 (2 Подробности этой экспериментальной процедуры см. там же, разделы 39 и 40.) и где Ftk являются «поправочными коэффициентами» gik — g'ik ,которые добавляются к g'ik с целью уточнения, чтобы были получены gik3 (3 Мы увидим в разделе Б этой главы, что Рейхенбах ошибался, утверждая [там же, стр. 33—34], что для данной поверхности или трехмерного пространства частная метрика геометрии детерминирует 1) уникальное определение конгруэнтности и, коль скоро выбрана единица длины, 2) детерминирует также уникальное множество функций gik как представителей метрического тензора в любой частной системе координат. Оказывается, существует бесконечное множество несовместимых определений конгруэнтности и столько же соответственно различных метрических тензоров, которые придают одинаковую геометрию физическому пространству. Следовательно, в то время, как данный метрический тензор дает уникальную геометрию, геометрия G не определяет метрический тензор уникальным образом в рамках постоянного множителя, зависящего от выбора единицы. И таким образом, Рейхенбах неправ, когда говорит о компонентах gik частного метрического тензора как о «компонентах G» [там же] и полагает, что уникальная F определяется требованием, чтобы преобладала некоторая геометрия G вместо наблюдаемой геометрии G'.) .

Однако, поскольку Рейхенбах подчеркивает, что вопрос о том, приравниваем мы Fik нулю или нет, является делом конвенции, эта формулировка только метафорически утверждает, что вопрос соглашения состоит в следующем: либо говорят, что конгруэнтность должна существовать между интервалами, имеющими одинаковую длину ds, задаваемую метрикой , которая содержит в себе G' как геометрическое описание наблюдаемых отношений совпадения, либо между интервалами, имеющими одинаковую длину ds, задаваемую метрикой , которая приводит к иной геометрии G1 (1Следует ясно понять, что gik обеспечивает отношение конгруэнтности, несовместимое с конгруэнтностью, обеспечиваемой gik ,поскольку в любой данной системе координат они являются различными функциями данных координат и не пропорциональны друг другу. (Различие, состоящее только в пропорциональности, могло бы подразумевать различие не в классах конгруэнтности, а в используемых системах единиц длины.) Несовместимость конгруэнтностей, обусловленная двумя множествами метрических коэффициентов, является необходимым, хотя и недостаточным условием (см. сноску 3 на стр. 107) неидентичности связанных с ними геометрий G и G'.

Различие между двумя метрическими тензорами, соответствующее несовместимым конгруэнтностям, не следует смешивать с различием только отображений в разных системах координат одного метрического тензора, соответствующего единому критерию конгруэнтности (для данного выбора единиц длины): первое иллюстрируется несовместимыми метризациями и , в которых метрические коэффициенты являются соответственно различными функциями одних и тех же прямоугольных координат, тогда как последнее иллюстрируется использованием сначала прямоугольных, а затем полярных координат для выражения одной и той же метрики: ds2 = dx2 + dy2 и ds2 = dp2 + p2d?2. В последнем случае мы имеем дело не с различными метризациями пространства, а только с различными координати-зациями (параметризациями) его, по крайней мере, одна пара соответствующих метрических коэффициентов имеет члены, являющиеся различными функциями их соответствующих координат, но выбраны они таким образом, чтобы обеспечить инвариантный ds.). Тогда ясно, чтобы приравнять универсальные силы нулю, нужно выбрать метрику, основанную на тензоре gik , полученном при помощи измерений, в которых стержень повсюду назывался конгруэнтным самому себе. Иными словами, чтобы обусловить Fik = 0, нужно выбрать обычный стандарт конгруэнтности, основанный на жестком теле.

С другой стороны, чтобы обусловить невозможность приравнивания нулю всех компонентов Fik , следует принять необычную метрику, задаваемую тензором gik , соответствующую специфическим изменениям длины парижского стержня с изменением положения, или ориентации, или времени 2. (2Имеется более простая иллюстрация того, что если только одна компонента Fik, не обращается в нуль, то конгруэнтность, связанная с gik , будет несовместима с конгруэнтностью g'i k , и, следовательно, будет необычной. Если мы рассматриваем метрики ds2 = dx2+dy2 и ds2 = 2dx2 + dy2, тогда сравнение некоторого интервала, для которого dx=1, a dy=0 с интервалом, характеризуемым dx=0, a dy=1, приведет к конгруэнтности, согласно первой из этих метрик, но не согласно второй.)

Хотя метафорическое употребление Рейхенбахом термина «универсальные силы» имеет результатом совершенно ненужные, вводящие в заблуждение сложности, которые мы сейчас покажем, сам он вообще не думал об этом. В 1951 году он писал об универсальных силах: «Предположение о наличии таких сил означает только изменение в координативной дефиниции конгруэнтности». Поэтому крайне удивительно, что в 1956 году Карнап, который ясно сформулировал, как мы видели, ту же самую идею неметафорическим образом, отметил, что оценка и описание Рейхенбахом обычной дефиниции конгруэнтности с помощью приравнивания нулю универсальных сил представляет собой ценный вклад в науку выдающейся работы Рейхенбаха «Философия пространства и времени». В своем предисловии к этой книге Карнап говорит:

Из многих плодотворных идей, которые были предложены Рейхенбахом... я упомяну только одну, которая, как представляется мне, имеет большое значение для методологии физики, но которой до сих пор не оказано достойного внимания. Это принцип элиминирования универсальных сил... Рейхенбах предлагает принять в качестве общего методологического принципа положение о том, что мы выбираем среди эквивалентных форм физических теорий такую теорию (или, иными словами, такое определение «жесткого тела», или «измерительного стандарта»), при котором исчезают все универсальные силы.

Возможность неверного понимания, вытекающая из ссылки на метафорические «универсальные силы» при установлении определения конгруэнтности в соответствующих ситуациях, проявляет себя следующими тремя способами:

1) Формулирование необычного определения конгруэнтности с помощью деформаций, вызываемых универсальными силами, порождает ошибочное обвинение в том, что это конгруэнтность ad hoc, потому что она подразумевает тем самым ad hoc постулирование неисчезающих универсальных сил. 2)

В формулировке определения конгруэнтности, предлагаемой Рейхенбахом для объяснения геометрии пространства в гравитационном поле, должны использоваться универсальные силы, которые действуют как в буквальном, так и в метафорическом смысле. Соединение обоих этих смыслов приводит к противоречивой на вид формулировке обычного определения конгруэнтности. 3)

Поскольку изменчивость кривизны пространства в смысле обычной конгруэнтности обнаруживала бы себя в изменении отношений совпадения твердых тел любых видов при их перемещении, Рейхенбах говорит о телах, перемещаемых в таком пространстве, как о сущностях, испытывающих воздействие универсальных сил, «ликвидирующих совпадения».

Мы сейчас по порядку обсудим эти три источника путаницы.

1.Если требование самоконгруэнтности имеет фактуаль-ное содержание, так что альтернативная конгруэнтность должна быть в» принципе ложной, тогда имело бы смысл говорить о дефиниции необычной конгруэнтности как о дефиниции ad hoc в том смысле, что она представляла бы собой требование, которое, очевидно, не гарантируется фактами. Но так как приписывание самоконгруэнтности является не фактуальным, а конвенциональным, то ни обычная, ни какая-либо необычная дефиниция конгруэнтности не может быть дефиницией ad hoc. Следовательно, отказ от первой дефиниции в пользу дефиниции последнего типа является операцией в смысле ad hoc ничуть не больше, чем переградуировка термометра Цельсия на шкалу Фаренгейта или замена декартовых координат полярными. При формулировке необычной дефиниции конгруэнтности с помощью метафорического использования универсальных сил Рейхенбах дает возможность ошибочно истолковать его метафорический смысл в качестве буквального. И коль скоро была допущена такая ошибка, те, кто ее допустил, молчаливо исходили из того, что обычное определение конгруэнтности является фактуально истинным,

и считали вполне законным отклонять остальные дефиниции определения конгруэнтности как ad hoc на тех основаниях, что они якобы подразумевают ad hoc предположение (буквально понимаемых) универсальных сил. В равной степени можно сказать, что изменение единиц длины представляет собой операцию ad hoc.

Таким образом, мы находим, что Эрнст Нагель, например, не заметил, когда писал о Пуанкаре, что ссылка на универсальные силы для сохранения евклидовой геометрии представляет собой операцию ad hoc не в большей степени, чем переход от прямоугольных координат к полярным, когда уравнение окружности записывается как р = k вместо . Приняв за доказанное, что, если это необходимо, евклидова геометрия может быть сохранена путем ссылки на универсальные силы, Нагель пишет: «Тем не менее, универсальные силы обладают странным свойством, а именно их наличие может быть установлено только на основе геометрических соображений. Предположение о существовании таких сил имеет видимость гипотезы ad hoc, вводимой только с целью спасения Евклида». Однако истолкование самим Нагелем, но отнюдь не Пуанкаре характера соответствующего вида универсальных сил позволяет ему сделать вывод, что Пуанкаре должен прибегать к помощи некоторой гипотезы ad hoc, чтобы гарантировать евклидово описание установленных наблюдательных фактов. Ибо в рамках схемы физической теории, рассматривающей пространство как математический континуум — предположение, на которое, по существу, опирается тезис Пуанкаре,— не дает никаких оснований для обвинения Пуанкаре в ссылке на гипотезу ad hoc. Ссылка на универсальную силу определенного типа, наличие которой «может быть установлено только на основе геометрических соображений» и которая вводится «только с целью спасения Евклида», является операцией ad hoc не в большей степени, чем применение полярных, а не прямоугольных координат. Беспокойство Нагеля относительно того, что тезис Пуанкаре можно подтвердить только ценой предположения ad hoc существования универсальных сил, стольже неосновательно, как и следующее утверждение: числовое возрастание длин всех предметов, вызываемое переходом от метров к дюймам, требует постулирования ad hoc универсальных сил как «физической причины» этого универсального удлинения.

2. Относительно геометрии в гравитационном поле Рей-хенбах говорит следующее: «Мы уже знаем... о различии между универсальными и дифференциальными силами. Эти понятия имеют значение для данной проблемы, потому что мы обнаруживаем, что гравитация является универсальной силой. В самом деле, она воздействует на все тела одинаково. В этом состоит физическое значение равенства гравитационной и инерционной масс». Конечно, по существу верно, что однородное гравитационное поле (которое нельзя устранить в данной пространственно-временной системе координат) является универсальной силой в буквальном смысле по отношению к большому классу явлений, таких, как свободное падение тел. Однако имеются другие явления, такие, как искривление упругих балок, относительно которых тяготение представляет собой явно дифференциальную силу в смысле Рейхенбаха: под действием силы тяжести деревянная книжная полка прогнется больше, нежели стальная. И это, между прочим, показывает, что разделение Рейхенбахом сил на универсальные и дифференциальные не говорит об их взаимоисключении. Конечно, как и в случае любой другой силы, оказывающей дифференциальное воздействие на измерительные стержни, при установлении дефиниции конгруэнтности следует сделать допущение на дифференциальное воздействие сил тяготения.

Следовательно, здесь двойная проблема: во-первых, имеет ли отношение к геометрии пространства тот факт, что гравитация является универсальной силой в буквальном смысле, как указано выше, и, во-вторых, отличается ли чем-либо при наличии гравитационного поля логика дефиниции конгруэнтности по отношению к роли метафорических универсальных сил от логики этой дефиниции при отсутствии гравитационного поля? В частности, в общей теории относительности действительно имеется буквальный смысл, в котором гравитационное поле, например, Солнца проявляет себя в геометрическом отношении каузально как универсальная сила. И буквальный смысл, в котором совпадения перемещаемого обычного жесткого тела отличаются объективно в окрестностях Солнца, например, от его совпадений при отсутствии гравитационного поля, можно выразить двумя способами, а именно: 1) по отношению к конгруэнтности, определяемой обычным жестким телом, геометрия пространства в гравитационном поле является неевклидовой — вопреки дорелятивистской (в смысле общей теории относительности) физике,— однако она является евклидовой при отсутствии гравитационного поля; 2) геометрия в гравитационном поле является евклидовой, если и только если обычное определение конгруэнтности заменяется определением, в котором длина стержня соответственно меняется с его положением или ориентацией1 (1 Для гравитационного поля Солнца функция, обусловливающая необычную дефиницию конгруэнтности, имеющую результатом евклидову геометрию, дана Карнапом (R. С а г п а р, Der Raum, S. 58).)

, оставаясь евклидовой в смысле обычного определения конгруэнтности при исчезающем гравитационном поле. Однако нужно будет отметить, что формулировка 1) вообще не ссылается на какие-либо деформации стержня под действием универсальных сил, когда тело перемещается с места на место в данном гравитационном поле. Нет никакой нужды в какой-либо метафорической ссылке на универсальные силы при установлении обычной дефиниции конгруэнтности, которая входит в формулировку 1). Ибо это утверждение может быть выражено следующим образом: при наличии, равно как и при отсутствии, гравитационного поля конгруэнтность является конвенциональной и, следовательно, мы свободны в выборе обычной конгруэнтности также в гравитационном поле в качестве основы для определения геометрии пространства. Обременение дефиниции конгруэнтности метафорическим употреблением термина «универсальные силы» привело Рейхенбаха к опрометчивому и неверному выводу, что стержень, испытывающий воздействие универсальной силы гравитации в специфическом буквальном смысле, не может последовательно рассматриваться как свободный от деформирующего воздействия универсальных сил в метафорическом смысле и, следовательно, не может служить в качестве стандарта конгруэнтности. Это смешение буквального и метафорического смысла понятия «универсальные силы» в контексте теории, предполагающей непрерывность пространства, приводит в результате к ошибочному мнению, что в общей теории относительности обычное определение пространственной конгруэнтности не может быть признано состоятельным для гравитационного поля. И те, кого метафора Рейхенбаха привела к подобной ошибочной концепции, будут, следовательно, рассматривать как внутренне противоречивое следующее его утверждение, которое на самом деле таковым не является: «Мы не говорим об изменении, вызываемом гравитационным полем в измерительных инструментах, но рассматриваем измерительные инструменты как «свободные от деформирующих сил», несмотря на гравитационные воздействия». Кроме того, те, кто стали жертвами метафорического языка Рейхенбаха, будут вынуждены отвергать как несостоятельную характеристику геометрии в гравитационном поле, данную Эйнштейном в общей теории относительности и изложенную в приведенной выше формулировке 1). И они будут ошибочно настаивать на том, что формулировки 1) и 2) не являются равно приемлемыми альтернативами на том основании, что только формулировка 2) является единственно правильной.

Смешение буквального и метафорического смысла понятия «универсальная сила» при ссылках на тяготение в теоретической ситуации, когда предполагается непрерывность пространства, характерно например, для трактовки Нагелем универсальных сил с вытекающими отсюда возможностями для еще большей путаницы. Так, он неверно ссылается на силу тяготения, рассматривая ее действие в качестве «универсальной силы» в буквальном смысле как разновидность сил, которые являются «универсальными силами» только в метафорическом смысле в рамках теории, предполагающей непрерывность физического пространства.

В частности, относительно предположения Пуанкаре об «универсальных силах», присутствие которых «может быть установлено только на основе геометрических соображений», поскольку они предполагаются «только с целью спасения Евклида», то есть являются универсальными силами в метафорическом смысле, Нагель говорит: «Выражение «универсальная сила» не следует оценивать как «бессмысленное», ибо очевидно, что здесь указывается на процедуру, с помощью которой можно установить, имеются такие силы или нет. В самом деле, гравитация в ньютоновой теории механики является именно такой универсальной силой; она действует на все тела одинаково, и ее нельзя экранировать». Однако ошибочное отождествление Нагелем ньютонова тяготения как «именно такой универсальной силы» с метафорическим видом универсальных сил, присутствие которых «может быть установлено только на основе геометрических соображений», может привести к неверному выводу, что стержень, подверженный воздействию гравитационного поля, не может рассматриваться как «свободный» от «универсальных сил» в том смысле, что при выполнении своих метрических функций при перемещении он остается конгруэнтным самому себе.

Точно такая ошибка и была допущена Файерабендом, который рассматривал отношение гипотетической универсальной силы в буквальном смысле к метрической функции транспортируемого стержня. Так, Файерабенд ошибочно предполагал, что стержень следует рассматривать как испытывающий искажения при наличии универсальных сил в буквальном смысле, которые «действуют на все химические вещества одинаково, но которые обнаруживают себя в незначительных изменениях, вызываемых ими в вероятностях переходов атомов, излучающих в этой области».

3. По аналогии со случаем гравитации, который только что обсуждался, можно утверждать: поскольку конгруэнтность конвенциональна, мы свободны в использовании обычного определения ее безоотносительно к тому, является ли геометрия, полученная с помощью измерений, выполненных на основании этого определения, геометрией переменной кривизны или нет. Таким образом, мы видим, что, для того чтобы избежать ненужного метафорического употребления понятия «универсальные силы» при определении конгруэнтности не следует обращать внимание на то, будет ли полученная в результате геометрия геометрией постоянной кривизны или нет. Геометрия постоянной кривизны, или так называемая «конгруэнтная геометрия», характеризуется тем, что в ней имеет силу «аксиома свободной подвижности»: например, передвижение на поверхности сферы треугольника, обладающего в данном месте определенными углами и сторонами, не сопровождается какими-либо изменениями в их величинах с точки зрения обычных стандартов конгруэнтности для углов и интервалов. Напротив, на поверхности, имеющей форму яйца, несостоятельность сохранения аксиомы свободной подвижности легко может быть установлена на основании следующего индикатора изменчивости кривизны для двухмерного пространства: имеется круг и диаметр, изготовленные из любой проволоки и собранные таким образом, что один конец Р диаметра привязан с окружности, а другой конец S свободен, если этот второй конец совпадает с противоположной точкой Q на окружности в данном начальном положении, то он не будет совпадать с ней в другом месте яйцевидной поверхности. Так как отношение диаметра и окружности круга изменяется в пространстве переменной кривизны, ибо меняется кривизна яйцевидной поверхности, S не будет больше совпадать с Q, если проволочный круг и прикрепленный к нему диаметр PS перемещаются по поверхности яйца таким образом, что повсюду сохраняют контакт с поверхностью яйца. Этот индикатор совершенно независимо от своего химического состава устанавливает объективное нарушение совпадения S и Q (при условии однородной температуры и т. д.).

Поэтому здесь можно говорить буквально, как это делает Рейхенбах, об универсальных силах, действующих на индикатор, ликвидируя совпадение. И поскольку обычная дефиниция конгруэнтности по сути дела допустима в качестве основания геометрий переменной кривизны, не будет, конечно, никакого противоречия, если определение конгруэнтности дать путем приравнивания нулю универсальных сил в метафорическом смысле, несмотря на то, что нарушение совпадений свидетельствует о совершенно буквальном наличии каузального действия универсальных сил. Однако Рейхенбах ссылается на универсальные силы буквально, без каких-либо предупреждений относительно последующей ссылки на них в метафорическом смысле при определении конгруэнтности. И поэтому читатель бывает обескуражен кажущимся парадоксом в утверждении Рейхенбаха о том, что «силы, ликвидирующие совпадения, также должны быть приравнены нулю, если они удовлетворяют свойствам универсальных сил, упомянутых на стр. 13; только тогда проблема геометрии определяется уникальным образом». И вновь опасность смешения может быть элиминирована, если при определении конгруэнтности обойтись без метафор.

Хотя я и считаю, что книга Рейхенбаха «Философия пространства и времени» является одной из наиболее глубоких работ, посвященных этому вопросу, предыдущий анализ все же показывает, почему я не могу разделить утверждения Нагеля, что в этой книге Рейхенбах «для внесения полной ясности... использует различение между «универсальными» и «дифференциальными» силами».

Коль скоро утверждения Рейхенбаха относительно универсальных сил лишены возможности вводить в заблуждение, мы можем перейти теперь к обсуждению других проблем, возникающих в связи с его утверждениями, изложенными в терминах универсальных сил.

Первая из этих проблем состоит в следующем: «Мы получаем высказывание относительно физической реальности только в том случае, если кроме геометрии G пространства установлено универсальное поле силы F. Только комбинация

G+F

представляет собой утверждение, которое можно проверить». Чтобы оценить это высказывание, рассмотрим поверхность, на которую накладывается некоторая система обобщенных криволинейных (или «гауссовых») координат. Координатизация пространства, целью которой является установление для топологических окрестностей какого-то числа точек отношения «между», не предполагает, как таковая (не подразумевает), какой-либо метрики. Однако установление правила, гарантирующего, что различные люди будут независимо друг от друга устанавливать одинаковую координатизацию данного пространства, возможно, потребует ссылки на применение измерительного стержня. Но даже в случае прямоугольных (декартовых) координат, заданных с помощью жесткого стержня, вполне можно игнорировать способ, которым были введены координаты, и рассматривать их чисто топологически, так что метрика, весьма отличная от ds2 = dx2 + dy2, может быть, затем спокойно введена совершенно непротиворечивым образом. В соответствии с этим введем метрику ds2 = gikdxidxk для поверхности, где уже имеются координаты, совершенно произвольно выбрав соответствующее множество функций gik данных координат. Предположим, что последняя спецификация геометрии G не связана с какой-либо информацией относительно F. Тогда правильно ли будет сказать, что коль скоро эта метризация вообще не дает никакой информации относительно совпадений стержня при его перемещении по этой поверхности, она не сопровождается никакой фактуальной информацией относительно этой поверхности или физической реальности? Что такой вывод ошибочен, видно из следующего: в зависимости от того, является ли гауссова кривизна К, обусловленная gik, положительной (сферическая геометрия), нулевой (евклидова геометрия) или отрицательной (гиперболическая геометрия), объективный факт, связанный с данной поверхностью, состоит в том, что через точку, расположенную вне данной геодезической линии, будет проходить соответственно 0, 1 или бесконечное множество таких геодезических линий, которые не будут пересекаться с данной геодезической. Однако пересекаются некоторые линии на поверхности или нет, это только топологический факт, связанный с ней. И следовательно, мы можем сказать, что, хотя произвольная метризация пространства без спецификации F в целом не лишена фактуального содержания, имеющего отношение к этому пространству, все-таки эта метризация не может обеспечить никаких объективных фактов относительно пространства, которые не содержатся предварительно в топологии последнего.

Поэтому мы можем сделать вывод: если описание пространства (поверхности) должно содержать эмпирическую информацию относительно совпадений перемещаемых в этом пространстве стержней и если выбрана такая метрика ds2 = gikdxidxk (а тем самым и геометрия G), что ее конгруэнция не согласуется с конгруэнцией, определяемой с помощью прикладывания перемещаемых стержней, тогда на самом деле имеет силу утверждение Рейхенбаха. В частности, выбранный метрический тензор gik и связанная с ним геометрия G должны тогда согласоваться со спецификацией иного метрического тензора gik, который был бы найден экспериментально, если стержень выбран в качестве стандарта конгруэнтности. Однако установление Рейхенбахом такой спецификации с помощью универсальной силы F представляет собой совершенно ненужный обходный путь. Ибо F определяется с помощью Fik = gik— g'ik , и ее нельзя установить, если не известны оба метрических тензора. Таким образом, утрачивается ясность при ссылках на то, что метрический тензор gik , в котором зашифрована эмпирическая информация относительно стержня, был сначала получен из тождества

.